带有离散和分布时滞的不确定神经网络鲁棒稳定性分析

徐 彪，甘滨滨，陈 昊①

（淮北师范大学 数学科学学院,安徽 淮北 235000）

0 引言

由于神经网络模型成功应用于并行计算、图像信号处理、故障诊断等领域，因此，神经网络受到许多学者的研究［1-4］。时滞在神经网络模型中是不可避免的，同时，时滞可能导致神经网络系统产生震荡、发散或不稳定等现象［5-11］。由于存在建模误差、外部干扰和参数波动，导致神经网络系统不确定性。为研究这种不确定神经网络系统的稳定性，鲁棒稳定性成为研究热点之一［12-14］。许多学者对不同的神经网络系统进行稳定性分析并得到稳定性结果，文献［15］通过凸组合方法，得到混合时滞神经网络的稳定性条件；文献［16］利用增广型李雅普诺夫泛函，得到时变时滞神经网络的稳定性条件；文献［17］运用自由矩阵积分不等式，研究时变时滞神经网络的稳定性。针对具有分布时滞的不确定神经网络系统的稳定性研究较少，本文利用李雅普诺夫泛函和同胚映射定理研究具有离散和分布时滞的不确定神经网络鲁棒稳定性，得到神经网络系统稳定的一个新结果，并通过数值实验验证所得结果的有效性。

1 预备知识

考虑以下具有离散和分布时滞的不确定神经网络系统：

其中，xi(t)为第i个神经元状态变量，ci(t)为行为函数，fi(t)为激活函数，τi为离散时滞，aij,bij和dij为神经元互联强度，σ为分布时滞，ui为外部输入。

神经网络系统（1）的矩阵-向量形式如下：

式（2）中，

神经元激活函数fi(x)满足以下条件：

其中γi(i=1,2,…,n)是正数。

在神经网络系统（1）中参数满足以下条件：

引理1.1［12］设H(x):Rn→Rn，如果H(x)满足下列条件：

（1）H(x)是单射，即当x≠y时，H(x)≠H(y)；

（2）H(x)是满射，即当‖x‖ →∞时，‖H(x)‖ →∞，则H(x)是同胚映射。

引理1.2［13］设A为实矩阵，，对任意正对角矩阵P=diag(pi ＞0)和任意实向量x=(x1,x2,…,xn)T∈Rn，下列不等式成立：

引理1.3［14］设B为实矩阵，对任意正对角矩阵P=diag(pi ＞0)和任意的2个实向量x=(x1,x2,…,xn)T和y=(y1,y2,…,yn)T，则下列不等式成立：

2 主要结果

2.1 平衡点的存在唯一性

定理2.1 对于式（2）定义的神经网络系统，神经网络系统参数满足条件式（3），如果存在正对角矩阵P=diag(pi ＞0)和正数η，μ，且满足以下条件：

证明 可以得到与系统（2）关联的映射：

考虑2个向量x,y∈Rn，当x≠y，对于式（4）定义的H(x)，可以写出下式：

（1）当x≠y，f(x)=f(y) 时，式（5）变为H(x)-H(y)=-C(x-y) ，由于x≠y，C为正对角矩阵，H(x)≠H(y)，即H(x)是单射。

（2）当x≠y，f(x)≠f(y)时，P=diag(pi ＞0)为正对角矩阵，式（5）两边同乘以2(x-y)TP可得：

由引理1.2可知：

由引理1.3可知：

将式（7）-（10）代入式（6）得：

当x≠y，可推出H(x)-H(y)≠0。将y=0 代入式（11），两边取绝对值可得：

由此类推：

由‖x‖∞≤‖x‖2，‖H(x)-H(0)‖1≤‖H(x)‖1+‖H(0)‖1，式（12）可写成：

其中‖H(0)‖1是有界值。当‖x‖ →∞时，‖H(x)‖ →∞，即H(x)是满射。

综上所述，映射H(x):Rn→Rn是同胚映射，可得对于式（2）定义的神经网络系统，每个输入向量U都存在唯一的平衡点x*，使得H(x*)=0。

2.2 平衡点的稳定性分析

因为系统（2）的稳定性等价于系统（13）的稳定性，故只需研究系统（13）的稳定性。

定理2.2 对于式（13）定义的神经网络系统，神经网络系统参数满足式（3），如果存在正对角矩阵P=diag(pi ＞0)和正数η，μ，且满足以下条件：

证明 构造正定李雅普诺夫泛函：

其中k，η，μ为正数。李雅普诺夫泛函沿系统（13）轨迹的时间导数如下：

由引理1.2可得：

由引理1.3可得：

将式（15）-（17）代入式（14）可得：

其中当gi(yi(t-τi))≠0，可得V.(t)＜0。综上所述，只有当yi(t)=gi(yi(t))=gi(yi(t-τi))=0 时，V.(t)=0，其他情况可得V.(t)＜0。当‖y‖i(t) →∞，‖V(t)‖ →∞时，可得V(t)是径向无界的。因此，系统（2）或系统（13）的全局渐近鲁棒稳定点是原点，即系统（2）或系统（13）是鲁棒稳定的。

推论2.1 当C=-C=Cˉ，A=-A=Aˉ，B=-B=Bˉ，D=-D=Dˉ时，如果存在正对角矩阵P=diag(pi ＞0)和正数η，μ且满足以下条件：

3 数值实验

例1 考虑具有如下参数的神经网络系统（2）：

文献［8］中σ允许的最大值为6.938，文献［15］中σ允许的最大值为9.441，文献［9］中σ允许的最大值为12.441，推论2.1中σ允许的最大值为12.527。可见本文的稳定性结果σ允许的最大值较大，保守性较小，稳定性结果较好。

例2 考虑具有如下参数的神经网络系统（2）：

满足定理2.2的条件，则神经网络系统（2）是全局渐进鲁棒稳定的。

4 结论

本文研究一类具有离散和分布时滞的不确定神经网络系统的鲁棒稳定性。首先，利用同态映射定理和李雅普诺夫泛函证明平衡点的存在性与唯一性和神经网络系统的鲁棒渐进稳定性。然后，运用新的不等式来估计李雅普诺夫泛函的时间导数项，给出判别带有离散和分布时滞的不确定神经网络系统稳定的一个新结果。最后，通过数值实验验证稳定性结果的有效性。