太空水球透镜的成像原理

周 侃

（濮阳职业技术学院 实训中心，河南 濮阳 457000）

2021年12月9日，女宇航员王亚平在太空授课中展示了“球形水透镜成像”实验，先是做一个水膜，然后往水膜中注水使其逐渐变成一个水球，此时可以看到王亚平脸部倒立的像。男宇航员叶光富在向水球中注入一个气泡后，在微重力的环境中，气泡并不上升，当王亚平再次站在水球前，不仅能看到她脸部倒立的像，而且还可以看到其脸部正立缩小的像（见图1）。叶光富站在水球前，也可看到同样的结果。那么倒立缩小的像和正立缩小的像是如何形成的呢？腾讯网站物理频道给出定性解释：由于水球中的水的折射率小于空气中的折射率，因此水球可以看成一个凸透镜，能汇聚光线；往水球中注入空气后，空气球部分相当于一个凹透镜，宇航员站在远处，根据凸凹透镜的成像规律，可形成一倒一正两个像[1]。但这只是定性分析，不够严谨且说服力不强。本文就太空水球透镜的成像原理做一定量分析，以使读者对光学知识在太空授课中的应用有进一步的了解。

图1 注入一个气泡，水球形成一正一倒两个像

太空授课中的水球可以看成一个厚凸透镜，如图2所示，因注入气泡较小且在水球中央位置，所以可以先不考虑气泡的影响，计算水球的主点、焦距及节点，进而弄清其光学性质。设水球半径为R，物方焦距和像方焦距分别为f、f＇，将δ=2R，r1=R，r2=-R，n=1.33代入厚透镜物方焦距公式、像方焦距公式和主点位置公式[2]135（厚透镜在空气中，f=-f＇）得

图2 太空水球“等效”于凸透镜成像

（1）（2）（3）式化简得

水球处于空气中，由（4）式知，f＇＞0，所以水球是一汇聚透镜。（5）式表明主点H在顶点O的右边R处，（6）式表明主点H＇在顶点O＇的左边R处，即两主点重合且通过水球球心。

厚透镜的节点是角放大率等于+1的一对共轭点，设得物方节点K、像方节点K＇的位置坐标分别为x、x＇（x、x＇分别从物方焦点F、像方焦点F＇量起），由角放大率[3]50得

将（4）式代入以上两式得

（7）式表明，物方节点K在焦点F右侧2.02R处，像方节点在焦点F＇左侧2.02R处，即K、K＇重合在球心处，也就是说通过球心的光线方向不变，因此光心在水球球心处，这也表明水球可“等效”于一个光心（节点）位于水球球心处的凸透镜。由于水球的半径R较小，因此宇航员人脸的位置到光心的距离，大于2倍焦距，即物距s的绝对值│s│＞2f＇，将物距s代入成像公式=1得，0＜s＇＜2f；由横向放大率知，放大率的绝对值│β│＜1且为负值，人脸成一个倒立缩小的实像。

中央注入一个气泡后的水球可以看成左、右厚透镜I和Ⅱ的组合，即一理想光具组，如图3所示。

图3 气泡左右两侧等效于凹透镜成像

对于左侧的厚透镜I而言，设其物方焦距为f1、像方焦距为f1＇，气泡的半径为r，把δ=R-r，r1=R，r2=r，n=1.33分别代入厚透镜的物方、像方焦距公式和主点位置公式[3]50得

对于右侧的厚透镜Ⅱ来说，设其物方焦距为f2、像方焦距为主点H2到顶点O2的距离为p2，主点H2＇到顶点O2＇的距离为p2＇。将δ=R-r，r1=-r，r2=-R,n=1.33分别代入厚透镜的焦距公式和主点位置公式[2]得

即厚透镜Ⅱ也是发散的，根据符号法则知，主点H2、H2＇仍然重合在水球的球心处。

对于I、Ⅱ厚透镜组成的理想光具组来说，它们之间的相对位置用到H2之间的距离d表示到F2的距离称为两光具组之间的光学间隔，用△表示。因与H2重合，所以设物方焦距和像方焦距分别为f和主点H、H＇的位置分别用p、p＇表示。将d、△、f1、f2、f1＇、f2＇代入理想光具焦距及主点位置公式（）得

同理可得，该理想光具组的物方节点K、像方节点K＇的位置坐标为

计算结果表明，两个主平面重合在水球的球心处，物方节点和像方节点亦重合在球心处，两个厚透镜的组合从光学性质上讲仍为一发散透镜，即可“等效”于一光心（节点）在水球球心处的凹透镜，物方焦距与像方焦距的绝对值相等，与水球的半径R和气泡的半径r有关，正比于Rr，反比于（R-r），物距s和像距s＇满足成像公式。R、r的值较小，宇航员脸部的位置离球心（光心）的位置较远，大于2f的距离，即物距s的绝对值│s│＞2f，根据成像公式可知，-f＜s＇＜0；横向放大率且为正值，人脸成一缩小正立的虚像，于是大家看到水球中形成一正一反两个像。

以上是计算推导得出的结论，虽然严谨可信，但是推导超出了高中生和文科类大学生的知识范围，学生不易理解。作为物理教师有必要明白其中的原理，以加深对光学知识的理解。可以通过定性分析引导学生画出凸透镜和凹透镜成像的光路图，并向学生介绍等效的思想和作图的方法，这样不仅有助于学生领悟物理思想方法，提高其科学思维水平，而且有助于激发学生的好奇心，提高探究科学的兴趣[4]25。因为在失重的情况下，往水膜里注水可以得到一个水球。往水球里打入一个气泡，气泡并不上浮，所以看到宇航员脸部的两个像，这些物理现象只有在太空中飞行的航天站里才容易实现，与地球上的情况是不同的，这正是其奇妙之处。生动有趣的物理现象能够引起学生的好奇心和探究兴趣，而好奇心和探究兴趣非常重要，诺贝尔奖获得者李政道说“好奇心很重要，只有好奇心才能提出问题”。 著名物理学家爱因斯坦曾说“兴趣是最好的老师”，所以好奇心和探究兴趣能有力激发探索欲望，促使学生进行科学探究，有助于提高学生的科学探究能力，对于提高学生学习和应用科学知识的积极性可起到良好的促进作用，也有助于树立筑梦航天的志向。