细菌模型的连续时空有限元方法

霍瑞娜,郭昱杉,冉营丽,关宏波

(1.郑州航空工业管理学院数学学院,河南 郑州 450015;2.郑州轻工业大学数学与信息科学学院,河南 郑州 450002;3.郑州工业应用技术学院基础教学部,河南 郑州 450064)

1.引言

本文考虑如下细菌模型[1]:

其中Ω ⊂R3为有界凸区域,∂Ω为Ω的边界,T是总时间,a11,a12,a22均为正数,u表示细菌的空间密度,w代表被传染的人口密度,d1和d2均为正的扩散系数,a11u代表细菌的自然死亡率;a12w为传染病人群对细菌增长的贡献;a22w代表传染人口潜伏期产生的阻尼项;g(u)为在传染病盛行期间,当易受感染人口数量保持不变情况下的传染率,并且满足Lipschitz条件;u0=u0(x)和w0=w0(x)是t=0时刻的初值.

许多细菌在空气中的传播问题都可以归结为上述细菌模型.细菌是目前生物中较为丰富的一类,会很大程度的影响到人们的身体健康,甚至威胁到生命安全.如果了解其传播规律,则可以采取相应有效措施,为保护人民健康提供有力保障.文[2]用Galerkin方法证明了该细菌模型初边值问题整体解的存在性和唯一性.文[3]利用Leray-Schauder不动点定理证明了细菌模型在一维情形下周期解的存在唯一性.文[4]讨论了一种具有非局部传播特征的流行病模型,研究了初始数据和非局部分散对其空间传播的影响.然而此类模型问题的精确解经常无法解析表达,这直接影响到其应用范围,因此其数值计算方面研究备受关注.文[5]通过Green函数法讨论了细菌模型周期平面波解的稳点性.文[6]对带有迁移的疟疾病与疟蚊数学模型提出了两种交替方向有限元格式,并得到L2和H1模意义下的最优差估计结果.文[7]针对吸血虫数学模型提出一种非协调有限元格式,借助该非协调元插值算子的良好性质,在L2模及H1模意义下分别得到了最优误差估计结果和超收敛结果.文[8]利用单元的一些特性和非协调误差估计技巧,使细菌模型分别在半离散和全离散的有限元格式下,得到最优误差估计以及超逼近结果.最近,文[9]还研究了该细菌模型的二重网格方法,建立向后Euler和Crank-Nicolson全离散格式,得到了相应的整体超收敛结果.

连续时空有限元方法与上述文献中提到的全离散有限元格式有所不同,它是对时间变量和空间变量进行统一处理的一种有限元方法,如果想得到任意阶的收敛速度,其理论分析和数值计算格式相对统一,该方法已经成功应用于热传导方程[10]、Sobolev方程[11]、抛物方程[12]、反应扩散方程[13]、对流扩散方程[14]等.然而,目前我们尚未见到关于细菌模型的连续时空有限元方法的相关报道.

本文使用连续时空有限元法,对细菌模型进行数值逼近,最后得到了相应最优阶的误差估计结果.写作安排如下: 第2节引入时空投影算子,并阐述连续时空有限元方法的一些引理和性质;第3节进行有限元误差分析,得到在时间节点tn处的最优误差估计结果;第4节对结论进行了总结和展望.

2.连续时空有限元方法

首先回顾专著[15]中关于Sobolev空间及范数的一些定义.Sobolev空间Hs(Ω)(s≥0)上的范数用‖· ‖s表示.特别地,当s=0时,该空间退化为L2(Ω),相应的内积和范数分别是(·,·)和‖·‖0,其中L2内积另外时空Sobolev空间及范数分别描述为

问题(2.1)所对应的连续时空有限元格式为: 求(uhk,whk)∈Uhk×Uhk,使得

其中C是与网格剖分尺寸h及时间离散步长k无关的正常数,不同的地方取值可能不同.

由于uhk和whk是经过时间层的连续推移得到的,所以,对于n=1,2,3,···,N,(uhk,whk)∈Uhk×Uhk满足

其中,Pl(Jn)表示定义在Jn上次数为l的多项式空间,而uhk(x,tn)(n=1,···,N)和whk(x,tn)(n=1,···,N)可以通过前面的时间层求出.

或者可以等价的写为:

注1(2.7)-(2.8)可以看做为用Petrov-Galerkin方法来求解Sobolev方程,因为虽然试验函数(uhk,whk)关于时间和空间是连续的,但是检验函数hk关于空间是连续的而关于时间是间断的.

此外,定义关于时间方向的投影算子Pt:H1(0,T)→Skl([0,T]),易知Ptu(tn)=u(tn)(n=0,1,···,N).对任意的u ∈H1(0,T),成立

同时,对任意的u ∈Hs(0,T),有

另外,文[10]还证明了关于时空投影算子的如下逼近性质:

下面定理1给出离散格式(2.2)数值解的存在唯一性和稳定性结果.

定理1如果g ∈L2(0,tn;L2(Ω)),则问题(2.2)存在唯一解(uhk,whk)∈Uhk×Uhk,并有下面的稳定性结果

定理中(2.13)式得证.

将上式(2.23)两边从1到n求和,并由whk(0)=0得

定理中(2.14)式得证.

3.误差估计

本节进行连续时空有限元的详细误差分析,得到本文主要结论如下:

证由(2.1)a),(2.2)a)及(2.5),得误差方程:

根据Pt和Px的定义,得

再由(2.1)b),(2.2)b)及(2.6),可得

根据投影算子的定义,有

在(3.4)中取vhk=PtPxu −uhk,得

在(3.7)中取vhk=PtPxw −whk,并注意到g(u)满足Lipschitz条件,有

将(3.9)与(3.11)相加,得

上式(3.12)由Gronwall不等式,有

由三角不等式及投影算子的性质,可得

结论(3.1)得证.至此定理证毕.

4.小结

本文主要研究了细菌模型在正则网格下的任意次协调有限元逼近,并得到了相应的最优阶误差估计结果,其结论也可以做进一步推广应用.事实上,对文[17-18]中关于非线性项的误差估计技巧稍作改进,便可进行半线性和非线性细菌模型的有限元分析,同样能够得到最优阶的误差估计结果.