培育量感：面积教学的新方向

林吓妹

长方形和正方形面积的教学是整个面积大单元教学的起始课。在以往的教学中，一般是先用面积单位测量长方形面积，计数所用面积单位的个数有两种方法：一是直接数出个数，这是计数水平；二是数出每行的个数和行数，用乘法计算出个数，这是运算水平。虽然它也强调引导学生体会度量的意义，渗透度量意识，但仅是在认识度量单位，而对于面积计算并没有突出度量的操作。从对一维长度的度量到对二维面积的度量，是学生认识上的一次飞跃，是学生在面积方面的量感发展。本文以人教版数学教材三年级下册“长方形和正方形面積的计算”为例，论述如何培养学生的量感。

一、面积的量感

数感和量感都是数的表达，数感可以把数的后缀名词去掉，而量感则是数要带着其后缀名词。所以说，数是对数量的抽象，数量是度量的结果，数是对度量结果的一种符号表达。传统的度量是对几何的长度、面积、体积等的度量。培养学生的量感主要有三个方面：一是统一度量单位，二是选择度量单位进行度量，三是合理得到度量的结果。

度量物体的长度，常用的工具是米尺等计量长度的仪器。必须提及的是，之所以说数学课本的长是26 cm，是因为米尺的长度是26 cm，它的数量正好与课本的长度相等。度量物体的面积有类似于米尺的面积测量工具吗？为了教学方便，教师可以印刷一些面积是1 cm2的方格纸让学生用于测量平面图形的面积。实际上，面积测量工具并不存在，特别是面积是1 m2的测量工具。

使用面积是1 cm2的方格纸进行度量，测量对象长方形角的顶点与方格纸交点重合，相邻的两边与网格线重合。操作之后，学生要数出每行的个数和行数，从而感悟到面积也是通过两点间的距离而得到的，这还是一个二维空间。若学生的认知只处于计数水平，“求面积的大小就是求一个图形包含面积单位的个数”，那么他可能无法培育出面积的量感。因为面积的量感不仅有数量上的多少关系，还有空间上的大小关系。

为了培育量感，教学时教师可以把面积的度量变成综合与实践活动，让学生以主题的形式进行数学活动，先根据图形的大小选择合适的面积单位，接着用选定的面积单位进行实际操作，再通过加法或乘法运算合理地得到度量的结果。经过多次重复操作之后，引导学生运用不完全归纳法进行推理，进而得到长方形的面积计算公式。

二、基于培育量感的教学探究

面积是重要的乘法结构，而乘法结构是在加法结构基础上产生的高层次的数学认知结构。量度的积是由两个测量空间的笛卡儿组合（即长度M1、宽度M2）形成面积M3而构成的一个结构。教学时，教师要突出对乘法结构的认知。

（一）选择工具

教师提出问题：我们的数学书封面、课桌面、教室地面都是长方形，用面积分别是1 cm2的正方形、1 dm2的正方形、1 m2的正方形作为测量工具，要测量它们的面积，所使用的测量工具一样吗？

学生的答案可能有：数学书封面比较小，用面积是1 cm2的正方形测量；教室地面最大，用面积是1 m2的正方形测量；那么，课桌面就用面积是1 dm2的正方形量。

【设计意图】让学生明确度量对象，体会事物的可测量属性，并形成对面积大小关系的直观感知，根据实际需要选用不同的面积单位作为度量工具。

（二）度量的操作

教师拿出5 cm×3 cm的长方形纸片，学生用面积是1 cm2的正方形纸片度量。度量时，正方形的顶角与长方形的顶角重合，用笔在长方形纸片上画出面积是1 cm2的正方形，沿着长边平移正方形纸片，再画一个正方形，一行正好是5 cm2；沿着短边平移正方形纸片，再画一个正方形，正好是3行。或者用每小格面积是1 cm2的方格纸进行整体度量，在度量时，长方形角的顶点与方格纸交点重合，相邻的两边与网格线重合，学生经过观察会认识到：每行有5 cm2，有3行。

【设计意图】用1个单位的正方形纸片把既定的图形铺满，这是面积度量的本原方法。教师还可把面积的度量变成综合与实践活动，帮助学生在活动中发展量感。在度量过程中，学生要用好后缀词——计量单位，它是数感与量感的根本区别。把长方形面积分两类：每行的面积数和行数，为归纳面积计算公式创造条件，学生可以体会面积是一个二维空间。

（三）度量结果数学化表达

教师引导学生把上述度量结果进行数学化表达，加法算式为：5＋5＋5=15（cm2）；乘法算式为：5×3=15（cm2）。

练一练。学生用面积是1 dm2的正方形纸片在课桌上度量出6 dm×4 dm=24 dm2的部分，加深体会度量的积的实际意义。教师引导学生根据上述例子进行归纳概括：长方形的面积=每行面积单位数×行数。

【设计意图】度量的积是学生认识和掌握长方形的面积计算公式的前提条件。运用加法意义和乘法意义进行列式计算，归纳面积计算公式就水到渠成了。

（四）面积再理解

教师引导学生对5 cm×3 cm长方形纸片的度量过程及其结果进行反思性思考，学生发现：度量得到的每行有5 cm2，它正好对应长方形的长5 cm；而度量得到的3行，它正好对应宽3 cm。据此，学生提出数学猜想：长方形的面积=长×宽。

接着，学生对课桌的度量过程及其结果进行反思，再一次验证猜想。这时，有学生可能提出新的面积度量方法，即只需运用直尺或米尺就可度量出长方形的两条邻边的长度，根据边的长度推想出：每行的面积数和行数，再计算它们的积。

教师引导学生用米尺度量出教室的长为8 m、宽为6 m，推想出：每行有8 m2，有6行，面积是48 m2。学生运用不完全归纳法，概括长方形的面积计算公式是：长方形的面积=长×宽。

教师拿出一张A4纸（30 cm×21 cm），剪下一个最大的正方形，折一折，引导学生发现：长与宽相等。学生进而推导出正方形的面积计算公式是：正方形的面积=边长×边长。最终引导学生理解度量的积，即每行有21 cm2，有21行。

【设计意图】长度M1、宽度M2如何形成面积M3？是相邻两条边的长度相乘得出来的吗？5 cm×3 cm怎么会变成15 cm2？从直观上看，长方形的面积是长与宽的积；从本质上看，长方形的面积是每行面积单位数和行数的积，只是每行面积单位数和行数与长方形的长和宽相等。长方形的面积可以用长度单位进行间接度量，学生就能感悟到面积的本质还是两点间的距离。

三、对平面图形面积教学的启示

（一）为什么数方格

数方格的实质是数单位面积。数方格是学习求图形面积的重要方法，特别是在“用线性测量的方法测量面积”之前；数方格还用于推导长方形、平行四边形等平面图形的面积公式。除此之外，数方格还有许多奥秘需要进一步研究。

1.对方格的认识

尺子是长度的测量工具，把尺子上的长度映射到物体上就得到物体的长度。一般地，在面积的教学中，只有面积单位，而没有像尺子那样的面积测量工具。为了适应教学的需要，教师可以自制面积的测量工具——打印面积是1 cm2的方格纸或购买网格坐标计算纸。方格的几何特征是有4个直角、4条边相等，方格的面积单位意义是可用“1”表示。因此，一个方格表示1个面积单位，一些方格则表示像尺子那样的面积测量工具。教学时，教师先要让学生认识方格的几何特征和面积单位意义，然后才能把作为测量对象的平面图形放置在方格纸上，最终通过计算方格的数量从而确定平面图形的面积。

2.数方格要分类

数方格有两种方式：一是不分类，即每个方格都是表示1个面积单位，这种具有同一性的认知，可以作为数的认识的“几何直观”使用，它不一定要赋予面积单位的意义。此时，学生的认知处于计数水平。二是有分类，即方格按“行”分类，第一行方格为一类，第二行方格则为另一类，这两类方格为全异关系，所以，可以合并起来用加法计算；方格有b行，就是分b类。在面积测量时，每行有a个面积单位，可以转换图形的长为a个长度单位；有b行，可以转换图形的长为b个长度单位。方格的分类与图形的长、宽建立了必然的联系，学生就学会“用线性测量的方法测量面积”。教学时，教师要让学生的认知从计数水平上升到运算水平，进而探究和掌握图形的面积公式。

3.用方格测量

用方格纸测量图形的面积有操作的基本要求，即图形有一个角的顶点与方格的一个网格点重合，图形有一条边与方格的一条网格线重合。测量过程中，方格的数量有多少，那么图形的面积就有多少，其结果可以表征为数方格。数方格的过程与结果，常常成为探究图形的面积公式的路径。教学时，教师要让学生经历用方格测量面积的过程，否则“只是简单地‘告诉’学生图形的面积公式，这对学生来说，即使不是毫无意义，也是意义甚微的。”

数方格还有一个教学目的是让学生不数方格，并学会用长度单位进行间接的度量，提炼出图形的面积公式，利用公式计算面积。进一步说，最终是达到用面积单位的直接测量与用长度单位的间接测量这两个测量方法之间的统一。有了这个统一，学生就能将图形的长度和宽度自动地想象成用面积单位度量的样子，形成面积的量感。

（二）圆的面积如何数方格

用数方格的方法度量直线图形，教学时比较容易操作，学生也比较容易理解，因为任意的直线图形总有关键点可以与网线点重合。圆是曲线图形，它没有直角，还能不能用方格纸度量其面积，并使得所有的图形面积具有面积度量的一致性？在这里，考验着学生的创新意识。在圆上所有的点都是平等的，确实没有关键点，但在圆的内部却有一个关键点，那就是圆心。圆心的作用不仅决定着圆形所在的位置，它还是用面积单位进行度量的关键点，在方格纸上圆心与网格点重合，可以结合估算度量圆的面积。当然，比较有智慧的学生也可能以圆上的任意点作为关键点，使得圆的直径及其切线分别与方格纸两垂线重合，在外方内圆的图形里探究圆的面积的度量。

（三）不规则图形如何数方格

规则的图形可以用数方格的方法度量面积，其实不规则图形也可以使用这种方法。通过图形的中心点度量其面积是任意图形的面积度量通用的方法，即以不规则图形的合适位置为中心点作垂线，中心点与方格纸的网格點重合，垂线与方格纸的网格线重合，再结合移多补少的方法，不规则图形的面积就度量出来了。

综上所述，图形的面积教学要让学生“经历选择面积单位进行测量的过程，理解面积的意义，形成量感”，这是面积教学的新方向。

（责任编辑：杨强）