回路积分形式的量子力学表象及其应用

陈 锋

（合肥学院 先进制造工程学院，安徽 合肥 230022）

0 引言

为描述量子体系在不同坐标系下的状态及相关力学量，狄拉克引入了量子表象的概念。任意量子态的波函数都可以看作是希尔伯特空间下某个表象（基矢）的具体形式，而量子算符对应的本征波函数是正交归一的［1-2］。因此，完备性是基矢成为表象的必备条件。以往量子表象的完备性由于缺乏有力和普适的数学工具，证明变得非常繁琐，甚至无法证明［3］。

除了式（1）和式（2）常见的量子态完备形式外，近年来，量子力学中关于逆算符本征态是研究的热点问题之一［7］。本文在表象完备性的高斯积分基础上，提出了一种复数回路积分形式的完备性，即

故而，是a†的本征右矢量。可见式（7）是由相干态和产生算符本征态构成的。

湮灭算符的本征态是激光光场的相干态，但是关于产生算符的本征右矢却一直没有得到很好解决。历史上，达维朵夫在《量子力学》教材中，曾经错误地以为a†的本征态是恒等于零，忽略Delta函数解［8］。

本文将基于复数回路积分表达形式的量子态完备性，讨论有关产生算符与湮灭算符对应的逆算符问题，进一步还将研究压缩变换下逆算符作用于真空态的形式，并给压缩粒子数态的具体表达形式。

1 福克空间的逆算符

类似，按照产生算符逆算符本征方程的共轭态形式和回路积分完备性式（3），得到

2 压缩产生算符的本征态

压缩态由于可以实现相干态在某个方向的噪声压缩，使其量子噪声或涨落进行大幅降低，在量子通讯，光学精密测量以及量子计算等诸多方面具有重要的应用价值［9］。在量子力学中，对单模光场的压缩操作可以用压缩算符，其作用于产生算符后，可以表示为Sa†S-1=a†coshλ+asinhλ，其中λ是压缩参数［10］。

3 压缩产生算符的逆算符正规乘积及其应用

由式（10）不难看出

再用柯西积分公式［15-16］导出

这就是(a†coshλ+asinhλ)-1的正规乘积展开。

可将产生算符在压缩表换下逆算符的正规乘积作用于真空态0 给出

类似，对应于压缩变换下湮灭算符S(λ)aS-1(λ)=acoshλ+a†sinhλ，其逆变换对应的算符的正规乘积为

式（11）作用于真空态，得到量子态为

这就是压缩粒子态的明晰表达式。

4 结语

基于量子态完备性的复数回路积分形式和产生算符的本征态，得到了由相干态和产生算符的本征态所构成的量子表象。另外，给出了产生算符对应的本征态的δ函数形式，这一结论进一步丰富和发展人们关于量子态表象完备性的认识。

此外，在福克空间，首次给出产生算符及湮灭算符所对应的逆算符粒子数态的具体表达式。在此形式的基础上，成功回答狄拉克提出的a-1a以及的乘积结果问题。进一步讨论产生算符以及湮灭算符在压缩变换的算符对应的逆算符形式，并且给出其对应的压缩真空态形式。最后，通过量子态的完备性形式，得到压缩真空态的明晰表达式。

论文研究结果成功回答量子力学关于逆算符的本征矢问题，可以丰富和发展量子力学教学中量子算符的本征态、逆算符以及表象完备性的认识，并对量子光学和量子信息有关实验和理论提供有力支撑。