可降阶的高阶微分方程的课程思政

刘文斌，崔学英

(1.晋中信息学院数理教学部，山西太谷 030800；2.太原科技大学应用科学学院，山西太原 030024)

2018 年9 月10 日，习近平总书记在全国教育大会上强调“党的十八大以来，我们围绕培养什么人、怎样培养人、为谁培养人这一根本问题，全面加强党对教育工作的领导”。其中，“培养什么人”是教育的首要问题[1-3]。思政元素的融入让课堂变得更和谐、有意义，在传授知识的同时引导学生树立科学的世界观、人生观与价值观。课程思政的融入[4-6]，不仅是传授知识的过程，教师同样能够可以在教学点滴中提升自我，与学生更深入地交流，发现学生的闪光点，挖掘优秀人才，为国家培养人才，亦可以培养更深刻的师生情，帮助学生更快更好地成长。将以高等数学课程中的“可降阶的高阶微分方程”这一小节知识为实例，探索思政元素在实际课堂教学中的体现。具体的教学进程安排如下：

1 引入

案例一：一只新组装好的小钟放在了两只旧钟当中。两只旧钟滴答、滴答一分一秒地走着。

其中一只旧钟对小钟说：来吧，你也该工作了。可是我有点担心，你走完3 200 万次以后，恐怕就吃不消了。

天哪！3 200万次。小钟吃惊不已。要我做这么大的事？办不到，办不到。

另一只旧钟说：别听他胡说八道。不用害怕，你只要每秒滴答摆一下就行了。

天下哪有这样简单的事情。小钟将信将疑。如果这样，我就试试吧。小钟很轻松地每秒钟滴答摆下，不知不觉中，一年过去了，它摆了3 200万次。

案例体现了“化繁为简”的思想。很多问题表面看似很难，其实只要把它分解开来，将变得简单而直观。

案例二：西晋史学家陈寿所著《三国志》中的“曹冲称象”：冲少聪察，生五六岁，智意所及，有若成人之智。时孙权曾致巨象，太祖欲知其斤重，访之群下，咸莫能出其理。冲曰：“置象大船之上，而刻其水痕所至，称物以载之，则校可知矣。”太祖大悦，即施行焉。

2 可降阶的高阶微分方程[7]

二阶及二阶以上的微分方程即为高阶微分方程。

2.1 y(n)= f (x)型的微分方程

特点：微分方程右端是只含有变量x的函数.

解法：逐次积分求n-1、n-2、n-3、…、2、1，连续n次积分即可求得方程的通解。

例1 求方程ym=e2x-cosx的通解。

解：对所给方程接连积分三次得：

这就是所求通解。

例2 质量为m的质点受水平力F的作用沿力F的方向作直线运动，力F的大小为时间t的函数F(t)=sint。设开始时(t=0)质点位于原点，且初始速度为零，求这质点的运动规律。

纤维单元模型：分别沿拱轴与截面将钢管混凝土拱肋划分为纵向节段分布的纤维梁单元，通过截面积分求截面刚度与单元刚度，其克服了上述双单元法两点不足，但仍需编写专用分析程序。

解：设s=s(t)表示在时刻t时质点的位置，由牛顿第二定律，质点的运动方程为

练习1 求方程ym=sinx+cosx的通解。

2.2 y″= f (x,y')型的微分方程

特点：不显含未知函数y。

求解：做变换y'=p，则y"=p'，故原方程可化为关于变量x，p的一阶微分方程

设其通解为p=φ(x,C1)，则有

积分得原方程的通解为：

例3 求微分方程(1+x2)y″=2xy'满足初值条件y|x=0=1，y'|x=0=3的特解。

解：所给方程是y"=f(x,y')型的。设y'=p，代入方程并分离变量，得两边积分，得ln|p|=ln(1+x2)+C，即y'=p=C1(1+x2)，其中C1=±eC，将初值条件y'|x=0=3代入得C1=3，故y'=3(1+x2)，再积分得y=x3+3x+C2，再将初值条件y|x=0=1代入得C2=1，因此所求特解为y=x3+3x+1。

练习2 求方程xy"+y'=0的通解。

2.3 y″= f (y,y')型的微分方程

特点：不显含自变量x。

求解：令y'=p，把p当做新的未知函数，把y当做自变量，此时故原方程可化为：

3 结语

介绍了y(n)=f(x) 型、y″=f(x,y') 型、y″=f(y,y')型，三种类型的高阶微分方程的特点及其解法“降阶法”。体现了化繁为简、化整为零的思想。通过例题讲解和练习巩固，培养学生的分析问题、解决问题的能力。

以高等数学微分方程中的“可降阶的高阶微分方程”内容作为实例，通过两个案例分析，引出遇见困难时也应有“化繁为简”“化整为零”的思想去攻坚克难融入课程思政，引入课程新内容的解法。这种方法契合高等数学的教学大纲，符合课程的教学要求，遵循学生学习的特点和认知规律，通过案例分析、提出问题、问题分析吸引学生注意力，将思政元素不突兀地融入到课堂教学中去，贯彻教书育人、立德树人的教学理念。