巧用代入法求代数式的值

李婷婷

求代数式的值是初中代数中的常见问题，一般借助代入法进行解答.但某些代数式如果采用常规的直接代入来求值，过程会比较复杂，耗时较长.这时我们就要根据代数式形式多样的特点，灵活采用一些特殊的代入方法，巧妙简便地求出代数式的值.

一、特殊值代入法

特殊值代入法，是指在求代数式的值时，选取符合题意要求的特殊值，将其代入已知条件或所求目标式中，从而得出代数式的值.当用常规方法直接代入求解比较困难时，可灵活选取方便计算的特殊值带入求解，这样就会使解题变得简单.

例1

分析：

解：

例2

分析：本题已知等式涉及多个未知数，直 接求值难度较大.若巧取特殊值，令 k = 1 时， 由已知等式可以得到 4x + 2y + z = 1，而所求的目 标代数式 8x + 4y + 7z可化为2（4x + 2y + z）+5z， 因此只要再求出 z 的值即可.观察已知等式不 难发现，当 k = - 1 时，3k2 + 2k - 4 = z，这样问 题便迎刃而解了.

解：

评注：特殊值代入法，既快捷又方便，是 解答选择题和填空题的有效工具.需要注意 的是，在选取特殊值时，要注意取值范围.

二、设参代入法

设参代入法，是指在求代数式的值时，先 合理设置一个新的参数，然后以此为媒介，建立相关的等量关系，再将其代入已知等式或所求目标式中，求得问题的答案.若已知条件以比值的形式出现，就可以设比值为一个参数来求解.

例3

分析：

解：

例4

分析：本题涉及字母比例关系，直接代入求解显然行不通.若能根据已知条件中的等量关系，引入新的参数，则可以使解题柳暗花明.

解：

评注：设参代入法，可以将问题中的未知量和已知量进行转化，从而使复杂、繁难的问题变得简单.

三、整體代入法

整体代入法，是指在求代数式的值时，依据题目特征，把某个含字母的式子视为一个整体，代入化简后的式子中进行运算，通过整体代入，实现降次、归零、约分的目的，以便快速求得其值.

例5已知m2+ m -1=0，则4m3+8m2+2005的值为  .

分析：本题由条件等式虽然能求出 m 的值，但涉及根式运算，较为复杂.仔细观察4m3+8m2+2005，不难发现，它可以变形为：4m3+4m2+4m2+2005，即4m（m2+ m）+4m2+ 2005，或者是：4m3+4m2-4m +4m2+4m -4+ 2009，即4m（m2+ m -1） +4（m2+ m -1） +2009，这样把“ m2+ m ”或“ m2+ m -1”看作一个整体，代入求值即可得解.

解法1：4m3+8m2+2005=4m3+4m2-4m +4m2+4m -4+2009=4m（m2+ m -1）+4（m2+ m -1）+2009]=0+0+2009=2009.

解法2：

评注：整体代入法，侧重于从问题的整体形式、整体结构、整体特征上寻求问题的解法，绕开了求出未知数的过程，可以使解题过程更简便.

总之，题目特征不同，所用方法亦有所不同.在平时的解题训练中，同学们要注意从题目实际出发，灵活运用所学知识和解题妙法，提高解题速度和效率.