如何学好数学？

策划 | 邢晓凤

2019年，科技部、教育部、中科院、自然科学基金委四部门联合印发了《关于加强数学科学研究工作方案》，强调了数学研究的重要性。数学是自然科学的基础，也是重大技术创新发展的基础。几乎所有的重大科学发现都与数学的发展与进步相关，数学已成为航空航天、国防安全、生物医药、信息、人工智能、先进制造等领域不可或缺的重要支撑。对个人来说，数学给予我们的不仅是知识，更重要的是能力以及良好的思维品质，这种能力包括观察实验、收集信息、归纳类比、直觉判断、逻辑推理、建立模型和精确计算。这些能力的培养，将使人终身受益。

议题一：数学能力提升的脑机制是什么？

薛贵：从脑科学的角度，数学能力提升的脑机制是什么？有什么科学的方法促进学生学好数学？它究竟是为了培养什么样的能力？

罗理想：数学是研究数量关系和空间形式的一门学科。数学是一门符号学科，是一种工具，也是一种语言，更是一种方法论和认识论。数学是思维的体操，史宁中教授提出“三会”：会用数学的眼光观察世界，会用数学的思维思考世界，会用数学的语言表达世界。从中小学的基础教育来讲，每一个学科都是用学科的语言、学科的眼光来认识世界，用学科的思维来思考世界、表达世界。

张琼：数学讨论的是这个世界物体和物体之间的规律及关系，如何让个体去领悟这种规律和关系，然后通过这种基础的规律和关系，去了解世界背后的基础或更高级的一些机制。数学是无处不在的，它的基石作用及对其他学科的指导性作用，都体现了数学的重要性。

周新林：跟其他自然科学相比，数学很重要的一个特点就是抽象。跟智力与勤奋、努力相关；数学学习起来有难度，容易产生数学焦虑。教育部发布的《2018年国家义务教育质量监测——数学学习质量监测结果报告》显示，存在一定数学焦虑的初中学生比例已经超过40%。数学是研究数量关系的，数学加工主要依赖于顶叶的顶内沟区域，数学加工需要大量空间加工的参与，包括空间的表征、推理、想象等环节。数学是高度依赖视觉空间加工的视空网络。数学知识是符号性的，但人们在思考数学符号时却是空间的，人们会形成抽象空间结构，例如，数字就可以构成一种抽象空间结构，叫心理数轴，一般语言中这种结构很少，数学空间加工很明显。从知识的角度说，数学是逻辑的，但从人的心理能力角度讲，数学是空间的和经验的。还有一个特点就是数学跟物理化学联系很紧密，尽管数学比物理、化学更抽象，但是它们在大脑中又紧密关联。

薛 贵

北京师范大学认知神经科学与学习国家重点实验室教授

罗理想

西安市教科院科研规划部副主任中学数学教研员

张 琼

浙江大学副教授

议题二： 如何激发孩子的数感？

薛贵：在数学学习过程中，需要学生的哪些能力？从认知神经机制的角度及一线实践观察来看，哪些学生学数学难度更小一点，哪些学生可能会遇到更多的挑战？学好数学是不是聪明孩子的专利？

周新林：我们在课题中分析了很多数学学习的能力基础，包括条件推理、演绎推理等逻辑推理，发现逻辑推理跟数学很难关联起来，很难对数学成绩做出预测。逻辑证明在一定程度上是一个事后诸葛亮的过程，不是按照我们的常规思路想出来的，比如数学家的很多重大发现可能都是在放松时，甚至可能是梦中、梦醒后、游玩中突然的一个启发。当然这是建立在潜心研究、辛勤工作的基础上。在心情放松的状态下，容易形成一些新的思路，产生新的观点。新异想法的出现与默认网络也即与之有较大重叠的语义网络的活动有关，它们又与人的放松状态关联更紧密一点。对学生来说，空间能力很重要，空间能力预测性很强。数学能力超强的人才，空间想象能力会很好。同时还有抽象思维能力，比如图形推理测验，对很多数学应用题及几何证明的预测作用比较强，反映了对抽象关系的一种把握。数学高度抽象的特点，在问题解决时与基础数学关系其实不大。空间能力、图形推理能力，都是随着年级的升高越来越强。同时，语言能力跟数学也有关联，这个特点刚好跟空间能力相反，年级越低语言能力作用越强，年级越高就越弱。符号性表达的数学知识的预测作用很多情况下没有语言表达的数学知识预测作用强，还有非符号数感、对形状的辨别能力等能够很好地预测流畅性数学能力；如果学生的流畅性算术能力没有发展起来，就会出现计算障碍。

周新林

北京师范大学认知神经科学与学习国家重点实验室教授

库逸轩

中山大学教授

陈飞燕

浙江大学教授

张 英

成都市东城根街小学副校长

库逸轩：算术有不同的计算方式。比如近似的计算和表征，依赖于我们视觉空间的一些表征，比如像数轴这样的表征形式。还有一种对于精确计算来讲，跟我们的语言表征非常相关，比如额叶，还有颞叶的区域，也都参与这一部分的表征形式，所以当时也提出了双系统的表征模式。爱因斯坦曾经也说，文字和语言，不管是口头还是书面的，在他的思维过程中没有发挥什么作用。计算跟顶叶的激活确实有很大关系，但也不能排除语言系统的贡献，比如一个应用题，如果过不了语言关，可能很难往下进行。相关研究证明，一些精确计算也要依赖于母语系统，比如中国人就是在汉语的框架下去做，很难迁移到二语。数学能力是多维度的，包括比较抽象的空间能力、建模能力。如何把数学和我们的真实世界联系起来，也是数学思维非常重要的能力。

罗理想：抽象、推理和建模是数学课程培养中小学生的必备品格。数据分析、直观想象和数学运算是关键能力。学生在学习数学的过程中应用到的能力很多，数学有三大基本思想：抽象、推理和建模，伴随着数学产生发展的整个过程。数学建立在知识的基础上，中小学学习数学知识的主要方式有两个：抽象和归纳。从国家新课标来看，每个学科主要培养学生正确的价值观念、必备品格和关键能力三个方面。数学培养学生的必备品格，就是抽象、推理、建模。比如数据分析，对数据进行一些图表量表的可视化描述尤为重要。数学语言有三种形式：文字语言、符号语言和图像语言。向量语言、集合语言、数列语言等都是符号语言的表现形式。

陈飞燕：从认知的角度讲，数学是一种高级的认知能力。数学能力可分为领域一般性和领域特殊性，领域一般性是指人类在发展过程中逐渐形成的基础的认知能力，适用于各种认知任务而不管任务的具体内容是什么。领域特殊性观点认为，人类不可能以某种纯粹独立于领域内容的方式形成认识，认知能力的发展与特定领域的知识紧密相关。领域一般性能力强，数学就会学得好。相当于一台电脑的CPU，这个CPU就是领域一般性能力，CPU强大了，能力就强了。另外，数学领域特殊性能力，如编码、提取知识、操作的速度很快，也能快速促进数学能力的发展。

议题三：如何抓住窗口期培养孩子的数理思维？

薛贵：从科学的角度以及评估选拔的角度，是否可以建立一些模型，预测孩子学数学的潜能？如何把有数学天赋的孩子选拔出来？数学的学习有没有关键期？

陈飞燕：数学认知跟大脑的功能和结构都有关系。海马（位于颞叶内侧的脑区）在数学学习中非常重要，海马的功能不仅与记忆、对已有知识的提取有关，海马还可以跟额叶、顶叶组成一个网络，可能对数学知识的整合及新知识的形成起到非常重要的作用。比如对孩子进行珠心算的训练，发现训练后珠心算组儿童左右两侧海马的灰质体积能够预测个体之后的数学学习的增长率。海马跟额叶、顶叶的功能连接的强弱，也能够预测个体今后数学学习率的快慢。海马对数学学习的变化比较敏感，脑区本身的结构、功能的变化，随着学习也会发生一些变化。我们的大脑功能和结构，在某种程度上可以预测孩子的数学学习发展。

周新林：海马跟学习记忆的联系很紧密。未来开展纯粹数学研究的人在人群中只占很少的比例，绝大部分的人在将来生活和工作中是应用数学，例如有99%的人学数学的目的是应用数学，要把知识跟情境现实挂钩。可以从几个维度来界定数学能力，比如符号数学能力、语言描述数学的能力、在情境中应用数学的能力。现在课标里强调数学建模，实际上就是强调培养学生应用数学的能力。怎么选拔数学能力超常的人？数学超常的学生对空间信息很敏感、抽象思维能力很强。国外流行一种干预响应理论，通过学习观察，不断增加难度，在过程中去评价，叫RTI模式，也是干预学习困难的实践方式。当然人才的选拔培养也不是一两个英才班能解决的，人才的发展需要有一个大的环境。尽管人们把数学跟人的天赋挂钩，但从基因位点分析、双生子的研究证据来看，数学能力和语言能力的遗传度差不多。绝大多数人都拥有学习数学的基本能力，都能完成中小学国家教育的目标，包括高中的数学课程。目前学习数学感觉很难，往往是人为设置难题带来的，以及错误的教育教学方法带来的。

数学能力的关键期可能存在。与计算能力有关的对数字符号系统的掌握，如果孩子在低年级没有很好掌握数字符号系统，将来可能会出现计算障碍。学习数学与空间能力密切相关，如果将来有研究证明空间能力有关键期，学校数学就一定有关键期，错过了空间能力培养，学习复杂数学就会很难。

张琼：在不同的年龄段，学生的数学能力，对其他基础能力的依赖可能会不一样。例如，在不同的年龄个体上，空间能力、语言能力、逻辑推理能力对数学的贡献大小并不一样。怎样在传统的静态评估和动态评估的基础上去考察，要结合个体的发展特点。比如我们在北京八中做超常班的孩子选拔，基本上都是在小学四年级去选拔的，这种整齐划一的划界设置，就有一些孩子可能会被筛掉。当然即便是被录取进来，最后可能还是有99%的学生要走应用路线。但我的意思就是说选拔也好，培养也好，都必须把握好个体差异。

张英：在实际教学中，真正特别拔尖的孩子并不多。但相对突出的孩子有以下几个特点：一是，课堂发言的语言表达非常有深度，愿意进行深度思考，解决问题时，会有不同的解决方法，能自主对方法进行优化，最后选择简洁抽象的表达进行交流，会对他人思维中逻辑不够严密、思维不够深刻的地方提出补充和质疑。二是在做作业时，符号化的程度比较高，会自主采用直观化的方式对问题进行深入分析，并且特别愿意在数学上花更多的时间和精力去解决问题。

库逸轩：有数学天赋的学生，他们在大脑的活动上，会有一些比较特定的特征，比如右脑半球有特定的神经激活以及双侧半球的一些协调激活等。包括他们在信息处理、信息加工速度、工作记忆方面，可能会比普通人更强一些。我们一方面要重视拔尖的这一部分，通过设计发现选拔。但同时也要关注数学焦虑，也就是数学学习困难的孩子，也要特殊关照，很多数学学习困难孩子同时也存在阅读障碍，他们大脑的某发育存在一些缺陷，比如右侧的海马存在损伤。可以设计特定领域的训练进行干预。

议题四：从脑发育的角度男孩和女孩的数学思维有何异同？

薛贵：数学能力究竟有没有性别差异？如何培养提升学生的数学能力？

周新林：目前国际主流观点认为，男生女生在校数学成绩的差异是微乎其微的，尤其在小学阶段，女生甚至还会好一点。例如，在计算能力上，女生有优势，这是因为精算能力依赖语言能力，而女生的语言能力是具有明显优势的。在问题解决方面，如果排除了语言因素，男性具有一些优势，可能体现了空间能力差异，即男性有一些空间加工方面的优势；随着年级升高，空间能力在数学中越来越重要。需要强调的是，空间能力具有很强的可塑性，可以通过后天的学习提升。

张英：我们学校构建了“思维课堂”的课堂模式，在数学教学中运用结构化的教学培养孩子的深度思考能力。首先是建构清晰的知识框架，“你的头脑里点亮了什么知识灯？”就是形象的感受，通过提问促使孩子自主连接，自主学习。其次是建构一个以思想方法为维度的框架，经常使用思维导图，以培养学生的发散与聚合的思维能力。

陈飞燕：从脑科学的角度来讲，数学能力可以通过干预训练得到提升。针对性的训练会改善个体的数学能力，也会对大脑的功能、结构、网络产生影响，这是脑的可塑性问题。训练可能会优化认知策略，也可能会提升神经效能，促进了我们行为和数学能力的发展，脑和行为的变化是双向互动的过程。科学研究发现，手指的灵活性和算术能力关系密切，手指运动和心算存在部分重合的神经结构基础。强化对手指能力的训练，增强手指与计算操作之间的关联，在一定程度上能够通过迁移效应提高算术能力。可以有针对性地选择合适的工具和方式进行干预，加强手指运动跟算术能力的关系，从而提升整体的数学能力。

库逸轩：从研究的角度上讲，可以从课外或者其他角度上做一些提高，课堂上学到的是一些领域特异性的知识或能力。在认知研究领域里，还会存在一些领域一般性的能力，比如工作记忆的能力、认知控制的能力都能起到一定的作用。对领域一般性的能力，我们有很多训练方法，包括工作记忆的训练、珠心算的训练等，我们在某一领域中进行训练，可以迁移到另外一个领域中，比如工作记忆训练等。传统的七巧板、数独等训练对儿童的智力发展、数学的发展有重要的贡献。一些音乐乐器的训练，对大脑的可塑性也会产生影响，感觉运动皮层、视觉皮层的一些灰质都会产生增强的效果。

薛贵：希望我们的科学家能够走进课堂，跟教育一线人员有更多的结合，去解决真实的教学问题，促进整个国家数学的发展。通过这样的融合方式，让我们的教学更加科学，拔尖创新人才的选拔更加精准，学生学习更加高效，特别是能有一个愉快的情绪，不要产生数学焦虑，通过我们的努力，来回应国家对数学人才的重大需求。