例析求解向量数量积问题的三种方法

周婉

向量数量积问题比较常见，其命题的形式主要有：（1）求两个向量的数量积及其取值范围；（2）由两个向量的数量积求两个向量的夹角或模长；（3）由向量的数量积求参数的取值范围.求解向量的数量积问题，需灵活运用向量的加、减、数乘运算法则，向量的几何意义，向量数量积的定义等.下面结合几道例题，来谈一谈解答向量数量积问题的三种方法.

一、定义法

在使用定义法求解平面向量的数量积问题时，要抓住两个关键点：（1）两个向量的坐标或模的大小；（2）两个向量夹角的余弦值.

二、基底法

进行向量运算，往往需先确定基底；再根据向量的基本定理，用基底表示出其他向量.在求解向量的数量积问题时，需用基底表示出所求的向量；然后通过向量的加法、减法、数乘运算进行求解.

在运用基底法解题时，如果题目条件中给出了基底，则可直接用基底表示所求向量；如果没有给出，需选择合适的基底，一般可以已知向量的坐标、模长、夹角的向量为基底.

三、坐标法

对于与几何图形有关的数量積问题，通常可先根据图形的特征，选择合适的点作为原点，建立平面直角坐标系；然后将题目中的条件用坐标表示出来；再通过向量的坐标运算来求得向量的数量积.

坐标法较为简单，且应用范围广.运用坐标法解题的关键在于如何建立合适的平面直角坐标系，以简化运算.通常可以三角形的高线、中垂线，平行四边形的边，圆的直径为坐标轴，这样便能快速求得各个点的坐标.

以上三种方法是解答向量数量积问题的重要方法.相比较而言，定义法比较常用，坐标法较为直观，基底法较为复杂.同学们在解题时，要根据题目的已知条件进行合理选择.