不同润滑介质下气体静压轴承气锤自激振动研究

安 磊，王 伟，龚维纬

(电子科技大学 机械与电气工程学院，成都 611731)

随着“中国制造2025”的实施，处于制造业顶端的超精密加工技术成为制高点和突破口。超精密机床是实现超精密加工的关键载体，它直接决定了各种零部件的加工精度、效率和可靠性[1-2]。因而，作为超精密机床的重要部件—主轴的性能要求也越来越高，而主轴的性能又受制于其所采用的支撑方式。与传统的机械接触或液体支承的轴承相比，气体轴承具有速度高、摩擦小、无污染、精度高、寿命长等优点，广泛应用于各种超精密加工装备和测量装备中。气体轴承一般可分为气体动压轴承、气体静压轴承和动静压混合轴承。动压轴承在启动和停车过程中存在较大的磨损，动静压混合轴承设计计算和加工比较复杂，所以静压轴承应用较为广泛，在大规模集成电路制造、激光核聚变用反射镜、大口径天文射电望远镜、非球面光学器件等高精尖零部件的超精密加工中应用越来越多[3-4]。

尽管气体静压轴承有诸多优点，但同时它也存在承载力较低、动态稳定性较差、制造精度要求苛刻等缺点，以往对气体静压轴承的研究主要关注其承载能力和刚度等静态特性的设计方法，随着超精密制造和测量技术的不断发展，对气体静压轴承的稳定性等动态性能的要求越来越高。理论分析与试验研究表明，气体静压轴承的振动主要分为两类：第一类为气体静压轴承的微幅自激振动(微振动)，其振动幅值较小(通常在几纳米到几百纳米级)，是一种较为稳定的振动；第二类为气体静压轴承的气锤自激振动，其振动幅值较大并伴随持续地啸叫声，破坏了气浮支撑的稳定性，使得气膜润滑层失效，是一种非稳态的破坏性的振动。气锤振动是由轴承系统本身运动产生的，并不需要外界持续的激励也能维持一定的振幅，因而是一种自激振动。第一种微振动，其振动幅值小，并且不可消除，不会影响轴承的正常工作，目前针对气体静压轴承的微振动及其抑制方法，已经开展了大量的研究[5-10]，并取得了不错的效果。第二种气锤振动，其振动强度和幅值较大，导致轴承无法正常工作，自从气锤振动被首次发现，就引起了国内外学者的广泛关注。

1970年，国外学者Powell[11]首先指出，气膜厚度变化和转子运动间的180°相位差是气锤振动产生的主要原因，并通过试验分析了节流孔直径、均压腔深度、供气压力等参数对气锤振动的影响。1999年，王云飞[12]在其专著中从基本概念、振动机理、影响因素和改进措施等几方面详细阐述了气锤振动的问题，认为一定大小的内部气容、激励振源和内部压强是气锤振动产生的三要素，并指出轴承内部的压强是由外部供压和转子转速共同决定的。2003年，Talukder等[13]通过试验对气体静压径向进行研究，指出降低供气压力、减小供气孔直径、增大负载和保持外部阻尼在合理的范围内可以避免气锤振动。2009年，Farid[14]基于非线性动力学，建立了气膜的等效弹簧-阻尼模型，推导出系统的临界质量、供气压力和气膜几何特征来研究气锤振动。2012年，Bhata等[15]指出在节流孔径较小(小于0.25 mm)、气膜厚度较大(大于20 μm)和大供气压力的低频扰动下，气锤振动往往容易发生，而高频扰动下空气就如同不可压缩的液体，不会发生气锤现象。2016年，Ma等[16]基于雷诺方程和运动方程建立了单自由度气锤振动分析模型，通过有限单元法和伽辽金加权余量法对控制方程进行重构和离散，指出在轴承高压区域开设阻尼孔可以减小气锤振动提高轴承的稳定性。2019年，Zheng等[17]基于雷诺方程和流量平衡方程建立了单自由度轴承运动方程，通过有限差分法进行求解，分析了均压腔深度、供气压力和负载质量对气锤振动的影响。2020年，马伟等[18]建立了基于相位致振的静压气体轴承理论模型，发现工作气压和气膜厚度的相位不断变化，在两者间的差值为180°时发生气锤自激振动，从相位变化角度解释了气锤振动的发生机理。同年，Dal等[19]对无腔的气体静压径向轴承进行气锤振动研究，通过耦合流场控制方程和转子动力学方程，使用瀑布图、分叉图、轨迹图、相图等确定了轴承系统的气锤自激不稳定区域，指出节流孔数量越多气锤振动频率越高，双排节流孔要比单排节流孔的振动频率高。2021年，魏先杰等[20]分析了尺度效应下均压腔结构对气体静压轴承气锤自激振动的影响。

可见，国内外学者分析气锤自激振动时，主要研究了轴承结构参数和工作参数的影响。润滑介质的不同会导致气体的密度、黏度等性能的差异，最终影响轴承性能。王学敏等[21]分析了不同润滑介质下静压轴承的耗气量和承载力。郭雨等[22]分析了润滑介质种类对于静压和动压轴承承载力的影响。然而，对于不同润滑介质下气体静压轴承的气锤自激振动研究较少。本文基于小扰动法耦合轴承气膜流场控制方程、流量平衡方程和转子受力方程，建立了轴承系统的单自由度气锤振动模型，分析了不同气体和混合气体润滑下气体静压轴承的气锤自激振动现象。

1 气体静压轴承数学模型

气体静压轴承模型如图1所示，持续的高压气体通过节流孔进入均压腔，进而扩散到轴承和转子之间的间隙形成一层极薄的气膜，最终由轴承边界排除。由于气膜内的气体压力高于周围环境压力，便可利用压力差形成承载，支撑起转子。图1中轴承为止推轴承，在周向均布了12个节流孔和均压腔。

图1 气体静压轴承模型图Fig.1 Model diagram of aerostatic bearing

1.1 气膜流场控制方程

N-S方程可以描述气体在气膜内的流动，然而其作为复杂的偏微分方程很难求解。因此基于一些假设对N-S方程进行简化同时结合质量守恒方程，便可推导出气膜流场控制方程为

(1)

式中：h为气膜厚度；p为气膜压力；μ为黏度；t为时间；r和θ为坐标。

本文是基于小扰动法研究气锤自激振动，气膜厚度和压力的变化量相对于稳态时均为小量。当轴承受到初始扰动v0后，气膜厚度和压力分别为

(2)

式中：h0为稳态时的气膜厚度；h1为气膜厚度变化量；p0为稳态时的气膜压力；p1为气膜压力变化量。

将式(2)代入式(1)进行展开，并略去高阶小量，分离出稳态项和瞬态项可得

(3)

(4)

(5)

(6)

由式(5)出发可求出稳态气膜压力P0，将其代入式(6)，设定气膜厚度变化量h1，结合流量平衡方程、边界条件和转子受力方程便可求出气膜压力变化量P1。

1.2 流量平衡方程方程

由于节流孔较短，气体流过所需的时间很短，热量来不及交换，可认为是绝热过程。得到经节流孔流入轴承的气体质量流量为

(7)

式中：A0为节流孔横截面积；φ=0.8为流量系数；ps为供气压力；ρa为气体密度；pa为标椎大气压；ψ为流量函数，具体为

(8)

出口气体质量流量记为负值[23]，为

(9)

式中：vr为气体在径向的流动速度；f=p2为压方。

在转子运动过程中，气膜厚度随时变化，气体的体积和密度也会随之改变。在进行动态分析时，均压腔区域和气膜区域的气体质量流量变化情况必须考虑。轴承周向均布了12个节流孔和均压腔(见图1)，可以将气膜均分为12部分si，任一部分区域的气体质量流量变化为

(10)

气体静压轴承需要源源不断的供气，气体从节流孔流入，从轴承边界流出，因而必须满足质量守恒定律。稳态时，不考虑时间项，流量平衡方程为流入节流孔的流量等于流出轴承的流量。瞬态时，流入的气体应当等于流出的气体加轴承内部改变的气体，则每一个节流孔处的流量平衡方程为

qin+qout-dq=0

(11)

1.3 转子受力方程

如图1所示，单自由度轴承系统中，转子在轴向受到竖直向下的重力Mg和竖直向上的气膜支撑力W，则有

(12)

相比于将气膜等效成弹簧阻尼系统的传统模式，基于小扰动法无需求解气膜刚度和阻尼，而是从气膜面上的压力直接积分，得到气膜支撑力为

W=∬s(p-pa)ds=∬s(p0+p1-pa)ds

(13)

将式(13)代入式(12)，并考虑到∬s(p0-pa)ds=Mg，则转子的受力方程为

(14)

将式(14)进行无量纲及离散化处理，可得

(15)

2 数值求解

气膜流场控制方程为二阶非线性偏微分方程，不易直接求解，需要离散后数值求解。如图 2 所示，将气膜流场区域在周向和径向分别划分为n份和m份，则周向节点数为n，径向节点数为m+1。对于边界条件：在与大气相连处，fi,j=1。在均压腔内，fi,j=(pd/pa)2，周期性边界为fi+n,j=fi,j。

图2 气膜流场数值计算网格Fig.2 Numerical calculation grid of gas film flow field

在常用的离散方法中，FDM原理简单易懂，编写灵活，故采用FDM将偏微分项进行离散

(16)

式中：上标n为时间步；下标i，j为坐标值。

将式(16)代入式(6)，则离散后的瞬态流场控制方程为

(17)

其中，

(18)

对于稳态流场控制方程式(5)采用类似的离散化处理方式，通过设定均压腔稳态初始压力，结合稳态流量平衡方程便可求出稳态时气膜压力P0，限于篇幅，此过程不再赘述。

表1 轴承气锤自激振动仿真参数

图3 数值求解流程图Fig.3 Numerical solution flow chart

图4 稳态气膜压力分布图Fig.4 Steady-state gas film pressure distribution diagram

3 润滑介质对气锤自激振动的影响

当轴承受到扰动后，轴承气膜厚度会发生改变，从而导致气膜压力发生变化，其积分效应导致轴承在轴向的受力改变，当轴承支撑力大于转子自质量，就会使转子产生加速度，转子位移会逐渐加大，气膜厚度将不稳定，出现气锤自激振动现象。图5为不同供气压力下气膜压力最大值随时间的变化量，由图5可知：当供气压力为0.58 MPa时，气膜压力最大值随时间等幅变化，轴承的支撑力也会等幅变化；当供气压力为0.56 MPa时，气膜压力最大值随时间逐渐减小，导致轴承支撑力也会逐渐减小；当供气压力为0.60 MPa时，气膜压力最大值随时间逐渐增大，轴承支撑力会逐渐增大，致使转子产生加速度。

图5 气膜压力最大值的变化量Fig.5 The amount of change in the maximum air film pressure

气锤自激振动的主要表现形式为气膜厚度的不稳定。图6为润滑介质为空气时不同供气压力下气膜振动速度瞬态响应曲线。结合图5可知：当供气压力为0.58 MPa时，轴承支撑力等幅变化，气膜振动速度幅值不变，轴承系统处临界稳定状态，因而0.58 MPa是空气润滑下轴承的临界供气压力；当供气压力为0.56 MPa时，轴承支撑力逐渐减小，速度曲线呈现衰减状态，速度幅值逐渐减小，轴承不会发生气锤自激振动，处于稳定状态；当供气压力为0.60 MPa时，轴承支撑力逐渐增大，可以看到速度曲线发散趋势明显，速度幅值逐渐增大，轴承系统处于气锤自激振动状态。

图6 气膜振动速度瞬态响应曲线Fig.6 Transient response curve of air film vibration velocity

气体轴承最常用的润滑介质为空气，根据需要也可以使用氙气、二氧化碳和氩气等润滑介质。润滑介质种类发生改变，气体的密度、黏度和绝热指数势必不同。取常见的8种气体，将密度大于等于空气的气体归为大分子润滑气体，密度小于空气的归为小分子润滑气体。表2为不同润滑介质参数。

图7为供气压力为0.58 MPa时不同润滑介质下气膜振动速度瞬态响应曲线。由图7可知，对于润滑介质为大分子润滑气体时(除空气外)，不会发生气锤自激振动，气膜振动速度曲线都呈现衰减状态。速度曲线衰减程度由大到小分别为：氙气、氩气和二氧化碳。对于小分子润滑气体，当气体为氮气时，速度曲线基本处于临界稳定状态，这是由于空气中的主要气体为氮气，而氮气和空气的润滑介质参数差异不大；当气体为氖气时，速度曲线呈现略微衰减状态；当气体为氦气和氢气时，速度曲线明显发散，并且氢气的发散程度更大，说明使用这两种气体会加剧气锤自激振动的发生。润滑介质不同，气体在轴承内的流动速度会不同，致使气膜压力变化量不同，最终转子在轴向上受力发生改变，故而振动速度出现差异。综上，说明使用氙气可以较好地降低气锤自激振动的发生。然而，作为一种稀有气体，氙气的获取难度大且价格较高，而空气可以取之不尽用之不竭，有必要将空气和氙气进行混合，分析混合气体对轴承气锤自激振动的影响。

表2 不同润滑介质参数

图7 不同润滑介质下气膜振动速度瞬态响应曲线Fig.7 Transient response curve of gas film vibration velocity under different lubricating media

将空气和氙气混合后，气体属性将发生改变，气体的密度、黏度和绝热指数也与单一气体时有所不同。混合气体的密度为

ρmix=(1-v)ρAir+vρXe

(19)

式中：ρmix为混合气体的密度；v为氙气在混合气体中的体积比；ρAir为空气的密度；ρXe为氙气的密度。

混合气体的黏度为[24]

(20)

式中，μmix为混合气体的黏度，且

(21)

式中：μXe为氙气的黏度；μAir为空气的黏度；MAir为空气分子质量；MXe为氙气的分子质量；T为环境温度；TcAir为空气临界温度；TcXe为氙气临界温度。

混合气体的绝热指数为

(22)

式中：kmix为混合气体的绝热指数；kAir为空气的绝热指数；kXe为氙气的绝热指数；nAir为空气的物质的量；nXe为氙气的物质的量。

由式(19)～式(22)可计算出部分空气和氙气混合气体的密度、黏度和绝热指数如表3所示。

图8为供气压力为0.58 MPa时不同氙气体积比下气膜振动速度瞬态响应曲线。由图8可知，随着氙气体积比的增加，振动曲线衰减趋势增大。说明不同氙气体积比会对气锤自激振动的抑制有不同的影响，增加氙气体积比会减低气锤自激振动的发生。降低供气压力可以减低或抑制气锤自激振动的发生但是这种做法会降低轴承的支撑力，大大削弱轴承的使用性能。增加氙气体积比是否会降低轴承的支撑力，需要进一步分析。

表3 部分空气与氙气混合气体的参数

图8 不同氙气体积比下气膜振动速度瞬态响应曲线Fig.8 Transient response curve of gas film vibration velocity under different xenon gas volume ratios

图9为不同供气压力下氙气体积比对轴承支撑力的影响。由图9可知，当氙气体积比从0开始增大至0.6时，轴承支撑力快速增大，体积比继续增大时，支撑力逐渐缓慢增大。当氙气体积比由0增加到1时，在0.48 MPa的供气压力下，支撑力由283.6 N增大到290.4 N，增加了2.4%；在0.58 MPa的供气压力下，支撑力由388.5 N增大到399.3 N，增加了2.8%；在0.68 MPa的供气压力下，支撑力由491.2 N增大到507.7 N，增加了3.4%。可见，供气压力越高，轴承支撑力增长越快。说明增加氙气体积比不但可以降低气锤自激振动的发生，也可以提高轴承的承载能力，且供气压力越高，提高幅度越大。

图9 不同供气压力下氙气体积比对支撑力的影响Fig.9 Influence of xenon volume ratio on supporting force under different gas supply pressures

图10为氙气体积比对临界供气压力的影响。由图10可知，当氙气体积比为0.2，0.4，0.6，0.8，1.0时，轴承的临界供气压力分别为0.59 MPa，0.60 MPa，0.60 MPa，0.61 MPa，0.61 MPa。可见，氙气体积比为0.4和0.6时，临界供气压力一致；氙气体积比为0.8和1.0时，临界供气压力一致。由图6可知，氙气体积比为0时，临界供气压力为0.58 MPa，可得出当氙气体积比超过0.6后，临界供气压力增长缓慢。结合图9，在实际使用中可以将氙气体积比定为0.6，从而平衡氙气的使用量和提高临界供气压力以及轴承支撑力。

图10 氙气体积比对临界供气压力的影响Fig.10 Influence of xenon volume ratio on critical gas supply pressure

4 气锤自激振动试验

气锤自激振动为微米级别，进行试验时，为降低周围振动的影响，需使用隔振平台。此外，空气中含有水分、杂质等，不能直接进入轴承和隔振平台。图11为气锤自激振动试验装置，空气经干燥和过滤后一部分进入隔振平台； 另一部分经增压后进入储气罐，使用精密调压阀调整进入静压轴承气体的压力。加速度传感器分布在转子、轴承壳和隔振平台上，测量结果通过信号采集器输入计算机软件处理。

图11 气锤自激振动试验装置Fig.11 Air hammer self-excited vibration experimental device

将供气压力从0.4MPa逐渐增大到0.6 MPa，维持一段时间后又逐渐降低到0.4 MPa。同时记录试验装置的振动情况。由图12可知，转子、轴承壳和隔振平台的加速度都是逐渐增大，维持一段时间后又逐渐减小，这与供气压力的变化一直。试验装置的振动由大到小分别为：转子、轴承壳和隔振平台。这是由于主轴振动通过气膜传到轴承壳，又通过轴承传递到隔振平台上，依次存在衰减，说明隔振平台性能满足试验要求。

按照同样的方法将供气压力稳定到0.58 MPa和0.62 MPa下进行试验。由于每次试验时3～3.02 s都属于压力稳定的时间段，故取转子在3～3.02 s内的加速度测量数据，进行滤波、去噪，对曲线进行两次积分后，得到转子的加速度、速度和位移曲线。图13为转子振动曲线，由图13可知，随着供气压力的增大，转子加速度逐渐增大。速度和位移也逐渐增大，这是由于速度和位移分别为加速度的一次积分和二次积分。当空气的供气压力为0.58 MPa时，转子的位移幅值为70 nm左右，属于微振动范畴；当空气的供气压力为0.60 MPa时，转子的位移幅值达到了0.4 μm左右，基本达到了气锤自激振动级别，轴承处于临界稳定状态；当空气的供气压力为0.62 MPa时，转子的位移幅值达到了3 μm左右，是明显的气锤自激振动现象。润滑介质为空气时，理论仿真临界压力为0.58 MPa，而试验为0.60 MPa，相对误差为3.5%，说明文中的理论模型和分析程序是有效的。

图12 试验装置振动情况Fig.12 Vibration of the experimental device

图13 不同供气压力下转子振动曲线Fig.13 Spindle vibration curve under different air supply pressure

5 结 论

(1) 本文基于小扰动法耦合气膜流场控制方程、流量平衡方程和转子受力方程建立了气体静压轴承的单自由度气锤振动模型，利用有限差分法数值求解气膜气膜振动速度瞬态响应。气锤自激振动的表现形式为气膜厚度变化不稳定，通过速度幅值判定轴承是否发生气锤自激振动现象。

(2) 相同供气压力下，气锤自激振动发生概率由大到小为：氢气、氦气、空气、氮气、氖气、二氧化碳、氩气、氙气。选用氙气有利于减小气锤自激振动现象。

(3) 对于氙气和空气的混合气体，气锤自激振动发生概率随着氙气体积比的增大而减小。轴承支撑力随着氙气体积比的增大而增大，且供气压力越高，支撑力提高幅度越大。氙气体积比从0开始增大至0.6时，轴承支撑力快速增大，体积比继续增大时，支撑力逐渐缓慢增大，临界供气压力也缓慢增长。