基于最小PDOP的跟踪仪顺次多站测量站位优化

马守东，高 栋，路 勇

(哈尔滨工业大学 机电工程学院，黑龙江 哈尔滨 150001)

1 引 言

随着大型复杂构件在航空、航天、能源等领域的广泛应用，传统数控机床已无法满足某些大型构件的加工需求，将工业机器人集成在移动平台上，组成移动机器人加工系统，为加工大型复杂构件提供了新的途径[1]。与固定式加工设备相比，虽然移动机器人具有较高的灵巧性和极大的工作空间等优势,但利用移动机器人加工大型构件时，需要将机器人多次移动，每次移动都需要重新快速测量机器人与工件的相对位置关系[2]，机器人的位置精度直接影响着大型构件加工质量，因此，准确测量机器人与大型构件的位置关系成为移动机器人加工大型构件的关键问题[3～6]。

目前常用于大尺寸测量的设备有激光跟踪仪、经纬仪、IGPS、激光干涉仪等。激光跟踪仪以其使用方便灵活而成为测量大型构件的首选设备，如利用激光跟踪仪提高飞机大部件的装配精度[7]、测量大型数控机床的空间定位误差[8]等。由激光跟踪仪测量原理可知道，随着测量距离的增加，测角误差对测量精度的影响将会变大。因此，为了提高测量精度，国内外相关学者提出了仅利用激光跟踪仪较高测距精度的多站测量法。

多站测量法主要围绕测量系统布局及自标定算法开展研究。天津大学的林永兵等[9]研究了四路激光跟踪仪的测量系统布局，着重考虑了目标靶镜接收角范围约束，得到了以被测点位置精度衰减因子(position dilution of precision，PDOP)最小为目标的系统最佳布局;缪东晶等[10,11]采用多站法测量大尺寸位姿参量，提出了基于最小二乘优化的自标定算法，实验验证该算法可有效提高测量精度;Wendt K等[12]研制了M3D3多站测量系统，并用于校准三坐标测量机的几何误差，实验结果表明在1 m3的测量体积内可将测量不确定度控制在0.4 μm范围内。

由于多站法测量时需要多台激光跟踪仪同时测量，测量系统造价昂贵，为此，有关学者提出了仅利用1台激光跟踪仪的顺次多站测量法，该方法需要将激光跟踪仪依次放置在不同站位下对目标点进行测量。王金栋等[13]利用顺次多站测量法对数控机床几何误差高精度检测进行了研究，提出了基于全球定位系统定位原理的几何误差辨识方法，在确定基站和测点位置的前提下，快速高效地辨识出了机床的几何误差，但是该研究没有考虑激光跟踪仪站位布局对测量精度的影响;Wang J D等[14]为了检测重型机床几何误差对顺次多站法中激光跟踪仪站位优化进行了研究，提出了以机床运动轨迹测量点的平均误差放大因子最小为优化目标的站位优化算法，利用蒙特卡洛仿真验证了该优化算法可有效减小测量不确定度;乔贵方等[15]采用顺次多站法对工业机器人运动学参数标定进行研究，获取了测量自标定中目标点数量、测量距离、分布形状、基站位置等参量对测量精度的影响规律，研究中分析了两种激光跟踪仪布局方式对测量精度的影响;Zhang Z等[16]提出了单台激光跟踪仪和4个公共点组成的顺次多站测量法，激光跟踪仪依次放置在3个不同位置，跟踪仪站位坐标通过跟踪仪到4个公共点之间的距离得出，目标点坐标由3个不同位置的跟踪仪确定，该方法较传统多站测量更具灵活性。由此可见，在多站法测量研究中，多以固定点测量为主，以被测量目标来优化激光跟踪仪站位布局，如文献[8]对机床与三坐标精度检测[17]、大齿轮测量[18]等，这种方式激光跟踪仪站位只需要满足测点可测即可，对激光跟踪仪的站位并无较高要求。

为提高顺次多站测量的测量精度，本文针对激光跟踪仪位置误差，在准确标定出测量系统中各公共点的基础上，以激光跟踪仪PDOP最小为优化目标求解激光跟踪仪的最优站位，并搭建实验平台，实验验证该优化方法的有效性及测量系统的精度。

2 大型构件移动机器人加工测量需求分析

图1为基于移动机器人的大型球壳体开孔原理图。该大型球壳体类似文献[19]中的点火装置(national ignition facility，NIF)，NIF要求在内径 10 m、厚100 mm的铝合金球体表面开孔，不同尺寸类型孔总数约200个，全部孔的对心精度和经纬度要求较高。在这种移动机器人加工方式中，机器人在全局测量系统中的位置精度会直接影响加工质量，利用外部测量系统，提高机器人与工件的相对位置精度，成为保证加工质量的关键技术[20]。

图1 基于移动机器人的大型球壳体开孔原理图Fig.1 Schematic diagram of opening of large spherical shell based on mobile robot

为确定移动机器人与大型构件相对位置，在机器人末端布置了装有3个目标点的标定板，每次机器人移动后，利用激光跟踪仪测量该标定板来确定机器人在全局测量系统中的位置，如图2所示。采用顺次多站法测量时，目标点的测量精度在很大程度上取决于多站测量系统中各激光跟踪仪站位的位置精度，实验结果也表明[21,22]，若预先对多站测量系统中各激光跟踪仪的位置进行准确标定，利用标定后的激光跟踪仪对目标点坐标进行求解，能够提高测量系统的测量精度。

3 激光跟踪仪顺次多站测量原理

3.1 激光跟踪仪测量误差

激光跟踪仪是集成了激光干涉仪和两个角度编码器的球坐标测量仪器，目标点的三维坐标由激光干涉仪测得的距离和两个角度编码器测得的角度得出。若用L表示激光干涉仪测得的原点O到目标P之间的距离，α和β表示水平角和天顶角，则目标P在笛卡尔坐标系下的坐标值可通过式计算得到：

(1)

激光跟踪仪的测量值与理论值之间的关系表示为:

(2)

式中：Lm为原点O到目标P的实测值，αm为水平角实测值，βm为天顶角实测值，ΔL为距离测量误差，Δα为水平角测量误差，Δβ为天顶角测量误差。

结合式(1)和式(2)可得到目标P在笛卡尔坐标系下的实测坐标值，图3中为由测角误差和测距误差产生的误差椭球。可见随着测量距离的增长，测角误差引起的测量误差将增大。因此,提出了只利用激光跟踪仪测距信息的顺次多站测量法[23]。

图3 激光跟踪仪测量的误差椭球Fig.3 The uncertainty ellipsoid of laser tracker measurement

3.2 顺次多站法

激光跟踪仪顺次多站测量法是以1台激光跟踪仪在不同站位下测量目标点，图4为其测量原理示意图。激光跟踪仪依次在不同站位对空间公共点即增强型参考系统(enhanced reference system，ERS)进行测量，以公共点ERS1为原点建立多站测量系统的全局坐标系，X轴由公共点ERS1指向公共点ERS2，公共点ERS1、ERS2、ERS3确定X0-Y0平面，Y0、Z0轴由右手定则确定，此时公共点坐标值分别为ERS1(0,0,0)、ERS2(x2,0,0)、ERS3(x3,y3,0)、ERSi(xi,yi,zi)。4台激光跟踪仪站位分别记作：S1(XS1,YS1,ZS1)，S2(XS2,YS2,ZS2)，S3(XS3,YS3,ZS3)，S4(XS4,YS4,ZS4)。

图4 顺次多站法测量原理Fig.4 Principle of sequential multi-station measurement

假设测量空间中共有i个公共点，对于每个公共点ERSi(xi,yi,zi)，利用空间中两点距离与4个跟踪仪站位可建立4个距离误差εi1,εi2,εi3,εi4方程：

(3)

式中Li1～Li4分别为S1～S4站位第i个共点之间的距离。

根据式可以建立包含4i个独立方程的方程组，而方程组独立未知参数的个数为3(i-3)+3+12，包括4个站位的12个未知参数、公共点ERS1、ERS2、ERS3的3个未知参数及剩余(i-3)个公共点的3(i-3)个未知参数。当独立方程个数4i大于等于独立未知参数个数3(i-3)+3+12时，即i≥6时，可通过将式(4)最小化求解出测量系统的所有未知参数。

由式(3)可得到：

(4)

式(4)为非线性最小二乘优化问题，可通过最小二乘法、高斯牛顿法等方法求解。

4 基于PDOP激光跟踪仪站位优化

在GPS(global positioning system)测量中，通常以PDOP的大小来评价卫星分布对定位精度的影响程度，PDOP还可表示天空中卫星分布的几何空间强度因子，当PDOP值越小时，表示卫星与定位点之间的几何分布关系越好，定位点的定位精度越高，反之越差。本文借鉴GPS定位原理，引入PDOP作为评价激光跟踪仪位置精度的指标。在预先标定好测量网络中公共点坐标的基础上，将公共点等效为GPS测量系统的中的卫星，激光跟踪仪位置等效为GPS测量系统的被测目标，如图5所示。

图5 基于PDOP激光跟踪仪站位优化Fig.5 Position optimization of laser tracker based on PDOP

假设激光跟踪仪最优站位点X(x,y,z)，公共点坐标Ci(xi,yi,zi)，激光跟踪仪到各公共点的距离可以由跟踪仪测量得到，各公共点的坐标已知，理论上有3个公共点就可以确定跟踪仪站位的坐标，为了保证测量精度，参照文献[8]选取4个公共点来确定激光跟踪仪的坐标，激光跟踪仪的测距残差为:

(5)

式中：ri为残差；Li为测量距离；i=1,2,3,4。

令x=x0+Δx，y=y0+Δy，z=z0+Δz，X0(x0,y0,z0)为激光跟踪仪最优站位的坐标值，按Taylor级数展开并略去高阶项[9]，可得线性方程：

(6)

写成矩阵形式：

按最小二乘原理RTR=min，可得式线性方程组的最小二乘解：

ΔX=(ATA)-1ATL

(8)

激光跟踪仪的距离测量为独立等精度测量，测距向量L的协方差矩阵Cov(L),Cov(L)=Iσl，其中I为单位矩阵；未知参数ΔX的协方差矩阵为

Cov(X)=(ATA)-1ATCov(L)((ATA)-1AT)T

(9)

式中：σl为激光跟踪仪的测距精度，其值为常数。

(10)

协方差矩阵的主对角元素是未知参数Δx、Δy、Δz的方差，即：

(11)

σ=Mσ1

(12)

(13)

当公共点布局确定后，求解最小PDOP值，该最小值表征跟踪仪站位精度最高、不确定度最小的位置，即激光跟踪仪的最优站位。

5 多站测量系统被测目标点坐标求解

将激光跟踪仪依次移动到最优站位，利用激光跟踪仪测距功能测得跟踪仪与各公共点及各目标点之间的距离，首先求解激光跟踪仪的坐标值，再以该跟踪仪坐标信息及到各目标点距离信息求解出被测目标点的坐标值,图6为测量示意图。M1、M2、M3为被测目标点，ERS0、ERS1、ERS2、ERS3、ERS4和ERSi为3.2节所述的公共点，SP1、SP2、SP3和SP4为优化后的激光跟踪仪站位。

图6 基于站位优化的顺次多站测量Fig.6 Sequential multi-station measurement based on station position optimization

被测点坐标可由式(14)得出，已知到目标点测量距离和激光跟踪仪坐标求解。

(14)

将式(14)整理为

(15)

式(15)同样为非线性最小二乘优化问题，可以通过最小二乘法、高斯牛顿法等方法求解。

6 顺次多站法站位优化仿真与实验

6.1 顺次多站法站位优化仿真

为了分析激光跟踪仪在空间中的位置精度与所在位置的关系，分别对激光跟踪仪在笛卡尔坐标系3个方向上变动时的位置精度进行了仿真实验分析。

6.1.1 激光跟踪仪垂直方向移动

为研究激光跟踪仪在不同高度上PDOP值的变化规律，选取4个公共点进行仿真，公共点坐标值分别为ERS1=[0 0 0]，ERS2=[1 500 0 0]，ERS3=[0 1 500 0]，ERS4=[1 500 1 500 0]，激光跟踪仪坐标X=[100 580Z]。

仿真结果如图7所示，可见PDOP值随着Z向高度先变小再变大，当高度值为600附近时，PDOP值最小，表明PDOP在Z向存在一个最小值。

图7 PDOP值与Z向高度间的关系Fig.7 The relationship between PDOP value and Z height

6.1.2 激光跟踪仪水平面内移动

公共点位置不变，激光跟踪仪高度分别设定为900 mm、1 500 mm、1 800 mm，3种情况下使其在水平面内移动，仿真获得的PDOP值与激光跟踪仪位置关系如图8所示。

从仿真结果可以看出，不同高度下水平面内的PDOP值的变化规律一致，最小值在平面中心位置，即该平面内激光跟踪仪的最优站位。

6.2 实验

基于以上仿真结果分析，本实验设置了11个自标定公共点，4个激光跟踪仪站位，3个目标点(机器人末端标定板上的目标点)，使用激光跟踪仪测量各站位到11个自标定公共点和3个目标点之间的距离，使用3.2节的标定算法，求解自标定公共点、目标点和激光跟踪仪站位的坐标。基于已知的公共点坐标，选取优化各激光跟踪仪站位的公共点组，并根据第4节计算激光跟踪仪最优站位。本实验使用API-T3激光跟踪仪，测量精度为15 μm+5 μm/m；API-XD激光干涉仪，直线度测量精度为(1+0.2) μm/m。

图8 不同高度的PDOP值Fig.8 PDOP values of different heights

图9为公共点布置示意图。

图9 顺次多站测量系统示意图Fig.9 Schematic diagram of sequential multi-station measurement system

实验中激光跟踪仪在高度方向不变，只是在水平方向上移动，先后放置在4个不同的位置，分别测量11个公共点和3个目标点，使用SA软件得到激光跟踪仪到各公共点和目标点之间的距离，利用式(13)和式(14)计算11个公共点、3个目标点和4个激光跟踪仪的坐标。表1为自标定坐标值。

自标定后，选取4个已知坐标的公共点，以PDOP值为优化目标优化得到的激光跟踪仪在其固定高度上的最优站位，图10所示为优化后激光跟踪仪站位布局图。

图10 优化后激光跟踪仪站位布局Fig.10 Optimized laser tracker station layout

表1 自标定系统坐标Tab.1 Self-calibration system coordinates mm

表2所示为以PDOP值为评价指标优化得到的激光跟踪仪坐标以及对应的PDOP值。

表2 基于公共点的激光跟踪仪站位优化Tab.2 Position optimization of laser tracker based on common points

实验中，机器人末端目标点的理论坐标未知，为表征测量精度，用标定板上被测目标点之间的距离测量来获取，标定板上的目标点间距作为标准长度，可事先用激光干涉仪测得，如图11所示。

图11 靶球间距理论值测量Fig.11 Theoretical measurement of target ball spacing

从表3可以看出，站位优化后L1、L2、L3的距离误差由自标定测量的55.1、48.3、46.8 μm分别降低到12.4、33.0、26.1 μm，标准差由29.0 μm降低到14.6 μm，优化站位后的顺次多站测量系统的测量精度可提高50%以上。

表3 标定板靶球距离Tab.3 Calibration plate target ball distance mm

7 结 论

本文提出了一种激光跟踪仪站位优化方法，以提高机器人与大型构件的相对位置精度，在分析激光跟踪仪测量误差的主要来源基础上，建立了顺次多站测量系统中激光跟踪仪的站位优化模型，给出了跟踪仪位置精度最优求解算法。本文方法在预先准确标定出测量系统公共点坐标基础上，选取4个公共点，以激光跟踪仪位置PDOP因子最小为优化目标，确定激光跟踪仪最优站位。实验结果表明：优化站位后的测量系统比自标定测量系统的测量精度提高50%以上，从而验证了本文方法对提高测量精度的有效性。