|x|在扩展的Chebyshev结点的有理插值

李建俊，张慧明

(1.河北师范大学 附属民族学院,河北 石家庄 050091；2.河北地质大学 数理学院,河北 石家庄 050031)

1 主要结果

先介绍几个引理：

引理1当0≤x≤π/2时,有2x/π≤sinx≤x.

引理3[13]当0≤y

引理4[14]当03-2t.

接下来介绍本文主要结论：

定理1结点组取扩展的Chebyshev结点，有下式成立：

|en(T*;x)|=||x|-rn(T*;x)|≤π/(2nlnn).

(1)

证明:由于rn(T*;x)和|x|都是偶函数，只考虑区间[0,1]即可.

2)当x1=sin(π/(4n))/sin[(2n-1)π/(4n)]≤x≤x2=sin(3π/(4n))/sin[(2n-1)π/(4n)]时,有

sin[π/(4n)}]/{sin[(2k-1)π/(4n)]+sin[π/(4n)]}.

(2)

由引理3得

(3)

因此,

(4)

3)当x2=sin(3π/(4n))/sin[(2n-1)π/(4n)]≤x≤xn=1时,取xj-1≤x≤xj(j=3,4,…,n)有

{sin[(2j-1)π/(4n)]/sin[(2n-1)π/(4n)]+sin[(2k-1)π/(4n)]/sin[(2n-1)π/(4n)]}

(5)

由引理3得

[(j-1)/j]·[(j-2)/(j+1)]·[(j-3)/(j+2)]·[(j-4)/(j+3)]…[5/(2j-6)]·

[4/(2j-5)]·[(3/(2j-4)]·[(2/(2j-3)]·[(1/(2j-2)]·[(j-2)/(j+1)]·

[(j-1)/(j+2)]·[j/(j+3)]…[(n-5)/(n-2)]·[(n-4)/(n-1)]·[(n-3)/n]·

[(n-2)/(n+1)]≤[(j-3)/(j+2)]·[(j-4)/(j+3)]…[(5/(2j-6)]·[(4/(2j-5)]·

[(3/(2j-4)]·[(2/(2j-3)]·[(1/(2j-2)]·[(j-2)/(j+1)]·[(j-1)/(j+2)]·

(6)

[j/(j+3)]…[(n-5)/(n-2)]·[(n-4)/(n-1)]·[(n-3)/n]·[(n-2)/(n+1)]≤

[(j-3)/4]·[(j-4)/5]…[(5/(j-4)]·[4/(j-3)]·[(3/(j-2)]·[2/(j-1)]·(1/j)·

以保护和可持续利用生态系统服务为目的，构建社区补偿机制，将社区利益纳入保护体系，通过多样化的补偿方式促进社区的全面发展。争取国家的政策扶持和项目资金支持，建立生态补偿的长效机制，给予社区生态效益补偿资金和自然资源保护地役权补偿资金等，提升社区的整体素质和社会福利。培养社区自我发展的能力。最后建立社区发展援助基金为社区的可持续发展提供根本保障10. 唐林芳，《国家公园理论与实践》，中国林业出版社，2017年11月。。

[(j-2)/(j+1)]·[(j-1)/(j+2)]·[j/(j+3)]…[(n-5)/(n-2)]·

[(n-4)/(n-1)]·[(n-3)/n]·[(n-2)/(n+1)]=6/[(n-1)n(n+1)].

由式(6)得|en(T*;x)|≤2x|hn(T*;x)|/[1-|hn(T*;x)|]≤3|hn(T*;x)|≤18/(n3-n).

这个逼近阶是不能改善的,有以下定理：

定理2当n≥13时,取x*=1/(nlnn),有|en(T*;x)|>1/(50nlnn).

(7)

证明:当n≥13时,有0

(8)

(9)

所以nlnn|en(T*;x*)|=2nlnn·x*hn(T*;x*)/[1+hn(T*;x*)]≥hn(T*;x*)>3-2[(ln n+2)/ln n]>1/50

定理得证.由定理1和定理2可得到确切逼近阶为O(1/(nlnn)).

2 数值计算与分析

研究|x|在扩展的Chebyshev结点的有理插值,得到逼近阶为O(1/(nlogn)).这个结果和结点取Chebyshev结点[5]、第2类Chebyshev结点[10]、正切结点[11]和等距结点[4]得到的逼近阶相同.以上证明表明:在区间[0,x1]逼近效果最差,仅为O(1/(nlnn));在[x1,x2]逼近效果好一些,为O(1/n2);在[x2,1]逼近效果好,可以达到O((1/n3)).

表1 |en(X;x)|在5个不同结点的有理插值误差

5类结点组中,|x|在正切结点的有理插值误差最小,正切结点是正切曲线(凸)上的点.其次是等距结点,等距结点是直线上的点.然后是Chebyshev结点和扩展的Chebyshev结点,在第2类Chebyshev结点误差最大.Chebyshev结点和第2类Chebyshev结点是正弦曲线(凹)上的点,且Chebyshev结点比第2类Chebyshev结点靠近原点.由于正切函数(凸曲线)上函数值tan[kπ/(4n)]小于正弦函数(凹曲线)上的函数值(2k-1)π/(4n)、sin[kπ/(2n)],3个值大小依次是tan[kπ/(4n)]

综上数值计算和理论分析可得相同逼近阶的误差与结点的密集度及结点所在曲线的凹凸性有关.