技术深度融合 发展核心素养—《反比例函数的图象与性质》学习工具制作综述

边涛 山东省淄博市临淄区凤凰镇召口中学

● 特色与亮点

1.快捷的交互设计

快捷的交互式设计按钮、可选的教学路径、可调的教学进度，让操作更加灵活便捷，不仅适用于师生的课堂教学，更方便学生“哪里不会点哪里”。

2.抽象知识可视化

借助几何画板进行动画演示，图形的形状、点的坐标变化、图象的位置变化、图形面积与系数的关系等通过改变参数或点的位置用动画方式得以呈现，视觉效果直观友好，让相关性质的总结水到渠成。有效地帮助师生突破了教学重难点，降低了学习难度，学生可以从变化的图象当中总结出不变的量，实现了“动静结合”的教学效果。

3.动手操作乐趣多

课堂上，学生人手一机和教师一起探究反比例函数的图象与性质。课下，学生可以利用课件在家进行复习与巩固，根据自己的情况展开个性化的学习，更能感受到成功的喜悦和学习的乐趣，增强学好数学的信心。学生亲自操作探究，体现了以学生为主体的现代教育技术与学科结合的理念，让学习更人性化。

4.领悟思想培素养

在探究反比例函数性质的过程中，让学生领悟数形结合思想、转化思想、变化与对应思想的存在，并运用这些数学思想观察、分析反比例函数的图象，探究、归纳、概括反比例函数的性质，培养学生良好的思维品质，提高学生的思维能力，培养学生的数学学科核心素养。

● 制作背景

《教育信息化2.0行动计划》指出：教育信息化必将成为促进教育公平、提高教育质量的有效手段；要积极推进“互联网+教育”发展，持续推动信息技术与教育深度融合；要全面提升师生的信息素养，培养良好的信息思维，以适应信息社会发展的需要。几何画板所具有的“化抽象为具象”“动态化图形”的功能特点能够帮助学生对数学知识的理解，促进数学课堂教学的探究性、情境性，为教师设计课堂教学和学生学习活动提供了相应的现实条件。

《义务教育数学课程标准（2022年版）》提出要合理利用现代信息技术，提供丰富的学习资源，设计生动的教学活动，促进数学教学方式方法的变革。在实际问题解决中，创设合理的信息化学习环境，提升学生的探究热情，开阔学生的视野，激发学生的想象力，提高学生的信息素养。《反比例函数的图象与性质》是鲁教版义务教育教科书九年级上册第一章第二节的内容。反比例函数图象与性质的学习，是继一次函数后，知识与方法的一次拓展、理解与认识上的一次升华，也是思维的一次飞跃。图象由“一条”到“两支”，形态由“直”到“曲”、由“连续”到“间断”、由与坐标轴“相交”到“渐近”，都反映出对函数概念本质属性的进一步深化。基于这些变化，反比例函数的图象与性质对学生来说是较难理解的。在课上有限的时间内，如果仅凭学生画在纸上的少量图象和教师口述，学生不易从动态变化中深刻地理解函数的性质，进而会影响他们运用性质解决问题。这就要求教师在课堂教学设计中充分考虑教材内容特点和学生的年龄认知特点，合理利用现代信息化教学工具，将学生不易掌握的反比例函数的图象与性质用几何画板软件呈现出来，利用数形结合，师生合作探究，融学科知识学习与探究于一体，将数学知识的本质与实际操作相结合，把抽象的知识可视化、动态化，突破教学重难点，提高教学效率。

● 设计思路及内容结构

1.设计思路

本学习工具从数学学科学习的特点和学生的认知规律出发，通过一系列“问题”的设置，层层递进，顺次展开，在关键点通过动画演示引导学生自主构建反比例函数的相关特性，加深对课堂教学内容的理解，充分突出学生的主体地位。

整个学习工具学习主线清晰，问题呈现简洁，操作要求易懂，图象变化直观，规律总结自然。它既可以作为教师上课的工具，又可以作为学生自学的帮手，学生通过本工具边操作边总结，能够完成自学，构建起反比例函数的图象与性质的知识体系。

2.内容结构

整个学习工具分为三大部分，设计简洁、完整，操作便捷。

（1）情境创设，引入新知

研究函数是按定义—图象和性质—应用的路径展开的，而图象和性质则主要研究了图象的形状、位置、变化趋势。学生有一次函数的学习基础，但时间间隔太久，难免有遗忘。基于此，在课堂教学中笔者通过让学生回忆学习函数的过程和方法，培养学生在学习过程中发现研究问题的一般规律，这对于今后的数学学习，以及其他学科的学习都有帮助。

（2）观察探究，突破难点

①图象画法。图象是直观地描述和研究函数的重要工具。反比例函数图象相对于一次函数图象，形态丰富，结构复杂，具有自身的特殊性。通过让学生经历用描点法画出反比例函数图象的基本步骤，可以使学生对反比例函数先有一个初步的感性认识。教师提出如何画出反比例函数y=4-x的图象的问题，引导学生回顾函数图象的画图步骤并作出相应提示。在学生自主完成画图象后，教师适时点拨，展示学生作品，并通过几何画板追踪点的轨迹演示反比例函数图象的生成过程，给出双曲线的名称，并渗透它的形态特征。双曲线的生成过程的演示可以加深学生印象，引起兴趣，更重要的是在作图准确性上起到示范作用，让学生看到标准的双曲线的形状。

②图象的基本性质。在图象作出后，引导学生观察图象的形状、位置、变化趋势，感受“形”的特征，感受自变量与函数值之间的变化与对应的关系，使学生对反比例函数的图象与性质形成初步的印象。想要总结函数y=k-x的图象特征，只有一个图象是不够的，让学生多画几个图象，既巩固了作图技能，也让其手中有更多的素材展开研究。组织学生分组在同一直角坐标系中画出反比例函数的图象，并观察图象有哪些特征。在同一坐标系中画函数图象，使对比更加强烈。小组讨论的学习方式，可以使个人的想法得到纠正和补充，可以展示自己的自信，也能看到自己的不足，分组画出不同的函数可以节省时间。在总结图象特征的过程中，增强学生对图象的观察、感知、分析、概括的能力，让学生经历画出函数图象，并利用图象研究函数性质的过程。随后教师引导学生思考：是不是所有的反比例函数的图象都具有这样的特征？如下页图1所示，教师用几何画板展示当参数k变化时图象的变化情况。学生通过观察图象，发现所得到的不同的反比例函数图象的特征，进而归纳“变化中的规律性”。改变点B的位置，让学生比较点B的纵坐标跟随横坐标变化情况。

图1

教师通过几何画板动态演示，验证猜想，使学生经历从特殊到一般的过程，加强对反比例函数图象特征的认识。接着再让学生在同一坐标系中画出图象，并比较异同，自行总结规律。有了前面对k＞0情况的详细分析，学生可以类比进行k＜0的情况探究，既锻炼了分析探索能力，又对前面所学知识进行了复习和能力的检验。通过两方面的探究，让学生梳理、归纳反比例函数的图象特征，在活动中，让学生去观察、发现、总结，实现学生主动参与、探究新知的目的。

反比例函数的图象与性质，本身就是“数”与“形”的统一体。通过对图象的研究和分析，可以确定函数本身的性质，但对解析式的剖析也不能忽视。教师启发追问，以上特点是否只能通过观察图象得到呢？如果不画图，通过分析解析式的特点能否得到上述结论？教师从解析式的角度，引导学生分析上述结论的合理性。这种从“数”的方面的再强调，会使学生对反比例函数和图象与性质的认识更加科学精确。通过图象研究函数是从形到数，而通过分析函数解析式去想象图象的形状是由数到形。让学生自己归纳函数性质是为了锻炼学生的抽象、概括能力，同时调动学生学习数学的积极性。在分析进行过程中，在得出结论的同时填写表格，表格的形式对学生的思路起到引导作用，比文字的叙述更直观易懂。

③图象的对称性。反比例函数的对称性是个难点，这里采用几何画板作图验证的方式帮助学生理解。一方面，在反比例函数的图象上选定A(1,1),B(-1,-1)两点，过A,B两点作出正比例函数y=x的图象。把直线y=x选定为对称轴，在反比例函数的图象上任取一点C，再作点C关于直线y=x的对称点C＇让学生观察点C＇的位置并对比点C和点C＇的坐标，总结两者关系。然后拖动点C在反比例函数的图象上运动，增加对称点的数量，让学生观察点C＇的位置变化，进而发现，反比例函数的图象关于直线y=x对称。另一方面，再利用几何画板作出直线y=-x，作出点C关于直线y=-x的对称点C″，并让两点运动起来，让学生比较两点坐标后归纳得出反比例函数的图象关于直线y=-x对称。

④双曲线与坐标轴的距离。如图2所示，教师通过几何画板演示说明当k值变化时，反比例函数的图象也相应地产生变化。直观的演示容易让学生观察到函数图象位置与k的关系。

图2

⑤矩形面积与k的关系。教师提出问题，在反比例函数的图象任取一点P，过点P分别作x轴、y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为多少？利用几何画板的测量功能测出矩形面积，拖动点P，让学生观察测量出的面积有什么变化。改变参数k值的大小后再移动点P，让学生继续观察矩形面积的变化，最后得到矩形面积等于|k|。至此，学生对反比例函数的各种性质已经有了比较完整的认识和理解。

（3）巩固反思，深化理解

在总结得出反比例函数和图象与性质之后，为学生提供一系列的练习，目的是为学生提供一个体会“数形结合”、应用“数形结合”分析问题的平台，从而实现知识向能力的转化。教师引导学生交流本节课学习的知识和探究问题的方法，以及用到的数学思想，对本节课所学知识进行及时整理、巩固和提高，培养学生整理、归纳的习惯和能力。

● 关键技术处理

1.演示画法得形状

在画反比例函数图象时，点击“画图象演示”按钮可让点运动起来，通过追踪点的轨迹展示画象的过程，让学生看到标准的双曲线。

2.变化参数得性质

在归纳反比例函数的性质时，可拖动滑块手动改变k值，让图象随着k的变化而变化。拖动点B，点B的坐标会随之变化。学生可通过观察图象，发现所得到的不同的反比例函数图象的特征，归纳“变化中的规律性”。

在图象位置与k的关系探究中,可以给参数k赋以不同的值，在键盘上按“shift+”或“-”，使k值可正可负，此时可直观地看到双曲线的位置随着k的变化而变化，大量双曲线的呈现方便学生总结规律。

在探究图形面积与k的关系时，参数k可利用键盘的“shift+”或“-”使其发生变化，相应地，拖动点P，改变点P的位置，可研究阴影部分面积与k的关系。

3.对比坐标得对称

在反比例函数的对称性学习环节，可拖动点C，观察点C和点C＇的坐标变化，点击“验证”按钮，坐标系中会作出直线y=-x，拖动点C，可直观观察点C和C″的坐标变化，进而用平面直角坐标系内对称点的坐标的特点来说明反比例函数图象的对称性。

● 幕前幕后

在一次很偶然的培训中，笔者接触到了几何画板软件，为它的强大功能惊叹不已。因为培训时间很短，当时只学会一些基本操作，后来在教学中，在遇到需要测量、作图、用动画破解难点等情况时，边学边做，经常把制作的片段用作教学辅助，这种不间断的使用也为自己积累了经验。赛前，笔者购买了相关书籍，到EOC官方网站查阅了相关资料，研习了往届很多获奖作品，通过学习研究对数字化学习工具有了全新的认识。笔者一直没有尝试过思路严谨、结构完整的学习工具制作，设计本工具的初衷是想为学生提供一个易学易用、知识体系相对完整的工具。在工具的开发过程中，笔者经过多次修改和调试，克服了多个技术难题，最终形成现在的版本。从学生使用效果来看，达到了预期的效果。首先是利用信息技术，创设学习情境，激发学习兴趣，吸引学生注意力。其次，学习工具为学生搭建了认知支架，学习路径自然流畅，突破了教学难点，提高了学习效率。最后，利用本工具自主学习优化了学习体验，培养了学生数学素养。

在新冠疫情期间，活动是以线上的形式开展的，回顾整个参赛过程，作品的构思制作、陈述展示、线上答辩等一系列环节，都对笔者有很大的冲击，其间自学并首次使用会声会影软件进行录屏、视频编辑，参与的过程也是自我成长的过程，个人的专业素养也因此得到了提升。通过大赛展示自我的机会弥足珍贵，特别是在听了专家评委的点评和建议之后，笔者更加明确了后期努力的方向。学习工具的美工、视觉呈现效果如何更优化？如何融合其他软件的优势开展数学实验，让学习更加立体？这些都是需要研究的问题。

如今，学校新上了高配置的网络交互教室，硬件条件越来越好。“潮平两岸阔，风正一帆悬”，笔者会以此为契机，不断提高自己的专业水平，用技术服务学生，让信息技术融合教学发挥其真正的作用。