仿射空间拉普拉斯算子探讨

张捍卫，李晓玲，杨永勤，张 华

仿射空间拉普拉斯算子探讨

张捍卫，李晓玲，杨永勤，张 华

（河南理工大学 测绘与国土信息工程学院，河南 焦作 454003）

为了进一步研究提升惯性导航系统的精度，对拉普拉斯算子进行讨论：拉普拉斯算子是个微分算子，拉普拉斯方程又名调和方程、位势方程，求解拉普拉斯方程是物理学和力学等领域经常遇到的一类重要数学问题；基于曲线坐标系和张量理论，分别给出维仿射空间中的拉普拉斯算子表达式，并证明不同表述的等价性；最后，基于格林定理和变方方法，分别给出3维仿射空间拉普拉斯算子的表达式。

拉普拉斯算子；拉普拉斯方程；曲线坐标；格林定理；变分原理

0 引言

惯性导航系统的比力方程包含有重力加速度，它是影响惯性系统精度的一个关键因素，不但要知道重力矢量，还须知道垂线偏差[1-2]。重力匹配辅助惯性导航是解决水下长时间自主导航的有效手段[3-4]。远程武器发射和制导必须考虑到地球重力场的影响和干扰[5]。卫星精密定轨需要考虑地球和外界天体引力、潮汐力（固体潮、海潮和大气潮）、大气阻力、太阳光压和地球电磁场等摄动力的影响[6-7]。理论上，很多摄动力满足拉普拉斯或者泊松方程。皮埃尔-西蒙·拉普拉斯（Pierre-Simon Laplace）方程是以位函数的形式描写物理场。其数学表述和解依赖于所研究对象的几何形状和边界条件。早在1834年，加布里埃尔·拉梅（Gabriel Lamé）就基于繁琐的直接变换方法，首次将拉普拉斯方程从直角坐标系变换到曲线坐标系。其后，威廉·汤姆森（William Thomson）即开尔文勋爵（Lord Kelvin）、卡尔·古斯塔夫·雅各布·雅可比（Carl Gustav Jacob Jacobi）、彼得·古斯塔夫·勒热纳·狄利克雷（Peter Gustav Lejeune Dirichlet）分别基于不同原理对拉普拉斯方程进行了研究。文献[8]首次给出了球坐标系下拉普拉斯方程的表述。特别是，拉普拉斯方程在其他学科，例如电磁学和电动力学[9-10]、物理大地测量学[11]、大气物理学[12]、热力学与统计物理学[13]、电介质物理学[14]和广义相对论[15]等领域，也具有广泛应用，它一直是很多学科研究的问题之一。例如：文献[16-17]研究了分数阶拉普拉斯方程的解；文献[18]在重力异常转换过程中，比较了球冠谐分析法和拉普拉斯方程直接解法的效果；文献[19-20]分别研究了拉普拉斯方程正解的对称性和多重解问题。

1 与拉普拉斯算子有关的微分方程

下面举例说明拉普拉斯算子的应用。

1.1 泊松方程和拉普拉斯方程

如果以上2式中的密度为零，那么就变为拉普拉斯方程。

1.2 波动方程

真空中迅变电磁场满足波动方程[10]，即

1.3 亥姆霍兹方程

定态电磁波（单色波）满足赫尔曼·冯·亥姆霍兹（Hermann von Helmholtz）方程[10]，即

1.4 扩散方程

在研究气体扩散、液体渗透、热传导和半导体材料中杂质扩散等问题时，需要用到扩散定律和质量或能量守恒定律。其中扩散方程是[12-14]，即

2 黎曼（Riemann）空间

2.1 协变基向量与协变度规张量

式（9）中函数是单值的、连续的和可微的；反函数存在且是唯一的。定义

为协变基向量。进而定义协变度规张量为

2.2 逆变基向量与逆变度规张量

通过式（12），再定义一组新的向量，称为逆变基向量，即

注意上式中的上下指标相同表示求和。进而定义逆变度规张量为

2.3 向量微分与任意向量的表述

由以上公式可得

注意上下指标相同表示求和。任意物理量可表示为

2.4 黎曼空间中的微分运算

任意向量场式（16）的散度[22-23]为

根据式（17）、式（18）可得

以上是基于曲线坐标系理论得到的结果。

基于张量分析理论（广义相对论）[15]可以给出

称为第二类克里斯托弗符号。

3 正交曲线坐标系中的拉普拉斯算子

正交曲线坐标系是指在空间任意点处协变坐标基正交，即

注意，这里上下指标相同不代表求和。

3.1 正交曲线坐标系表述

基于正交曲线坐标系特征，根据式（19）可得

这就是常用的拉普拉斯算子表达式。

3.2 张量表述

基于正交曲线坐标系特征，根据式（20）可知

注意，这里为了方便理解，加上了求和号，其中

显然有

将式（27）代入式（25），可得

根据式（23）也可得到上式。

3.3 格林定理方法

注意，上式上下指标相同但不求和。格林定理[24]为

其他4个曲面的贡献可类似得到。因此，最后的曲面积分式（31）变为

由于面积分为零，因此可得到

这正是正交曲线坐标系表述的拉普拉斯方程。

3.4 变分方法

考虑到体积分

式（36）也等价于

这里的面积分是整个曲面边界的积分。式中(,,)表示微分面元d法线的方向余弦。

通过类似的方式也可得到

因此得到

4 结束语

基于曲线坐标系和张量理论，将拉普拉斯算子扩展到维，即式（19）和式（20）；在实际应用中一般采用正交曲线坐标系，则是式（23）；3维空间情况下是式（24）。在此情况下，张量表述很容易转换到曲线坐标系中。基于格林定理方法和变分方法得到的结论只是3维正交曲线坐标系中的特殊情况。

常用的3维空间拉普拉斯算子式（24）的具体形式依赖于所研究对象的几何形状，例如球体或椭球体，圆柱体或椭圆柱体，等等。其解的形式还依赖于边界条件，例如位函数或位函数梯度在边界上是否连续，或其线性组合是否连续等。

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Discussion of Laplace operator in affine space

ZHANG Hanwei, LI Xiaoling, YANG Yongqin, ZHANG Hua

（School of Surveying and Land Information Engineering, Henan Polytechnic University, Jiaozuo, Henan 454003, China）

In order to further improve the accuracy of inertial navigation system, the Laplace operator was discussed: the Laplace operator is a differential operator, and Laplace’s equation, also known as harmonic equation, or potential equation; solving Laplace’s equation is an important mathematical problem in physics and mechanics; based on curvilinear coordinate system and tensor theory, the expressions of Laplacian operator in-dimensional affine space were given respectively, and the equivalence of different expressions was proved; finally, based on Green's theorem and variation method, expressions of Laplacian operator in 3-dimensional affine space were given respectively.

Laplace operator; Laplace’s equation; curvilinear coordinates; Green's theorem; variation principle

P228

A

2095-4999(2023)01-0048-05

张捍卫，李晓玲，杨永勤，等. 仿射空间拉普拉斯算子探讨[J]. 导航定位学报, 2023, 11(1): 48-52.（ZHANG Hanwei, LI Xiaoling, YANG Yongqin, et al. Discussion of Laplace operator in affine space[J]. Journal of Navigation and Positioning, 2023, 11(1): 48-52.）DOI:10. 16547/j.cnki.10-1096.20230107.

2022-05-11

国家自然科学基金项目（42074002，41931075）。

张捍卫（1967—），男，辽宁昌图人，博士，二级教授，博士生导师，研究方向为空间大地测量学和天文地球动力学。