一种基于麦克斯韦电磁力的证据冲突表示方法

付波，徐康，李超顺，赵熙临，权轶

(1.湖北工业大学电气与电子工程学院，武汉 430068；2.华中科技大学水电与数字化工程学院，武汉 430071)

Dempster[1]提出了D-S(Dempster-Shafer)证据理论，被Shafer[2]进一步发展。迄今，D-S证据理论被广泛用于信息融合[3-4]、故障诊断[5]、决策分析[6]、等领域。其中，Dempster证据理论主要用于融合多个证据。然而，如果把Dempster证据理论用来融合相互矛盾的两个证据时，会导致和直觉相悖的结论。随后，很多人开始对Dempster证据理论的组合规则提出了质疑。冲突证据的融合一直是D-S证据理论的热门。到目前为止主流方法有两种。第一种方法是修改证据理论的组合规则，重新分配冲突，使其适应高冲突的环境。Leferve等[7]提出的“统一可靠性函数组合方法”用于修改组合规则。Fixsen等[8]和Daniel[9]提出minC(细化分配空间)组合规则，突出了局部冲突，并且提出了潜在冲突的概念。Ma等[10]近来提出了一种基于完整的冲突集灵活的组合规则。Xiao[11]提出了冲突证据之间的比例分配规律。类似的研究还有Yager[12]、Yager等[13]、Inagaki[14]等介绍了对命题的平均支持的方法。第二种方法是提前对高冲突的证据进行处理，修改原始数据源，最后进行证据融合。此类方法以Haenni等[15]为代表。具体典型方法包括Deng等[16]的加权平均法、Murphy[17]的简单算术平均法等。最近，Fu等[18]提出了一种基于信念库仑力的证据理论，该方法根据库仑力的大小来确定证据权重，通过权重构造平均权重，最后进行融合；陈科等[6]利用了在证据理论中加入两种神经网络来分配基本概率的方法，得出了可信度的大小对应可信程度的高低，最后对改进的证据进行融合；刘燕平等[19]和张扬等[20]分别提出了组合赋权和新的证据分聚类融合算法；鹿浩等[21]提出了将贝叶斯网络参数与证据理论相结合，克服了在小数据集下的参数不准确的问题。

针对高冲突证据无法处理和不同证据之间的重要度不一样这两个问题，作者认为证据信息融合的本质是证据间融合力的效果，证据之间作用力的大小可以通过所提出的MCF(Maxwell electromagnetic force)来量化，将证据距离函数与经典证据冲突系数结合起来，较为直观指出证据间融合力的表现形式，利用麦克斯韦电磁力和新的证据冲突表示方法来衡量证据之间的冲突程度。然后按照Dempser组合规则来融合证据。最后的测试结果也表明该方法的应用价值。

1 D-S证据理论

1.1 D-S证据理论

1.1.1 识别框架

定义1设Θ={θ1，θ2,...,θn}表示一组相互排斥的有限集合，Θ被称为识别框架。Θ的功率集表示为[1,2]，有

2Θ={∅，{θ1},{θ2},…,{θN}，{θ1，θ2}…

{θ1，θ2,…,θi}…Θ}

(1)

式(1)中：2Θ表示全部识别对象；∅表示空集，如果A∈2Θ，则称A为命题。

1.1.2 质量函数

定义2对于证据理论中的识别框架Θ，质量函数定义为从2Θ到[0,1]的映射m，即

m：2Θ→[0,1]

(2)

满足以下两个属性，即

(3)

1.1.3 Dempster的组合规则

定义3假设这两个证据函数在识别框架上，Dempster证据理论的融合规则为

(4)

式(4)中：[m1⊕m2]表示证据体m1和证据体m2融合。BPA(basic probability assignment)反映了证据对识别框架中的命题A和命题B的支持程度，即m(A)m(B)。

冲突系数K为

(5)

只有当K>1时，Dempster的组合规则才能发挥作用。

1.2 证据距离

定义4Θ中是N个两两不同的命题，m1和m2是两个BPA，m1和m2之间的距离计算公式为

(6)

(7)

式中：D为一个2N×2N的矩阵，D(A,B)为其元素；P(Θ)为Θ所有子集生成的空间。

1.3 冲突系数

在证据理论中，看证据之间是否冲突，是通过冲突系数K的大小来表示的。其表达式为

(8)

(9)

在Dempster组合规则中，如果K=1，Dempster组合规则就无效；而当K→1时，直接对冲突证据进行融合会出现和直觉不一样的结果。

1.4 皮尔逊系数

皮尔逊相关系数一般用于判断两者之间的相关程度，用ρ表示。

定义5对于具有N个元素的识别框架Θ，两个证据之间的BPA表示为m1、m2。两主体之间的皮尔逊系数定义为

ρ(m1,m2)=

(10)

当ρ>0时，m1、m2之间为正相关；当ρ=0时表示m1、m2之间完全无关；当ρ<0时，m1、m2之间为负相关。

2 改进的D-S证据理论

2.1 新冲突系数

定义6新冲突系数为

(11)

式(11)中：Kpq表示冲突系数，由式(5)计算，dBPA(mp，mq)表示证据p、q之间的距离，由式(6)计算。

2.2 麦克斯韦电磁力理论

2.2.1 Deng熵

Deng熵是测量证据体不确定信息的有效工具，计算公式为

(12)

式(12)中：A为m中的一个子集，|A|是A中的一个子集，2|A|-1表示A中的序数。信息熵可以度量证据体的信息量，目前引用较多的是Deng熵。

例1给出在同一识别框架下的两个证据m1、m2。它们的BPA如下所示。

在证据体m1中：m1(A1)=N1，m1(A2)=N2，m1(A3)=N3；

在证据体m2中：m2(A1)=P1，m2(A2)=P2，m2(A3)=P3；

其中N1≠0，N2≠0，N3≠0，P1≠0，P2≠0，P3≠0。

基于Deng熵[16]得出证据体m1的磁感应强度为

=-(N1log2N1+N2log2N2+N3log2N3)

(13)

同样，证据体m2的磁感应强度为

=-(P1log2P1+P2log2P2+P3log2P3)

(14)

2.2.2 麦克斯韦电磁力定律

定义7设F是电磁铁的电磁力的大小，φ为工作气隙磁通，B1和B2为工作气隙磁感应强度，S为磁路截面积，μ0为真空磁导率，其值为4π×10-7Wb·A/m。将麦克斯韦电磁力公式定义为

(15)

根据式(15)可以知道麦克斯韦电磁力定律的表述如下：任意两个电荷磁感应强度相互吸引或者排斥，麦克克斯电磁力的大小与两个磁感应强度积成正比，与它们面积成正比。

2.2.3 麦克斯韦电磁力公式

在麦克斯韦电磁力理论的启发下，在证据理论的框架下提出了一种新的MCF。

定义8在同一个识别框架下，有m1、m2两个证据。MCF公式定义为

(16)

μET=2-ε|Θ|，0≤ε≤1

(17)

3 算例分析

例2给出Ω=(1,2,…，20)，m1(7)=0.1，m1(A)=0.9，m2(1,2,3,4,5)=1。其中，A按照元素数递增的方式变化，如表1所示。

从表1可以看出冲突系数K，证据距离dBPA和新的冲突系数Kd的比较，图1显示了K和Kd随着子集A的变化而出现的现象。

图1 证据冲突系数的比较Fig.1 Comparison of conflict of evidence factors

表1 新冲突系数与经典证据冲突系数的比较Table 1 Comparison of the new conflict coefficient with the classical evidence conflict coefficient

不管子集A中的元素怎么变化，K始终为固定值0.1，不符合常规；新冲突系数Kd会随着A中元素数的增加而变化。A中的元素数少的时候，冲突会比元素数大的时候小；当子集A有变化时，新冲突系数Kd的值最大达到0.481 3，可有效表征出证据之间存在较大冲突。

从仿真结果可以看出经典冲突系数反映的是证据之间的非包容性。在例3.1中，证据1和证据2之间始终存在交集，本文中认定无冲突。本文提出的新冲突系数自身就有非兼并性，并且引入了证据距离，证据中的元素数的改变会引发冲突程度的改变。

例3在本例中，通过实验来看各变量之间的关系。

给定20个元素，如{1,2,3,…,20}。m1、m2的BPA如表2所示。

表2 输入MCF公式后各参数值Table 2 Value of each parameter after entering MCF formula

根据表2，绘制了图2、图3。当元素集从(1)一直到(1,2,…,20)，可以看出d2和FMCF的变化。

如表2所示，A从(1)到(1,2，…,20)，证据m1的值越来越大。证据体m2中命题元素的数目不变，因此，Bm2是个常量。命题A集合的大小和d2、FMCF和命题A集合的大小关系分别如图2，图3所示。

图3 FMCF变化趋势图Fig.3 FMCF change trend chart

通过图2可以发现，磁通量通过面积S、证据距离的平方d2随命题元素数目的增加先减小后增大，具体而言，当集合A接近集合{1,2,3,4,5}时，d2的值是最低的。反之，当集合A的值偏离集合时，其值增大。特别的是，在集合A元素数目小于5时，整体呈现出下降的趋势。

图2 d2变化趋势图Fig.2 Trend graph of d2 change

上述两个仿真表明当集合A元素数目为5时，d2达到最小值。随着集合A元素数目的增加，d2增加。从第一章可以看出，证据距离d用于表示证据之间的相似性。当集合A元素数目为5时，即A={1,2,3,4,5}，m1和m2具有最大的相似性，即d最小，d2也最小。随着集合A中元素数的变化，m1和m2磁通量也在变化。此外，从图4中还可以观察到，当集合A中元素数目为5时，FMCF达到最大值。结合MCF的物理意义，证据之间的差异最小，即证据距离d最小。m1和m2之间产生吸力并被最大化。此后，随着集合A元素数目增加，m1和m2之间的相似性逐渐减小，FMCF的值整体呈现出下降的趋势。

例3中在T=0时刻，3个传感器分别得到一组证据，为m1、m2、m3，在T=5和T=10时刻，传感器4,5也得到一组证据为m1、m2、m3,之后当T=5 s，T=10 s时，传感器4、传感器5分别获得一组证据，命名为m4、m5。他们的BPA如表3所示。

从表3中可以看出，冲突证据是m3，证据体m1、m2、m4、m5都支持命题1，只有证据体3不支持命题1。图4为5种证据融合过程。

表3 从传感器获得的初步证据Table 3 Preliminary evidence from sensors

在图4中，图4(a)表示在自由状态下五组证据。当T=10 s时可以观察到获得的所有的证据。在非MCF系统中，5组数据体之间是分散的，如果直接对五组证据进行证据融合，就是证据与证据之间的简单排列组合，然而，m3与其他证据支持的命题不同，为一个干扰信息，最后的结果会与实际不符。如果考虑MCF系统，那么在证据融合的每个阶段，在MCF的作用下证据会慢慢融合。

图4 5种证据的融合过程Fig.4 The process of convergence of the five types of evidence

在T=0时刻，对于m1、m2、m33组证据来说，m3是一个高度冲突的证据体。如图所示，m1和m2之间的距离最接近，而且m1和m2之间的皮尔逊系数大于0，m1和m2之间有麦克斯韦电磁吸力更容易融合。m1和m3之间的距离较远，而且m1和m3之间的皮尔逊系数小于0，m1和m2之间难以融合。同理，m2和m3也是如此。假设在MCF的作用下，强行融合m1和m2，融合成为了一个新证据体M′。由于命题可靠性增加，其磁感应强度也变得大于之前证据的磁感应强度，新形成的证据体M′与m3的证据距离更大了。M′与m3仍然不能融合。在T=5 s时刻，新证据体m4加入到系统中，在MCF作用下的证据之间的关系如图4(d),M′和m4融合形成新的证据体M″。此时，m3仍然是一组冲突证据。如图4(e)所示，与第一阶段不同的是，M″命题可靠性增加和M″与m3之间的证据距离增加，但是他们之间的麦克斯韦电磁斥力减小了。同样，在第3阶段(T=10 s)，证据体m5加入系统时，MCF作用下的证据之间的关系如图2(f)，M″和m5融合形成新的证据体M‴。此时，m3仍然是一组冲突证据。如图4(g)所示，显示在MCF作用下5组证据体的最终状态。总而言之，随着新形成的M′、M″、M‴证据可靠性增加，它们与m3之间的证据距离也增加了。

4 实际应用

(1)建立一个矩阵(MCFM)，即

(18)

式(18)中：两个证据体mi和mj之间的麦克斯韦电磁力表示为F(mi,mj)，i=1,2，…，n，j=1,2，…，n，并且i≠j。ξ的值不被定义。

(2)计算证据之间的信任概率和证据之间的支持程度，公式为

(19)

证据主体的信任度表达式为

(20)

式(20)中：Su(mi)表示对证据体mi的支持程度。

(3)任意一个证据体mi的可信度用Crd,i来表示，定义为

(21)

(4)对上述过程得到的结果进行n-1次按照Dempster证据理论的融合规则进行融合，得出最后的结果。

在工厂日常生产中，出现故障是很常见的问题，在电机转子出现故障需要诊断时，本文将用传感器来采集特征信息，用传感器1来采集加速度信息，传感器2采集速度信息，传感器3采集位移信息，所得原始输出信息如表4所示。将这些传感器获得的数据变成证据体的BPA，传感器获得的信息如表5所示。

表4 传感器的原始输出Table 4 Raw output of the sensor

表5 多传感器获得的数据Table 5 Data acquired by multiple sensors

最后得到的数据对于故障事件支持的概率的大小决定和诊断结果的准确性，概率越大，最后故障诊断的结果越准确。本文中，设置概率值大于0.8就可以做出判断，得到最后的诊断结果如表6所示。

通过比较表6和表7中的故障诊断结果，可以清晰地看出本文方法的优点。在表6中，若只考虑0.8以上才可以做出判断，则3个单一的证据都很难做出判断。表7中，如果使用以上方法加上传感器得到的证据，也很难做出正确的判断。而本文提出的方法则可以做出更优的判断。

表6 3种不同类型传感器的初始诊断结果Table6 Initial diagnostic results for three different types of sensors

表7 一些现有技术比较Table7 Comparison of some existing technologies

5 结论

在证据理论体系下提出了一个新的MCF概念。在D-S证据理论中，利用MCF公式表征证据之间的电磁力程度。通过证据信息融合的建模，说明融合过程中MCF的合理性。最后通过解决证据冲突管理的热点话题，论证了该方法的应用价值。此外，在故障诊断中的应用也说明了该方法的正确性和有效性。