基于单元教学视角的章节起始课——以“直线和圆的方程”为例

柴丽妮 陈家盼 胡 明

（安徽省合肥市第十中学，安徽 合肥 230011）

起始课是指每章开始的第一节课。在传统教学中，教师往往直接开始本章第一节新课内容的讲授。新课标强调教师在教学中要引导学生从整体上把握课程，从这个角度考虑，以“直线和圆的方程”这一单元为例，精心设计了一节章节起始课。

一、提出问题

单元教学是新一轮课程改革的特色，它要求教师在备课时整体把握教学内容，在教学时力争使课程内容结构化，以此体现出“数学的整体性、逻辑的连贯性、思想的一致性、方法的普适性、思维的系统性”，从而发展学生的数学核心素养。

解析几何的创立是数学发展史上的里程碑，它搭建起了几何与代数之间的桥梁。解析几何的主要内容是借助平面直角坐标系，建立起曲线和方程的对应，进而将研究几何图形的问题转化为对代数方程的研究。在高中阶段，学生将系统学习用坐标法研究直线、圆、椭圆、双曲线和抛物线五种曲线。每种曲线都按照相同的思路研究：确定几何要素—几何要素代数化—建立曲线方程—研究方程—解释方程的几何意义（如下图）。在实际教学中如何让学生整体把握解析几何的研究框架，而不是直接陷入繁杂的运算？笔者尝试以解析几何的起始课为抓手，充分利用教材上的章引言和阅读材料，构建解析几何的知识框架，帮助学生宏观理解单元结构。

二、教学设计

（一）1.创设情境，引入本章学习内容

（播放“福建舰”的下水视频）

引导语：2022 年 6 月 17 日，由我国完全自主设计建造的首艘弹射型航空母舰“福建舰”下水。“福建舰”的成功下水标志着我国已基本追平了美国的航母发展水平，标志着我国在实现中华民族伟大复兴的道路上又向前迈了一大步。近些年来，我国周边海上争端频发，发展并壮大海军队伍是实现中国梦的重要一部分。

问题1：我国一艘军舰从港口出发向北偏东45°方向直线行驶（记为直线l1）进行日常巡逻。若在港口正北方向40km处有一信号干扰器，且以该点为圆心，半径为30km 的圆形区域都会受到影响。若这艘军舰不改变航向，那么它是否会受到影响？若受影响，你能确定受影响的具体位置吗？若干扰器的影响区域是椭圆呢？

设计意图：中国梦引领强军梦，强军梦支持中国梦！“福建舰”的成功下水激动人心，以此作为引入，在拉开本章大幕的同时也激发了学生强烈的爱国主义情感和民族自豪感。现实情境中抽象出来的问题涉及到三个研究对象——直线、圆与椭圆。学生用初中学的方法可以解决直线与圆的问题，但受影响的具体位置难以描述；而且当影响区域变成椭圆，学生无法用初中知识解决。在此情况下提出坐标法，可以让学生感知学习解析几何的价值。

（二）数学阅读，构建解析几何知识结构图

请阅读教材第二章和第三章的章引言以及阅读与思考“笛卡儿与解析几何”，回答下列问题。

问题2：原来研究几何图形用的什么方法？这两章将用什么方法？这种方法主要是以什么为工具？

设计意图：问题2 难度不大，略读教材就可解答。本环节的设计一方面是为了让学生重视教材回归教材，另一方面是为了强调解析几何的核心方法——坐标法和核心工具——平面直角坐标系。

问题3：这两章统称为解析几何，它的内涵是什么？沟通了数学内部哪两大学科？体现了什么数学思想？

追问：曲线属于几何领域，方程属于代数领域，那“曲线的方程”的含义是什么？

教师以平面直角坐标系中到轴距离为2 的直线为例解释。

设计意图：问题3 难度有所升级，触及到了解析几何的基本内涵及其蕴含的思想方法，学生精读教材可以得到答案。章引言中出现了一个词“曲线的方程”，它是解析几何的一个核心概念，在后续的教学中反复出现，但细究起来并不容易理解，需要从完备性和纯粹性两个方面加以说明。对比旧教材，新教材降低了抽象难度，删掉了“曲线与方程”一节，转而在每次曲线的方程建立之后进行解释说明，通过边用边学来加深学生的理解。为了符合新教材的理念，本节课不打算给出曲线的方程的定义，只是借助具体的例子帮助学生直观感知并尝试理解这个概念，初次体会曲线与方程之间的充要关系，为后续的正式学习做好铺垫。

问题4：这两章将分别研究哪些曲线？小组合作画出这两章的知识结构图，每个小组请代表展示并解读各自的作品。

设计意图：将第二章“直线和圆的方程”以及第三章“圆锥曲线的方程”放在一起是因为它们都属解析几何，这五种曲线的研究方法是相同的，能很好地体现出“思想的一致性、方法的普适性”。同时也是为了与问题1 相呼应，让学生认识到坐标法不仅仅可以用来研究直线与圆这两种熟悉的图形，更能够在复杂图形的研究中发挥巨大作用，凸显了坐标法的魅力与威力；但是从后续的教学中可以看出，本节课的重点依然在第二章。画知识结构图图对学生要求较高，要充分调动起眼耳手口脑，小组一齐出力协同合作完成。学生动手画知识结构图可以进一步梳理解析几何的基本内涵，使研究思路可视化，强化直线、圆、椭圆、双曲线和抛物线在研究过程和思想方法上的同构性。

（三）结合实例，体验解析几何学习的基本方法

引导语：按照知识结构图，五种曲线的研究思路基本相同，下面就借助直线来完整系统地体验解析几何学习的基本方法。

1.探索确定直线位置的几何要素

问题5：确定一条直线的几何要素是什么。

追问1：在平面直角坐标系中，点可以如何转化？

追问2：在问题1 中建立适当的平面直角坐标系（为了运算的简便，取10km为单位长度），并判断军舰行驶所形成的直线是否确定？

追问3：确定一条直线的几何要素除了两个点还可以是什么？

设计意图：学生在初中学习过“两点确定一条直线”，因此他们很直接地认为确定一条直线的几何要素是两个点。在平面直角坐标系中需要知道这两个点的坐标。问题1 中的直线明显是确定的，但是没有直接给出直线上的两个点，以此引导学生说出“一点和一个方向也可以确定一条直线”，而且这两种几何要素可以相互转化，为正式教学中斜率与两点坐标的关系、点斜式与两点式的关系做好铺垫。

2.建立直线的方程

问题6：给定直线上两点的坐标或者一个点的坐标与一个确定的方向，你能表示出直线上任意一点P（x，y）的坐标吗？以直线l1为例（为研究问题的统一，以干扰器为圆心，正北方向为y 轴建立平面直角坐标系）。

提示：可以参照“空间向量与立体几何”的相关内容。

设计意图：在“空间向量与立体几何”中，学生学习过如果知道了直线上两点的坐标或者直线的方向向量，可以引入参数λ 再借助共线定理表示出直线上任意一点的坐标。以直线l1为例，若学生根据情境判断出直线 l1过 A（0，-4），B（4，0），则，故 P（4λ，4λ-4）；若学生根据“北偏东45°方向”写出直线的方向向量

追问：你能用一个等式表示直线l1上任意一点 P（x，y）的横坐标 x 与纵坐标 y之间的关系吗？

3.应用直线的方程

问题7：若在上述平面直角坐标系中另有一条直线l2的方程为试判断与这两条直线的关系。

设计意图：写出曲线的方程是为了使用它解决问题，所以此处设计了一个不便利用综合法解决的问题。通过这个问题学生在系统把握坐标法流程的同时也为以后学习两条直线的交点坐标打下了基础。

（四）课堂小结，总结回顾并引出下一节内容

问题8：通过本节课，你学到了什么？

在学生发言之后老师补充并指出：计算机的普及使得坐标法具有了更大的威力，在这个过程中我国数学家也做出了举世瞩目的成绩，请大家课后阅读“坐标法与数学机械化”，了解吴文俊等数学家做出的卓越贡献。

思考：既然借助了坐标系，那么能否给出一个新的定义，使得直线的方向的描述脱离东西南北呢？从下一节开始我们将按照知识结构图详细地研究直线及其方程。

设计意图：课堂的最后让学生畅所欲言，在学生发言的基础上，归纳解析几何的研究内容和核心方法。课后阅读可以激发学生的民族自豪感。最后的思考是为了后面的正式学习做铺垫，同时引导学生感悟坐标系在解析几何中的作用。

三、课后反思

（一）章起始课要创设恰当的情境

数学核心素养的发展与情境有密不可分的关系，创设恰当的问题情境一方面可以激发学生的兴趣，另一方面也可以为后续学习埋下伏笔。本课例选择了从最近热门的航空母舰下水入手，问题情境指出强军梦的实现离不开数学的发展，说明数学来源于生活又高于生活；提出的问题可以用纯几何方法解决，但稍微改变一下条件就暴露了综合法的不足，让学生意识到解析几何学习的价值。

（二）章起始课要回归教材本身，重视数学阅读

教材是教学之本，教师在备课之时要紧抓教材，学生在学习过程中也不能脱离教材。然而在实际教学中重教辅的现象比比皆是，这样轻视教材其实就丢掉了理解数学内容的大好机会。章引言里往往概述了整章的知识内容、研究方法、历史地位和应用价值，用好章引言能起到领航全章的重要作用；“阅读与思考”介绍了与本章相关的拓展内容，用好它们既增加了课堂的趣味性，也培养了学生有效提取信息的能力。在数学阅读过程中，教师要注意做好指导，不能将阅读变成单纯的故事赏析。教师可以尝试借助问题引导学生将略读、精读、串读相结合，以此促进概念的建构、理解和内化。

（三）章起始课要注意与前后内容的联系

任何新知识的建构都建立在对旧知识掌握和理解的基础之上，所以在教授新知识的同时要注意与原有的知识产生联系。章起始课作为新一章的第一节课，不能完全另起炉灶，要注意与前后内容的联系。例如本节课直线的方程的建立过程中应用了上一章“空间向量与立体几何”中的共线定理，使学生接受起来不突兀。

（四）章起始课要引导学生整体把握全章内容

开设章起始课的目的在于让学生了解全章的内容背景、研究方法、知识结构、现实意义等，同时为后续的学习做好充足的铺垫和心理准备。在本节课之前学生没有系统地接触过解析几何，整体把握解析几何的研究对象、基本内涵和方法是本节课的教学目标。为了达成这个目标，本节课首先让学生在阅读的基础上小组合作画出知识结构图，然后再带领学生结合具体实例来完整系统地体验一遍解析几何的研究方法，帮助学生整体把握知识之间的逻辑联系和走向，理解知识的来龙去脉。

四、结语

上好章起始课对于学生整体把握全章内容有着重大意义，尤其是在目前单元教学的大背景之下。如何设计才能让学生更好地体会到数学的整体性？如何设计出一节既有趣味性又不失数学性的章节起始课？章节起始课和后面的正式教学如何平衡和兼顾？上好一节课并非易事，这些问题值得我们一线老师思考。