以正态分布教学解决高中数学课堂教学中的有效提问

□云南省昆明市寻甸县第一中学 马顺秋

新课标强调培养学生的学科核心素养，这一目标的实现离不开引导学生从数学的视角独立提出问题并解决问题的学习行为。然而，在教学实践中，传统课堂教学方式仍是主流教学方式，以教师讲授与发问为主，学生缺少独立提问并解决问题的机会。针对新课标要求与传统课堂教学现状的矛盾，本文从高中课堂有效提问的理论基础和课堂实践两方面探讨了改善传统课堂教学方式的可能性，并以正态分布教学设计为依托，在传统高中数学课堂教学形式下，探索如何促进学生有效提问并解决问题的教学策略。

一、问题提出

新课标的核心要求与传统课堂教学有着较大不同。《普通高中数学课程标准（2017 年版2020 年修订）》（下文简称新课标）指出：“数学学科核心素养是数学课程目标的集中体现，是具有数学基本特征的思维品质、关键能力以及情感、态度与价值观的综合体现，是在数学学习和应用的过程中逐步形成和发展的。数学学科核心素养包括数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析。这些数学学科核心素养既相对独立、又相互交融，是一个有机的整体。”根据新课标的精神，数学学科核心素养的培养过程是在数学学习和应用过程中逐步形成和发展的，是一种渐进式、发展式的培养过程。在这个培养过程中，教师需要重视对学生思维品质、关键能力以及情感、态度与价值观的培养。

（一）核心素养培养过程与传统教学目标有着较大差异

在传统教学中，教师更为重视知识点的传递和应用知识的基本能力，重点在于知识的积累。相对于新课标的要求，这样的教学过程难以突出思维品质、关键能力以及情感、态度与价值观等基本特征。

（二）新课标对教育教学提出高要求

新课标对数学核心素养内涵的阐述也对传统课堂教学提出了更高的要求，既反映了传统数学教学中核心素养培养部分——数学抽象、逻辑推理、直观形象及数学运算，又突出了大数据时代对数学学习的新要求，即强调了数学建模和数据分析素养的核心地位。传统课堂教学的内容和组织形式更适合于培养学生在数学抽象、逻辑推理、直观形象及数学运算方面的数学素养。但是，此类教学内容和组织形式往往难以满足对学生数学建模和数据分析方面的数学核心素养培养要求。鉴于此，教师有必要从教学内容和教学形式等方面思考如何创新、优化传统课堂教学，以满足新课标的要求。

（三）高要求和高挑战下的有效提问教学

面对数学核心素养培养对传统课堂教学的提出的要求，教师需要思考高中数学课堂教学中的有效提问这个关键教学环节。新课标提出将“培养学生发现问题、提出问题、解决问题”作为重要的课程目标，数学学科核心素养正是数学课程目标的集中体现。由此可见，在课堂教学中进一步突出高中数学课堂教学中的有效提问的重要地位，是优化传统课堂教学的重要抓手。

（四）正态分布教学下的有效提问

正态分布课堂教学能够更为全面地覆盖高中数学学科核心素养培养。正态分布模型是从大量观测数据中总结而成的一种经典分布模型，容易和实际问题相结合，便于设置问题，引发学生思考。从实际数据中发现数学规律，这正是数学抽象、数据分析、数学建模等核心素养的基本要求。针对正态分布模型性质的研究则可以促进学生从形象思维向逻辑思维转变，即以直观想象为基础，自觉地利用逻辑思维和数学运算能力去加工、组织研究对象的抽象数学性质。在这一过程中，教师适时引导学生发问，能够进一步提升学生在逻辑推理、直观想象和数学运算方面等核心素养。在此基础上，教师可以尝试引导学生将正态分布模型应用于不同实际场景，以数学模型的经典性质来分析或预测实际问题的发生或发展情况。这样既可以加深学生对正态分布概念及其性质的记忆和理解，又可以在激发学习兴趣的同时，提升学生利用数学原理解决实际问题的基本能力。因此，针对传统课堂教学在培养形式性核心素养方面的不足，教师可以尝试以正态分布教学为例，讨论在传统课堂教学中如何通过课堂教学中的有效提问来完善高中数学核心素养的培养过程。

二、有效提问的理论基础

（一）认知理论

提出问题是一项复杂而重要的认知活动，是培养学生探索精神、创新能力的重要途径。在课堂教学实践中，学生往往可以跟随教师的问题进行思考和学习，但是部分学生难以自主发问或质疑。

从认知活动的角度分析，这反映了传统课堂教学实质上是以教师的思考替代学生的思考。教师在备课阶段，通过对教学内容的巧妙编排，适时设置问题等技术手段，引导学生在预定的思路下进行思考和学习活动。这样的教学准备既可以使整个教学进程平顺精当，也可以使学生在课堂学习阶段易于接受教师的思路，进而易于接受新知识。然而，越精巧的内容安排和问题设置，就越限制学生主动思考的自由，忽视了对学生探索精神和创新能力的培养。因此，在教学设计中，教师应当在精心设计的基础上，适当留出学生主动思考和质疑的空间，从而为培养学生的数学核心素养做好准备。

同时，有效的课堂提问是对教师基于教材内容组织课堂教学的新挑战。在构建有效课堂提问的过程中，教师既要提升自己进行有效提问的能力，还要具备预测学生可能提问的能力。这不仅要求教师对教学内容有十分深刻的理解，还要求教师具备与之相关的拓展知识，如对相关的数学史、相关的应用领域等具有较为全面的了解。基于对专业知识的深刻理解和相关应用的全面了解，教师才能结合自身的知识体系结构提出有效而精彩的问题。同时，结合班级学情，以学生的视角和知识结构去预测可能的学生提问。这样的课程准备和教学设计，实质上已经超越了传统课堂教学的基本要求，无疑是对新时代教师教学能力的巨大挑战。

（二）建构主义学习理论

开展有效的课堂提问需要教师改变教学观念，突出学生的主体地位。传统课堂教学的典型特征是以教师为中心，教师主导着学生的学习过程。然而，建构主义学习理论认为，有意义的学习是基于学习者自身特定的生活经历和特有的知识结构的。由此不难发现，传统教学过程中，教师不自觉地以自己的生活经历和知识结构替代学生的生活经历和知识结构的现象比较普遍。因为学生的生活经历和知识结构往往不如教师的全面，这种替换成为学生发问的障碍。

为避免这一问题，教师可以适时适度地从课堂主导者的身份转变为问题制造者的身份。在课堂教学过程中，为学生准备足够的素材，让学生从自身的生活经历和知识结构出发去发现问题、提出问题。在这样的教学过程中，教师应专注于如何引导学生提出问题，而不是代替学生发问或解决问题。

（三）师生互动理论

有效的课堂提问是师生互动的结果，是激发学生学习兴趣、培养学生数学核心素养的有效手段。师生互动理论即在教学活动中，师生在能互相理解的基础上，一方做出具体行为，另一方能给出相应的反馈，进而经历相互交流的教学过程，如《论语》中所记载的孔子及其弟子的问答过程。在日常教学过程中，教师以讲授和提问等手段将新知识快速地传递给学生，在学生对新知识有一定理解的基础上，以教师提问的方式激发学生的提问和质疑，在引导学生提问的过程中，逐渐将课堂从教师中心转换为学生中心，从讲授式的课堂转换为讨论式的课堂。在这样的教学设计中，师生关系转变为讨论者关系，给予了学生与教师平等交流的机会。在平等讨论的环境中，学生不仅能提升数学思维能力，还能形成追求真理的精神。这样的课堂有效提问形式，满足了新课标对思维品质、关键能力以及情感、态度与价值观培养的要求。

三、有效提问的课堂实践

（一）知识梳理及问题设计

1.知识梳理。

正态分布属于随机变量及其分布之下的教学内容。其先导教学内容包括条件概率及全概率公式、离散型随机变量及其分布、离散型随机变量的数字特征、二项分布和超几何分布等内容。从上述学习内容可以发现，高中教材基本沿用了概率论中的知识结构体系。由于条件概率、全概率公式及与离散型随机变量相关的教学内容仅与初等运算相关，因此在正态分布的先导知识教学中可采用较为严格的数学定义。然而，当进入正态分布教学时，由于连续型随机变量的引入及其性质都不可避免地与积分运算相关，在教学时，教师不可能只以概率论的知识体系开展教学。因此，针对正态分布的教学可定位为对概率论知识体系的完善和基本应用。

属于正态分布的知识点：正态分布、分布密度函数概念及正态分布曲线性质。根据最近发展区理论，新概念的引入最好从熟悉的概念开始。作为正态分布的先导知识，二项分布无疑是引出正态分布的首选。然而，受学生的运算能力影响，他们很难以极限工具为基础，从二项分布导出正态分布。那么，是否需要放弃从二项分布过渡到正态分布的方案呢？实际上，在教学实践中，为了解决计算方面的困难，教师往往选择以统计学为基础的方案，即从误差分析问题入手，以频率逼近概率为基础，较为直观地引入正态分布概念。该方案的好处是不依赖于高等运算，可以兼顾频率与概率的关系。该方案的不足之处则是，无法体现离散型随机变量向连续型随机变量的转化过程，难以按照概率论体系构建离散型随机变量与连续型随机变量之间的联系与区别。

2.问题设计。

因高中数学知识体系中已经建立了较为直观的极限概念，教师可以考虑从直观的实验现象入手，结合极限的直观概念，通过直观想象和逻辑推理相结合的途径，从二项分布概念引入正态分布概念。一个可以尝试的方案是以高尔顿（Francis Galton）钉板实验为基础，通过对实验现象的观察及相关概率知识（如二项分布和乘法原则）感受离散型随机变量向连续型随机变量转化的极限过程。

引入正态分布及其密度函数概念后，正态分布曲线性质的教学可考虑加强对学生数学建模和模型应用的能力培养。正态曲线性质的教学重点在于理解和掌握正态分布的两个关键参数，即均值和标准差。由于众多日常现象与正态分布相关，所以此部分教学可在教师引入部分典型例子后，由学生讨论及相互质疑而形成更多为学生所熟悉的新例子。随后，视学生所得例子情况，考虑进一步引入与前沿学科（如人工智能及大数据处理等）相关的例子。利用这些学生不太熟悉的素材，引导其展开以理论知识为基础进行问题发现和问题提出的探索性学习。

（二）课堂问答实践片段

1.测量误差实验。

教师构想：取一个体重秤，称量全班同学体重，记录数据并观察该数据是否符合正态分布的特点，进而分析平均体重和体重的标准差。该项活动的目的是通过数据分析，得到正态分布的关键参数，培养学生的数据分析素养。具体活动开展如下所示：

首先，设问：“体重数据是否是随机的？”这既是对随机性概念的复习，也是培养学生的数学思维习惯，即在探讨数学问题之前，必须明确讨论的前提条件。

其次，再问：“数据是否符合正态分布？怎么验证？”这个问题可以由教师提出，也可视情况由学生提出。这个问题既是正态分布模型的基本应用问题，也是数学建模和数据分析素养培养的重要环节。

再次，实践：体重测量。分批次测量，逐渐增大测量人数。通过不同批次的数据，得到不同的均值和标准差。

最后，引思：在该实验的基础上，引导学生思考“为什么均值和标准差不同？随着人数增加，均值和标准差的变化是否存在某种规律？”该项活动重在激发全体学生的参与精神和学习热情，让尽可能多的学生参与到实验环节，增强其班级归属感和集体意识。这部分教学活动侧重于情感、态度与价值观的培养。

2.平均人脸问题。

教师构想：平均人脸问题是人脸处理问题中的一个基础问题，涉及人脸大数据的处理能力及人脸的概率模型问题。在探讨体重问题之后，教师可以提示学生“人脸是不是随机变量？如果人脸是随机变量，符不符合正态分布？如果符合正态分布，那么平均人脸是什么样子？”该系列问题的设置目的重点在于拓宽学生应用正态分布模型分析实际问题的视野。通常的教材或教辅材料很少涉及如此前沿的大数据分析问题，而且由于学生所见的例子过于标准化，导致学生很难认识到正态分布模型的广泛应用价值和强大的分析能力。以平均人脸问题为抓手，则可将高中课本中的基本知识点和大数据、人工智能时代的前沿问题联系起来。这既能提升学生对正态分布模型的认识水平，还能激发学生的学习兴趣和积极性。

四、结语

新课标对高中数学教学提出了新的、更高的要求，然而在现实教学中，传统课堂教学仍然是高中数学教学的主要形式。因此，在传统课堂教学的基础上，如何引进新的方法、思路，以满足新课标对学生数学核心素养的培养要求至关重要。通过理论分析和教学实践，本文提出了以课堂有效提问为抓手的传统课堂教学改革思路，根据正态分布及其性质的教学实践，摘取了教学过程中的三个关键教学片段。据此，从概念引入、模型应用和知识拓展三个方面探讨了课堂有效问题的设置问题，根据学情预判学生发问情况及提问过程中的情感体验问题，希望可以构建高效的有效提问课堂，促进学生数学核心素养的发展。