主题教学视角下高中数学单元整体教学设计与实践——以上教版高中数学“函数”为例

彭 晖

（上海海事大学附属北蔡高级中学 上海 201204）

一、 研究背景

2003 年版《普通高中数学课程标准（实验）》出台之后，课程内容的呈现形式是“知识领域—知识单元—知识点”。[1]这种方式在聚焦每节课的知识点、优化教学活动等方面有一定的优势，但也存在很多不足，如教学上容易重细节轻整体，使内容割裂，造成教学内容碎片化，不利于形成完整的知识链，不利于学科素养的养成。[2]拉尔夫·泰勒提出，教学实施的基本结构是单元。[3]随着课程改革的不断深入，知识的整体性和教学的单元化越来越受到关注。为了更好地促进学生数学学科核心素养的提升，《普通高中数学课程标准（2017 年版2020 年修订）》（以下简称《课标》）提出，应注重教材的整体结构，体现内容之间的有机衔接；要整体把握教学内容，注重课程目标的整体实现；关注数学学科核心素养的综合性与整体性；重视评价的整体性和阶段性；等等。[4]钟启泉认为“单元设计是撬动课堂转型的一个支点”[5]，崔允漷教授认为“学科核心素养呼唤大单元教学设计”[6]，课程教学设计从关注单个知识点、课时转向关注单元教学设计。

主题教学是推进实现数学学习的整体性和阶段性的重要方式。根据高中数学学科特点，可以将课程内容划分为预备知识、函数、几何与代数、概率与统计、数学建模与数学探究活动五大主题，以“主线—主题—核心内容”为结构呈现课程内容。关于如何将这些理念落实到教学实践中，近年来在单元教学方面有了很多深入的探讨和思考，取得了可喜的进展。但从主题教学视角探索单元整体教学设计，目前这方面的研究较少。本文将以高中数学“函数”主题中的“函数的单调性”这一核心内容为主线，探索主题教学视角下的单元整体教学设计。

二、 主题教学的内涵与特征

根据教学需要，数学主题可以是以核心数学知识或重要数学概念为主线组织的知识类主题，可以是以数学思想方法为主线组织的方法类主题，也可以是以数学学科核心素养、基本能力为主线的素养类主题等。[7]数学主题教学是在整体思维指导下，从提升学生数学学科核心素养的角度出发，对教材内容进行统筹重组和优化，并将优化后的教学内容视为一个相对独立的教学主题，明确主题内容在课程标准以及整个阶段中的定位和要求，突出数学内容的主线以及知识间的关联性，在此基础上对教学主题整体进行循环改进的动态数学教学。[8]这样的数学内容相对独立，同时具备相应的整体性，可以成为一个数学主题。

数学主题教学的教学单位从课时过渡到主题，教学过程也不再是静态呈现，存在动态的调整。因此，在知识内容上，将碎片化的数学知识与思想方法等进行模块式整合，同时保持知识结构的完整性；在教学安排上，突出目标导向和系统性，将教学活动的各个环节放在整体的教学系统中，注重主题教学的整体，同时有必要把教学过程划分为不同的阶段，每个阶段又划分成多个课时，使阶段与阶段之间、课时与课时之间既相对独立又相互联系；[9]在学生认知方面，主题教学回应不同阶段的学生认知结构，主题教学要深入把握学生的认知规律。另外，主题教学需要教师在教学过程中注重实践反思，不断改进和完善。

以主题教学为背景的单元整体教学设计，一般需要经历前期分析和后期设计两个阶段。前期分析通常分四步：第一步，结合《课标》要求，确定主题内容；第二步，明确学科核心素养培育方向，提炼核心内容；第三步，结合学情规划核心内容的教学任务，确定单元整体教学目标；第四步，将确定好的单元整体教学目标划分成不同的阶段，确定各阶段的子目标。后期设计将前期划分好的每个阶段再划分成各个课时，设计相应的课时学习任务、学习活动及教学评价标准。[10]

三、 “函数”主题教学的单元整体教学设计

（一） 基于《课标》要求，梳理知识脉络

“函数”是贯穿高中数学课程的主线，是中学数学最基本的概念，是描述客观世界中变量关系和规律的最基本的数学语言和工具，也是从初等数学走向高等数学的一个重要内容。《课标》要求把“函数”主题的内容视为一个整体，引导学生从变量之间的依赖关系、实数集合之间的对应关系、函数图像的几何直观等角度整体认识函数概念；通过梳理函数的单调性、周期性、奇偶性（对称性）、最大（小）值、极值和导数等知识，全面认识函数的整体性质和局部变化；经历运用函数解决实际问题的全过程。[11]

高中阶段的“函数”内容（见图1）分为两部分。第一部分是必修课程，涵盖内容有：必修第一册第四章“幂函数、指数函数与对数函数”，第五章“函数的概念、性质及应用”；必修第二册第七章“三角函数”。第二部分是选择性必修课程，涵盖内容有：选择性必修第一册第四章“数列”，第二册第五章“导数及其应用”，跨度从高一到高三。其要求是：在必修课程中，学生通过学习函数概念与性质，总结研究函数的基本方法，掌握一些具体的基本函数类，探索函数的应用。在选择性必修课程中，学生通过学习数列和导数，理解数列作为一类特殊的函数，是研究其他类型函数的基本工具；导数是微积分的核心内容之一，是研究函数性质的基本工具。由此可以看出，高中阶段学习的函数是初中阶段的继承与发展，不仅把函数理解为刻画变量之间依赖关系的数学语言和工具，而且把函数理解为实数集合之间的对应关系。[12]利用代数运算和函数图像对幂函数、指数函数、对数函数等具体函数进行研究，揭示一般函数的基本性质和研究方法，随后应用到三角函数这一具体函数的研究中，体现了“从具体到抽象，再回到具体”的认知过程。数列是刻画项an和项数n 之间关系的一个基本数学模型，可以看作定义在自然数集上的一类特殊函数。其中,等差数列和等比数列与函数的联系尤为密切，其通项公式和前n 项和公式是一次函数、二次函数和指数型函数的具体体现，因此它归属于函数的一种应用。导数是从另一个角度定量地刻画函数的局部变化，是研究函数单调性、极值和最值的有力工具。导数的学习将函数局部性质与整体性质统整起来，给函数的研究画上圆满的句号。

图1 “函数”知识框图

（二） 基于素养指向，提炼核心内容

函数贯穿高中数学，其中不仅有很多重要的数学概念和核心知识，而且渗透了很多数学思想和方法。因此，针对不同的培养目标，核心内容也呈多样化。“函数的单调性”是函数的知识类核心内容之一。它与函数的概念、函数的性质、函数的图像、基本初等函数、方程与不等式及数列、导数等内容都有紧密的联系，而且呈现一种递进的关系。在必修课程中，单调性是从整体上刻画函数的变化，定性地反映随着自变量的增加，函数值变大（小）。因此，在研究函数时，有效地把函数的单调性和函数的定义域、值域、奇偶性、周期性、对称性等性质结合起来，就能清晰地把握函数的变化和图像特征。另外，借助函数的单调性，可以优化对方程和不等式的再认识。在三角函数和数列的研究中，单调性也是不可或缺的一项重要内容。至此，随着研究策略从特殊到一般，再从一般到特殊，函数单调性的内涵进一步明确，之后研究方向转到对函数局部变化的研究，使函数单调性的内涵得以完善。在选择性必修二中，为了描述在一个更小范围（区间）内函数的变化，引入“平均变化”这一概念，而且区间越小，越能精确地刻画函数的变化。当区间长度趋近于0 时，平均变化的极限值（导数）刻画的是某一点函数的变化。从单调性到导数，就是从定性地反映函数整体变化到定量地描述函数局部变化的过程。[13]定性和定量地分析、解决问题是数学的基本方法，也是数学抽象、逻辑推理、数学运算、直观想象、数据分析、数学建模等素养的具体体现。这种思想方法在研究函数中至关重要，也在函数的应用中发挥着越来越大的作用。因此，以“函数的单调性”为核心内容，把函数的相关内容进行重整，可以构成一个跨章节的知识类主题（见图2）。

图2 “函数的单调性”知识网络

（三） 基于学情与任务驱动，确定单元整体教学目标

高中生在初中阶段已经建立常量和变量的概念，掌握了正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数等函数及其图像变换，形成了对基本初等函数的初步认识。高中阶段需要进一步研究函数，通过以下任务的学习，提升数学抽象、逻辑推理、直观想象、数学运算、数学建模、数据分析等数学学科核心素养。

1. 挖掘具体函数，提炼研究方法

继续研究幂函数、指数函数、对数函数等具体函数，让学生学会用函数图像和代数运算研究函数的性质。

2. 揭示函数性质，构建数学模型

对之前学习的具体函数进行共性研究，归纳提炼出函数的一般概念，借助代数运算和函数图像揭示函数的一般性质，让学生经历由特殊到一般、从具体到抽象的认知规律。在此基础上，指导学生利用函数观点研究方程与不等式，构建函数模型，解决一些实际问题。

3. 运用函数理论，渗透函数思想

借助函数概念和性质，从对应关系的角度建立三角函数、数列的概念，通过对三角函数、数列的单调性、最值等性质的研究，让学生体会函数的学习是“由特殊到一般，从具体到抽象，再由一般到特殊回到具体”的认知过程以及用理论指导实践的研究策略。

4. 理解导数内涵，完善函数研究

导数是建立在极限思想上的平均变化率的极限，它的物理意义是瞬时速度，几何意义是切线的斜率。导数是研究函数性质的一个基本工具。之前研究函数的单调性是将定义作为判断依据，但碰到较为复杂、难以处理的问题时，定义法将束手无策。导数的引入进一步揭示了函数的局部变化，呈现了一种新的判断函数单调性的方法，该方法简单易行，对研究一些较为复杂的函数的单调性、极值和最值具有普适性。

基于上述学情分析和任务驱动，“函数的单调性”单元整体教学目标设计如下：（1）经历用几何方法、代数方法、导数方法研究函数单调性的过程，理解函数单调性的概念，掌握研究函数单调性的方法；（2）梳理与函数单调性相关的内容，提升整体把握函数单调性的能力；（3）经历用函数单调性解决问题的过程，体会函数单调性在解决问题中的作用，提升学生数学运算、数学抽象、逻辑推理、数据分析、直观想象、数学建模等数学学科核心素养。

（四） 基于整体教学目标引领，确定各阶段的子目标

单元整体教学设计强调的是一个整体，而要实现这个整体，需要将其逐步细化。由于教学内容涉及若干章节，因此在安排教学过程时，需要划分成多个阶段，并确定各阶段的子目标。“函数的单调性”单元整体教学的阶段划分及子目标设计如下。

第一个阶段：理解单调性，整体、定性描述函数的变化。

子目标1：从图形语言过渡到符号语言，让学生经历从直观想象到数学抽象的过程，感悟常用逻辑用语中的量词和数学的严谨性，理解函数单调性的概念。

子目标2：通过对几类初等函数单调性的研究，掌握用代数方法研究函数单调性的基本思路，提升学生的数学运算、逻辑推理能力。

第二个阶段：理解导数，局部、定量描述函数的变化。

子目标1：经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，让学生体会导数的内涵与思想。

子目标2：通过函数图像直观理解导数的几何意义，培养学生的数学抽象、直观想象素养。

第三个阶段：建立单调性与导数的联系，全方位理解函数。

子目标1：借助几何直观让学生了解函数的单调性与导数的关系。

子目标2：利用导数研究函数的单调性，让学生进一步理解函数单调性的本质。

子目标3：梳理与函数单调性应用相关的内容，如函数图像、函数最值、函数零点、方程与不等式有解和恒成立等问题，让学生体会函数单调性在解决问题中的作用，培养学生的数据分析、数学建模素养，提升学生解决综合问题的能力。

（五） 基于阶段目标落实，设计课时学习活动和评价

单元整体教学每个阶段目标的落实，需要再细划分成各个课时，设计相应的课时学习任务、学习活动、教学评价标准。为了使教学有目的、有计划地逐层递进，需要考虑课时前后的顺序关系，教法内容的衔接递进。因此，各课时之间依照知识的系统性和连贯性，由浅入深、由易到难进行编排，形成教学的坡度和训练的梯度，呈阶梯式、螺旋式上升。可以第一个阶段“理解单调性，整体、定性描述函数的变化”为例，呈现如何设计单元整体教学目标下的子任务以及学生活动和评价标准（见表1）。

四、 主题教学的单元整体教学设计的思考

在“函数”主题教学单元整体设计实践中不难发现，进行单元整体教学设计不仅需要准确剖析数学知识的整体结构，还要关注教学结构和认知结构。[14]数学知识结构就是教材内容的逻辑结构，认知结构就是学生主观改造后头脑里获得的知识结构。显然，良好的认知结构的形成依赖于教师对数学知识的整体认识，并配以合理的教学结构。教师在主题教学中应让知识之间尽可能多地建立联系，把新知识有机地嵌入已有的知识体系，帮助学生形成稳定的螺旋式上升的认知结构。因此，在进行主题教学的单元整体教学设计时，有以下几点思考。

（一） 整体剖析知识结构，厘清知识的本原及相互之间的关系

数学知识之间具有严密的逻辑关系，而且能按一定的层级结构进行组织。教师要对数学学科知识有整体的理解和认识，可以借助知识框图和结构网络，梳理知识脉络，提炼核心内容，基于学情与任务驱动，确定单元整体教学目标和阶段子目标。这样，在进行整体教学设计时，才能清晰规划主题内容，让每个阶段、每个课时的教学更有针对性，让数学知识的统整、思想方法的体现以及情感的渗透更有依据。

（二） 整体把握认知结构，关注学生数学学科素养的形成

培养学生的数学学科素养，需要教师立足学情，借助知识之间严密的逻辑关系，将对知识结构体系和本质的理解以适合学生的认知为前提融入主题教学中，对知识层级进行优化，按一定的层次结构组织教学。[15]在“函数的单调性”教学设计中，依据学生的认知规律，分成三个阶段：第一个阶段，通过与函数概念、函数的其他性质、基本初等函数相联系，提炼单调性的研究方法；第二个阶段，通过与导数相结合，完善函数的研究；第三个阶段，通过梳理与函数的单调性应用相关的内容，提升学生的综合运用能力。由此，引导学生厘清知识的来龙去脉，理解概念，把握概念本质，建立知识之间的关联，掌握研究方法，提高学生的认知结构，促进学生数学学科核心素养阶段性、连续性、整体性发展。[16]

（三） 进行教学设计时坚持素养指向，重视学生的学习活动

学生对知识的理解和认识是日积月累、循序渐进的过程，学生的数学学科核心素养是在学习数学课程内容的过程中逐步形成的。因此，主题教学下的单元整体教学设计要充分关注数学学科素养的达成，研究其融入教学内容和教学过程的具体方式及载体，教学设计的重心应凸显学生的学习活动。在教学活动中，结合特定教学任务及素养培养目标，设计适当的教学情境，提出适切的数学问题，引发学生思考、探究和交流，形成和发展学生的数学学科核心素养。

（四） 实时监控教学过程，重视过程评价并加强反思

教学评价是教学活动不可缺少的一个组成部分，在进行主题教学活动评价时，应当把教学评价的总目标合理分解到日常教学评价的各个阶段。评价应以教学目标的达成为依据，关注学生对数学知识的掌握程度和数学学科核心素养的发展水平。[17]可以采用预习检测、课堂观察、开放式活动中的表现、课内外作业、测验等多样化的评价方式，还可以借助大数据、智慧教育平台等信息化技术采集相关数据。值得注意的是，在实施主题教学前需要对学生的认知水平进行测试，再依据《课标》和教学目标编制评价标准，在实施教学之后依据评价标准检测学生的学习效果。通过评价，诊断学生学习的成效，发现教学中的不足，以便于教师及时改进教学行为。根据评价结果，教师有必要对主题教学设计的各个环节进行反思，对原有的安排进行适当调整和修改，优化当前的设计。同时，还要对学生的学习进行跟踪性评价、阶段性评价和发展性评价，不断完善后续的设计，让主题教学视角下的单元整体教学设计成为一个连续、不断改进的动态过程。

五、 结语

相比课时教学和章节教学，主题教学的教学过程更为复杂，教学模式的选择也更加多样化。为了帮助学生建立能体现数学学科本质、对未来学习有支撑意义的结构化数学知识体系，教师要以培养学生的数学学科核心素养为目标，秉持整体观的思想，不断调整、补充和完善教学内容，建立知识间的联系，构建知识网络，对学生知识建构和思维培育进行持续系统的巩固、反馈、评价和改进，引导学生掌握系统化和结构化的知识，促进学生思维发展螺旋式上升。