耗散环境单量子点体系输运过程的量子速度极限研究*

刘天 李宗良 张延惠† 蓝康

1) (山东师范大学物理与电子科学学院,济南 250014)

2) (山东大学物理学院,晶体材料国家重点实验室,济南 250100)

基于量子点输运理论与Bures 角度量的方法,研究了耗散环境下单量子点系统输运过程中的量子速度极限特性.结果表明: 由于隧穿过程存在库仑阻塞效应与量子相干效应,系统可加速能力随左侧隧穿概率有微小的变化;然而,系统可加速能力随右侧隧穿概率变化明显,归因于动力学通道阻塞与共隧穿的共同效应.能级差的增大使系统向目标态演化需要更长的时间,从而改变系统的加速潜力以及随时间演化的震荡频率.耗散环境中弛豫速率对系统可加速能力的影响不是单调的,存在一个有趣的转折点,当弛豫速率小于该点时,系统的可加速能力产生震荡变化,当弛豫速率大于该点时,加速潜力的变化受到了弛豫速率的单调抑制,弛豫速率的增大总体上抑制了系统的可加速能力.

1 引言

随着量子计算与量子信息技术的发展,量子速度极限(QSL)开始受到更广泛的关注,研究发现QSL 可以应用于量子计算与量子传输,在保护量子信息与量子最优理论中起到重要作用[1-+].量子速度极限时间是量子系统穿越给定演化距离所需最短演化时间的下界,量子速度极限时间的边界决定了系统演化速度的上限,其能表征出系统最快的演化,研究如何加快系统演化速度能够高效的提升量子计算的效率[9-13].1945 年,Mandelstam和Tamm[14]由系统能量方差的形式提出了幺正演化下从初始态到可区分末态的最短演化时间(MT 型边界).1998 年,Margolus 和Levitin[15]基于可以判定具体系统的能量平均值E,提出了另一种最短演化时间(ML 型边界).通过结合MT 与ML 速度极限时间,给出了封闭系统量子速度极限时间统一界,2013 年,Deffner 和Lutz[16]将量子速度极限概念拓展到非幺正动力学系统,并通过阻尼Jaynes-Cummings 模型为研究对象探讨了体系的非马尔可夫性质对最短演化时间的缩短效应.非马尔可夫效应已经被证实了可以加速系统的演化,为了提高演化速度,人们对各种量子体系的速度极限不等式展开了深入研究[17-21].2017 年,Cai 和Zheng[22]采用迹距离度量推导了非平衡环境下的MT 与ML时间界,证实了体系的非马尔可夫特性对加速系统演化的必要不充分性质.2019 年,Sun 和Zheng[23,24]基于量子几何相位和几何相位变化率,在量子态矢量于流形空间中平行传输的条件下得出不同于MT 和ML 类型的时间界,且通过化简可以回到ML 的结果.

单量子点具有操作性强、易观测、可制备等优点,它涉及到量子力学基本原理在实际中的应用,表现出独特的量子特性,比如量子隧道效应、库仑阻塞效应、局域化效应、表面效应等.1997 年,Gurvitz 等[25,26]将其与量子点接触探测器结合,研究了在测量过程中孤立量子点系统内电子转移的动力学演化机制,并在2003 年将量子点系统与耗散环境耦合,表明弛豫会破坏测量过程的芝诺效应.2010 年,Ouyang 等[27]通过占有态和本征态两种方法得到电子运动的主方程,分析了不同外界环境下量子点系统的输运特性.研究者们对量子点的转移与输运等特性做出了大量探索,并对耗散环境中电子转移过程的量子速度极限开展了深刻的研究[28-+],但开放量子点系统输运过程的量子速度极限还是一个有待于探索的课题,输运过程中隧穿概率以及驰豫速率等如何影响量子点系统演化的速度极限正是本文研究的目的,研究结果可以用于实验中通过对电压的微调来操控量子态的演化,以应用于量子计算机微观器件的设计.

本文探究了耗散环境下单量子点系统在输运过程中的量子速度极限时间,得出量子速度极限时间与实际演化时间的比值关系式τQSL/τ,它能表征单量子点系统的可加速能力(CPS),反映出系统在演化进程中可被加速的空间.分析了弛豫速率γr、左侧隧穿概率与右侧隧穿概率等因素对于量子速度极限的影响,研究结果表明: 1)左侧隧穿概率与右侧隧穿概率对量子点系统有不同的加速效果,左侧隧穿概率的提高对于量子系统的可加速能力的促进细微,右侧隧穿概率的增大对促进系统的CPS 更强.是由于电子从左侧隧穿进入量子点时受到了库仑阻塞效应以及量子相干的影响,抑制了系统的可加速能力,右侧由于通道阻塞效应与共隧穿效应的产生,系统的CPS 得到增强.2)激发态与基态之间弛豫过程的加快总体上提高了系统的演化程度,系统可加速的空间有所降低.有趣的是,当Ωr≤γr≤Ωr时,弛豫过程会与隧穿过程产生竞争,影响了输运过程中的电子布局数,导致量子速度极限时间比值存在震荡现象,当Ωr≤γr≤2Ωr时,竞争关系减弱,量子速度极限比值稳定上升.3)激发态与基态之间的能级差通过影响系统的演化路径,改变了系统的演化快慢,能级差增大时,系统演化会存在逐渐偏离测地线演化的趋势,系统的可加速能力得到提升.

此外,本文推导了单量子点系统输运过程的动力学表达式,阐述了单量子点系统量子速度极限时间的推导方法及原理,通过Bures 角的方法对初始纯态下的量子速度极限表达式进行推导.将量子速度极限时间表达式应用到单量子点体系输运的过程中,分析隧穿概率与弛豫速率等因素对于量子速度极限时间的影响.

2 理论方法与模型

2.1 单量子点输运模型

首先建立了一个单量子点与左右电子库耦合的输运模型,然后推导出了单量子点输运过程的动力学表达式.如图1 所示,由于外加到左右电极上电压不同,左右电子库的化学势El,r不同(考虑El＞Er的情况).电子从左侧电极通过基态通道和激发态通道隧穿至量子点中的离散能级上,左侧电子激发态(基态)隧穿概率为Γe(g).量子点中电子从激发态(基态)隧穿到右侧电极的隧穿概率为ΓE(G).考虑系统的基矢为{|0〉,|e〉,|g〉},空态 |0〉代表量子点中不存在电子,|e〉代表电子位于量子点激发态能级,|g〉代表电子处于量子点基态能级.

图1 单量子点系统输运过程示意图,Ee 和 Eg 表示激发态与基 态能 级,El 和 Er 为左右两侧化学势,Γe(g) 为左侧电子隧穿进入激发态(基态)能级的隧穿概率,ΓE(G) 为激发态(基态)电子隧穿进入右侧电子库的隧穿概率Fig.1.The diagram of the single quantum dot system in transport process,Ee and Eg denotes two energy levels in quantum dot,El and Er denotes the left and right electrode potentials Γe(g) is the tunneling probability of the left electron tunneling into the excited(ground) state energy level,ΓE(G) is the tunneling probability of the excited(ground) state electron tunneling into the right electron library.

单量子点系统对于在实验中实现QSL 的研究具有很重要的意义,如图1 所示,体系的哈密顿量为H=H0+Hleads+Hint,由三部分构成:

其中H0代表了量子点系统的哈密顿量,ε为激发态与基态的能级 差,ae+(ae) 与ag+(ag) 代表电子处于激发态与基态的产生湮灭算符.Hleads代表了电极部分的哈密顿量,El,r为量子点两侧电极电势,al+(al)与ar+(ar) 表示左侧电极以及右侧电极电子的产生湮灭算符.Hint代表了量子点系统与电极之间相互作用的哈密顿量,右边第1 项表示左边电极和基态(激发态)相互作用,电子进入量子点.第2 项表示右边电极和基态(激发态)相互作用,量子点内的电子湮灭,Ωl(r)是量子点与左右两侧电极之间的耦合强度,σj+=|j〉〈0|,σj-=|0〉〈j|是相应的上下升降算符,整个过程只考虑从左到右的单向输运,量子点系统动力学主方程满足:

密度矩阵元素ρee(ρgg) 表示电子占据激发态(基态)的概率,而矩阵元素ρeg(ρge) 表示系统的相干项,考虑密度矩阵ρ(t)=[ρ0(t),ρee(t),ρgg(t),ρeg(t),ρge(t)] 总的演化算符表示为

2.2 Bures 角度量下的量子速度极限

采用Bures 角度量的量子速度极限方法[37-+],推导单量子点系统动力学演化的可加速能力表达式,D为任意初始态和末态的测地线,存在以下几何不等关系:

式中,L可以理解为量子系统演化的实际长度[23,40],因此系统沿实际路径演化的瞬时速度可以表示为

而系统演化平均速度为

考虑平均速度是系统沿测地线和实际路径上的守恒量,量子速度极限时间对应以该平均速度沿测地线演化的时间,从而获得量子速度极限时间为

当系统沿测地线演化时,此时实际的演化时间等于量子速度极限时间,量子演化已经达到最快演化,没有加速的可能;如果量子系统并未沿测地线演化,则实际演化时间大于量子速度极限时间,未达到最快演化,说明量子演化还存在被加速的可能,这种能力可以被理解为量子系统的加速潜力,表示为

其中τQSL是初态ρ(0) 和末态ρ(τ) 之间的最短演化时间,而τ是实际的动力学演化时间.考虑量子系统在测地线和实际演化路径的平均速度相同,则二者的比值等于测地线和实际演化路径的比值.当这个比值为1 时,那么就说明量子系统沿着测地线演化,达到了最小的演化时间.反之,当该比值小于1 时,则表明量子系统具有偏离测地线演化的行为,系统演化中存在着一定的加速潜力[41].

考虑初始纯态的情况,动力学演化测地距离可以表示为

相应的实际演化路径为

2.3 初始基态

首先考虑初始时刻电子位于基态的情况,即|ψ0〉=|g〉,相应的密度矩阵为

此时量子系统不存在初始相干.结合单量子点输运体系密度矩阵(4),推导出τ时刻测地距离表达式:

通过(13)式,给出系统实际演化路径表达式:

量子速度极限时间可以表示为

该不等式不仅将系统初态ρ(0) 与末态ρ(τ) 紧密结合起来,体现出单量子点系统的最快演化,而且反应出了量子速度极限时间与体系实际演化时间的比值关系:

对(15)式进一步推导给出了τQSL/τ的比值关系式(16),反映出量子系统实际演化时间与演化最短时间的差异,能体现出系统可供加速的空间即量子系统可加速能力(CPS)有多大,该比值的范围应该遵循 0 ≤τQSL/τ≤1.

2.4 初始叠加态

τ时刻测地距离表达式为

叠加态下τ时刻实际演化路径表达式为

将测地距离表达式与该式对比得出关系式为

该式为叠加态下量子速度极限时间QSL 与实际演化时间的比值,反映系统叠加态下CPS 的大小,体现出量子点系统在输运过程中实际演化时间与最短演化时间的偏离程度.

3 结果与讨论

图2(a)为初始单态的情况,可以发现量子速度极限时间和实际演化时间的比值τQSL/τ始终为1,系统不具备加速潜力.在图2(b)中,考虑初始叠加态,随着量子演化比值τQSL/τ呈现出先恒定后振荡减小的趋势,这是因为初始相干的存在导致了测地线随演化时间的振荡[42],而实际演化长度单调递增.这种特性让系统的演化存在一定可加速的空间,最后该比值趋于稳定,表示系统动力学演化结束.

图2 初态为g 态与相干态下量子速度极限时间比值 τQSL/τ 随驱动时间变化图 (a)初态为g 态时 τQSL/τ 随驱动时间的变化;(b)初态为相干态时 τ/QSLτ 随驱动时间的变化,左侧量子点与电子库耦合强度 Ωr=1,电子的隧穿概率 ΓE=0.5Fig.2.The ratio of the quantum speed limit time τQSL/τ varies with the driving time in the initial g state and the superposition state: (a) The change of the τQSL/τ with driving time when the initial state is coherent state;(b)the change of the τQSL/τ with driving time when the initial state is superposition state ;the left coupling strength parameter Ωr=1,tunneling probability of electrons ΓE=0.5.

图3 展示了左侧不同隧穿概率下单量子点体系量子速度极限时间比值τQSL/τ随驱动时间的演化趋势.从图3(a)插图可以看出,随着激发态隧穿概率的增大,量子速度极限时间的比值变化细微,但也存在微小的下降.图3(b)中基态隧穿概率的变化对τQSL/τ的影响弱小同样存在微小下降如图3(b)中插图.因为电子隧穿进入量子点的过程中,无论进入激发态通道还是基态通道都会产生库仑阻塞效应以及量子相干,电子隧穿过程受到了阻碍,抑制了系统演化加速的可能,故系统的可加速能力略有增大但变化很小,表明左侧激发态与基态隧穿概率对系统的CPS 影响不明显.

图3 单量子点系统的速度极限时间比值 τQSL/τ 随左侧隧穿概率与驱动时间的变化图 (a)不同左侧激发态隧穿概影响下τQSL/τ 随驱动时间变化;(b)不同左侧基态隧穿概率影响下 τQSL/τ 随驱动时间变化,量子点与左侧电子库耦合强度 Ωr=1,能级差 ε=5ΩrFig.3.The diagram of the quantum speed limit time ratio τQSL/τ as a function of left tunneling probability and driving time for a single quantum dot system: (a) Variation of τQSL/τ with driving time under the influence of left different tunneling probabilities into excited states;(b) variation of τQSL/τ with driving time under the influence of left different tunneling probabilities into ground states,the left coupling strength parameter Ωr=1,the energy displacement ε=5Ωr.

图4 展示了不同出射隧穿概率下单量子点体系量子速度极限时间比值τQSL/τ随驱动时间的变化规律,图4(a)中,右侧激发态隧穿概率的增大让速度极限时间比值产生均匀的下降,基态隧穿概率的变化如图4(b)所示,使τQSL/τ呈现不均匀的下降.因为当激发态与基态隧穿概率差值增大时,演化过程中产生动力学通道阻塞效应阻碍了激发态与基态中电子的横向传输,系统演化的可加速能力得到提升.在隧穿过程中激发态通道与基态通道的相互作用也产生了共隧穿效应为系统演化加速提供了更大的空间.表明右侧隧穿概率的增大会明显降低量子速度极限时间比值,促进了系统可加速能力的提升.

图4 单量子点系统的速度极限时间比值 τQSL/τ 随右侧隧穿概率与驱动时间的变化图 (a)不同右侧激发态隧穿概率影响下τQSL/τ 随驱动时间的变化;(b)不同右侧基态隧穿概率影响下 τQSL/τ 随驱动时间的变化.量子点与左侧电子库耦合强度 Ωr=1,能极差 ε=5ΩrFig.4.The diagram of the quantum speed limit time ratio τQSL/τ as a function of right tunneling probability and driving time for a single quantum dot system: (a) Variation of τQSL/τ with driving time under the influence of right different tunneling probabilities from excited states ;(b) variation of τQSL/τ with driving time under the influence of right different tunneling probabilities from ground states.The left coupling strength parameter Ωr=1,the energy displacement ε=5Ωr.

图5(a)展示了不同弛豫速率下单量子点体系量子速度极限时间比值τQSL/τ随驱动时间的演化趋势,随着弛豫速率γr的增大,τQSL/τ总体上也逐渐上升.因为弛豫速率的增大加速了电子从激发态到基态指数衰减的快慢,从整体上加快了系统演化的进程,弱化了系统的可加速能力.如图5(b)所示,弛豫速率γr对体系的影响并不是单调的,当量子点系统与耗散环境耦合逐渐增大时,τQSL/τ先呈现出振荡随后又单调上升.当 0 ≤γr≤Ωr时,电子在激发态与基态之间的跃迁影响了电子从左电极通过量子点到右电极的隧穿过程,两个方向上的演化存在竞争导致上下能级电子布局数的变化,输运过程中量子速度极限比值产生了震荡现象.Ωr≤γr≤2Ωr时,跃迁过程在竞争关系中占据了主导地位,系统速度极限比值呈现单调上升的趋势,单量子点体系的CPS 受到抑制.表明: 弛豫速率增大过程中,τQSL/τ虽会产生振荡,但总体上该比值出现上升趋势,弛豫速率的增大抑制了量子点系统演化的可加速能力.

图5 单量子点系统的速度极限时间比值 τQSL/τ 随弛豫速率与驱动时间的变化图 (a) 不同弛豫速率影响下 τQSL/τ 随驱动时间的变化;(b) τQSL/τ 随弛豫速率 γr 与驱动时间的三维变化图.量子点与左侧电子库耦合强度 Ωr=1,能极差 ε=5ΩrFig.5.The diagram of the quantum speed limit time ratio τQSL/τ as a function of relaxation rates and driving time for a single quantum dot system:(a) Variation of τQSL/τ with driving time under different relaxation rates ;(b) three-dimensional diagram of τQSL/τ as a function of relaxation rate and driving time.The left coupling strength parameter Ωr=1,the energy displacement ε=5Ωr.

图6 展示了不同能级差下单量子点体系量子速度极限时间比值τQSL/τ随驱动时间的变化,随着能级差的增大,不但引起了系统τQSL/τ的下降,而且影响了系统随驱动时间演化的振荡频率,能级差不同时,产生了τQSL/τ的交点.这是由于能级差ε=0 时,电子通过量子点与两侧电极之间的隧穿完成传输.当能级差ε逐渐增大时,如图6(b)所示,处于激发态的电子向右水平隧穿的同时有概率跃迁到基态,量子点系统的演化由于偏离了水平方向隧穿会导致实际演化路径增大,两能级间差值越大偏离测地路径就越明显,量子速度极限时间比值下降,能级差不同基态与激发态间的量子相干效应也不同,增大了系统随驱动时间演化的振荡频率,也促成了不同能级差产生相同可加速能力的交叉点.因而能级差ε对单量子点系统的CPS 表现出显著变动的促进.

图6 单量 子点 系统 的速 度极 限时 间比 值 τQSL/τ 随能 级差 ε 与驱动时间的变化图 (a)不同能级差 ε 影响下的τQSL/τ 随驱动时间变化;(b)能级差产生跃迁原理图.量子点与左侧电子库耦合强度 Ωr=1,ΓE=0.5 Fig.6.The diagram of the quantum speed limit time ratio τQSL/τ as a function of energy displacement ε and driving time for a single quantum dot system: (a) Variation of τQSL/τ with driving time under different energy displacement ε ;(b) the schematic diagram of transition generation by difference energy level.The left coupling strength parameter Ωr=1,Tunneling probability of electrons ΓE=0.5.

4 结论

本文首先推导了量子点系统输运体系下的密度矩阵元,运用速度极限中Bures 角度量的方法,给出了单量子点体系在耗散环境下系统输运过程的速度极限表达式,并探究了两侧隧穿概率、弛豫速率以及能级差等因素对于系统可加速能力的影响.结果表明调节左电极电势提升左侧电子隧穿进入量子点的隧穿概率对τQSL/τ的影响微小,是因为电子隧穿进入量子点的过程中受到库仑阻塞效应以及量子相干的影响,左侧基态与激发态隧穿概率的改变对系统可加速能力的提高不明显.当调节右电势增大量子点中电子隧穿进入右侧电极的隧穿概率时,发现右侧基态与激发态隧穿概率的改变较为明显地提升了量子点系统的可加速能力,是由于隧穿过程中产生了通道阻塞效应以及共隧穿效应.当与外界环境处于强耦合的环境下,弛豫速率的增大会改变电子从激发态到基态衰减的快慢.系统可加速能力随驰豫速率的变化存在一个有趣的转折点,当驰豫速率小于该点时,电子布居数的变化导致系统可加速能力产生震荡变化.当驰豫速率大于该点时,弛豫过程占据主导地位,系统可加速能力受到单调抑制,总体上体系CPS 受到抑制.激发态与基态间能级差ε的增大而产生的跃迁与相干性会增加电子在量子点系统内的实际演化路径,改变了量子点系统随驱动时间的演化频率,整体上促进了系统可加速能力的提升.还有更多的物理量可以与量子点系统的速度极限结合,比如输运过程中的电流以及几何相位等,这值得进一步探索.