正本清源 打通关联 系统构建

付荣玲 李庆海

【摘   要】《义务教育数学课程标准（2022年版）》将百分数从“数与代数”领域移到了“统计与概率”领域，把百分数作为统计量進行教学。这一全新意义的诠释使一线教师产生了很大的困惑。教师可从百分数的产生与发展角度出发，打通百分数传统意义与新课标赋予的统计意义的中间地带，通过“在真实情境中比较、在多元关联中理解、在随机现象中刻画”，来构建百分数的统计意义。

【关键词】数学史；百分数；多元关联；数据分析；系统构建

一、缘起：“左右为难”的百分数

《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称“2022年版课标”）将百分数从“数与代数”领域移到了“统计与概率”领域，把百分数作为统计量进行教学。这一传统内容的新诠释引起了大家的关注，并引出两个极端的现象。

现象一：“单纯”统计量的百分数

有教师执教“百分数的意义”一课时，为了体现统计量的意义，设计了三个任务：现场抛硬币让学生感受随机性；分析某学生的投球命中率；请学生确定五年级学生跳绳达标线。由于任务多，现场收集数据时间长，学生对百分数产生的必要性认识模糊，对百分数表示统计量也是一知半解。

现象二：表示倍数关系的百分数

分数有表示具体的量和倍数关系两种意义，百分数是分数表示倍数关系的一种特殊情况。很多教师认为，不要急着让学生感受百分数的统计内涵，而是要先让学生理解百分数表示倍数关系的内涵，再在应用中融入“统计”素材，让学生慢慢感悟其统计意义。

上述两个现象说明，对于百分数的新身份“统计量”，一线教师是有很多困惑的。从数学史的角度理解百分数的产生与发展，可以帮助教师从源头上理解百分数的两种意义，打通两种意义的关联，帮助学生建立百分数的统计意义。

二、溯源：百分数的产生与发展

百分数是特殊的分数，在日常生活中很常见，但是百分数的产生却经历了漫长的时间。

百分数起源于早期的商业活动，应用在利息、税收、兑换货币等商业行为中。如古印度人计算利息是以100为基数的，即每100元可以获得多少利息；古罗马人从事商业活动时，看盈利还是亏损也是相对于100来比较的。那时的百分数，“百”是一个标准，是一个具体的量，不是分数意义上的分母。

进入现代以后，百分数作为统计数据深入日常生活，广泛应用于经济、社会等很多领域。其对随机数据的刻画、对功能的描述与大数据、决策等紧密联系，引发数学家、数学教育家对百分数价值的新思考。这大概是百分数这一内容从“数与代数”领域移到“统计与概率”领域的缘由。

百分数产生之后，便随着人类生活的发展而动态发展，它的意义与范围也从刻画具体的量扩展到刻画抽象的数量关系，从刻画确定的量发展到描述不确定的量，百分数的统计意义日益凸显。

三、辨析：寻找“数认识”到“统计量”的中间地带

百分数源于分数，发展于比较，广泛应用于统计，从而成为与平均数一样身份的统计量。它与分数、比、统计的关系如图1。

（一）理解百分数意义的本质：两个数的倍数关系

从图1可以看出，百分数源自分数的“率”，表示两个数或数量的倍数关系。百分数在表达时主要有两种意义。

一是百分数表示确定数据时两个数的倍数关系。学生要通过教材上安排的税率、利率、折扣等问题，理解百分数的倍数关系的意义，即百分数表示一个数是另一个数的百分之几。只有理解了百分数的意义，才能解决生活中的实际问题，也就是以往教学强调的百分数的意义。

二是百分数表示随机数据时两个数的倍数关系，即2022年版课标提出的百分数的统计意义。在生活中，百分数一般是在调查中得到的，它的统计意义体现为把百分数作为统计数据进行分析和比较。如某篮球队员罚球的命中率，罚球次数的变化会引起命中率的变化，学生可以通过数据变化进行分析，并做出判断与预测。

尽管百分数可以描述与表达确定数据的关系，也可以描述随机数据的关系，但是本质上仍然是“两个数量的倍数关系”。

（二）对比课标变化：打通两种意义间的隔断墙

百分数这一内容，在《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称“2011年版课标”）和2022年版课标“课程内容”中的要求，既有联系，又有区别（如表1）。

在2011年版课标中，百分数被编排在“数与代数”领域，要求“结合具体情境”理解百分数的意义，会对百分数进行形式的转化，能解决简单的分数结构的实际问题。在2022年版课标中则指向百分数的统计意义，要求“结合具体情境”探索百分数的意义。“探索”是描述过程目标的行为动词，是指要让学生在特定的问题情境下，独立或合作参与数学活动，理解或提出数学问题，寻求解决问题的思路，获得确定的结论。虽然同样是要求“解决百分数简单的实际问题”，目标却指向让学生“感受百分数的统计意义”“形成数据意识”。

因此，在教学中要打通百分数传统意义与新课标赋予的统计意义的中间地带。教师要通过不同素材，打通百分数两种意义间的隔断墙，让学生在理解百分数意义的基础上不断感受其统计意义，在应用百分数解决问题的过程中形成数据意识。

四、践行：对百分数的认识更有统计味

基于对百分数从“数与代数”领域移到“统计与概率”领域的变化，笔者依托学习内容，让学生在比较中再现百分数便于比较的优势，在关联中体会百分数的作用，在随机现象中理解百分数的统计意义，使对百分数的认识充满浓浓的统计味。

（一）在真实情境中比较，感受百分数的描述优势

百分数作为一种特殊的分数，是人们在兑换物品时为了方便比较而产生的，因此与分数相比，百分数有其数据描述的天然优势。教师在教学中创设了投篮比赛的情境，让学生在比较中感受统一标准的必要性。

1.分析数据，渗透需求

教师出示表2，让学生比较谁的投篮水平高。学生通过观察数据发现，需要求出投中次数是投篮次数的几分之几（命中率）。为了便于比较，學生或将分数化成小数，或将分数先通分再进行比较。这种方式激活了学生已有的分数表示倍数关系的意义，同时让学生在交流中理解了命中率的意义。

2.产生冲突，激发需求

教师提问：“如果再来一个同学，是不是还是2号第一名呢？”随即依次增加多个学生的投篮信息。学生在比较多个不同分数表示的命中率时，通分显得非常麻烦，因此需要一个新的标准的数以方便比较，从比较中感受百分数进行数据刻画的优越性。

3.联系经验，体会倍数关系

百分数的本质是表示两个数的倍数关系。对于一个新的概念，学生需要进一步丰富经验。因此，教师让学生运用新的概念描述命中率的意义，建立分数与百分数的联系与区别，在比较中体会百分数表示两个数的倍数关系更方便。

（二）多元关联中理解，突出百分数的刻画价值

百分数与分数既有联系又有区别。可以适当拉长意义的理解过程，将百分数与生活经验对接，在辨析、比较中突出百分数的独特意义，在应用过程中挖掘百分数的本质。

1.将意义与经验关联，丰富概念的内涵

将百分数与学生生活经验关联，让学生解释生活中百分数的含义，用图形表征百分数，不断丰富百分数的内涵。启发学生思考：离开了这些情境，百分数的本质就是表示两个数的倍数关系。

2.将辨析与比较关联，理解概念的外延

学生在生活中接触到的百分数，大多数是部分量与整体的倍数关系。教学中，要通过设计题组（如图2），打破学生已有的思维习惯，让他们在比较、辨析的过程中打开思路，理解百分数概念的丰富外延。

学生答题时要结合实际情况对相应的百分数进行选择。接着，教师引导学生思考：“我国小学生的近视率为什么不选100%，不选106%呢？”“神舟飞船发射成功率有没有可能会超过100%？”“生活中什么情况下百分数可以超过100%呢？”让学生通过思考，明确当百分数表示“部分与整体关系”时，这个百分数不会超过100%，即≤100%；当表示“部分与部分关系”“整体与整体关系”时，可以超过100%。从而丰富了百分数的外延，使学生进一步理解了百分数表示两个数之间的关系。

3.与解决问题关联，发掘概念的内涵

将百分数与生活中的解决实际问题关联，让学生在应用百分数的过程中，形成一定的数据意识，发掘百分数的意义。

结合我国小学生的近视率约是22.78%这一素材，让学生猜一猜自己班学生的近视率是多少。随后现场收集数据，计算出班里学生的近视率，如表3所示。教师启发学生思考：“为什么我们班的学生近视率会那么高？根据这组数据，你有什么好的建议？”并对比整个六年级、整个学校的近视率的数据，让学生在解决实际问题的过程中，感受到百分数就如同一把判断视力下降程度的尺子，为大家对近视率的判断提供了依据，感悟到百分数表示两个数倍数关系的刻画价值。

（三）在随机现象中刻画，突出百分数的统计价值

作为统计量的百分数，让学生认识到百分数可以刻画现实世界中的一些随机现象，从而作出自己的判断和预测。在教学百分数时，要让学生感受其是对随机现象的表达，在实践活动中感受百分数的统计意义。

1.选择随机数据的素材，让学生感受不确定性

在教学中，可以通过创设真实的问题情境，选用现实世界中的随机现象导入百分数，如“篮球运动员的罚球命中率”“杭州城市空气质量指数的数据”等，帮助学生理解百分数的统计意义。比如可以让学生根据前文表2所提供的投篮比赛的数据，在多组数据的比较中体会数据的随机性，知道两个数的倍数关系可以用百分数来表示。

2.分析随机现象中的数据，在决策中体会数据刻画

通过随机现象中的百分数来刻画数据的分布，引导学生对一组数据中的信息进行分析、比较，利用百分数帮助人们对随机现象进行判断、作出决策。如对“篮球投篮比赛”的分析，在学生理解了百分数可以表示命中率之后，教师提出新问题：“如果再比赛一场，2号还是第一名吗？”“他们的排名情况又会是怎样的呢？”“这时我们派谁去参加比赛合适呢？”让学生思考再比赛一场后投篮情况的不确定性，感受到百分数是对随机数据的刻画与表达，有助于人们对随机事件进行判断和预测，帮助学生形成百分数的数据意识。

3.应用实践活动中的数据，体会百分数的统计价值

教师要引导学生在实践活动中理解百分数，在解决问题中应用百分数，培养学生的数据意识，即在实践中体会百分数的统计价值。如结合体育达标检测活动，要求学生设计一个“确定跳绳标准”的活动方案。在统计过程中，先请学生依次报出自己1分钟跳绳的个数，由教师输入EXCEL表格。接着教师将数据进行排序，要求学生依据经验确定等级标准，让他们进一步体会百分数在刻画数据中的作用。然后教师引导学生比较他们确定的等级标准与国家制定的跳绳标准，分析为什么他们定的标准远远高于国家制定的跳绳标准，依据这些数据想对相关体育部门提出什么建议。最后举一反三，请学生想想生活中有类似“制定跳绳标准”的事情吗？学生发现公交车的免费儿童身高、空气质量天数、GDP增长速度等都是随机数据。收集的数据越丰富，越容易帮助人们进行决策，体会百分数的统计价值。

综上，对于小学生来说，百分数表示分率的意义是比较抽象的，其刻画“随机现象”又是以百分数的意义为基础与前提的。因此，在教学百分数时，要将随机数据作为素材引入，让学生先理解百分数的意义，寻找百分数从“数的认识”意义到“统计量”意义的中间地带，在真实情境中体会百分数产生的必要性，在多元经验中理解百分数的倍数关系，在随机现象的描述中感受运用百分数的意义，从而感悟百分数的统计意义与价值。

参考文献：

［1］曲佳蓝.百分数概念的理解及其教学研究［D］.北京：首都师范大学，2014.

［2］斯苗儿，蓝雪敏，袁晓萍. 改进材料，让意义的理解更加透彻：“百分数的认识”一课的研究与实践历程［J］. 小学数学教育，2015（19）：29-35.

［3］马云鹏，吴正宪.义务教育数学课程标准（2022年版）案例式解读（小学）［M］.上海：华东师范大学出版社，2022.

［4］彭国庆. 课标修订背景下百分数内容的解读及教学建议［J］. 教育研究与评论（小学教育教学），2021（10）：22-26.

（1.浙江省杭州市临平区星桥第一小学2.浙江省杭州市临平区育才实验小学）