以理驱法，体会运算一致性

侯燕妍

【摘   要】小数除法是小学阶段除法教学的一个重要部分。教师通过梳理教材寻找支点、分析学情找准切入点。在梳理教材、分析学情的基础上，围绕“口算引入，感受认知冲突；多元表征，體会算理理解；迁移推理，感受运算本质；对比梳理，凸显算理一致”展开教学实践，促进学生感悟数学本质，体会运算的一致性。

【关键词】小数除法；算理教学；运算一致性

小学阶段关于“除法运算”的学习，是从整数除法到小数除法，再到分数除法。如此分学段、独立成单元的螺旋式教材编排方式，容易在学生心中种下这样的种子：除法有三种类型，分别是整数除法、小数除法以及分数除法，它们各有各的算理和算法。然而，《义务教育数学课程标准（2022年版）》十分强调运算教学的整体性与一致性，指出“数的运算重点在于理解算理、掌握算法，数与运算之间有密切的关联”“感悟数的运算以及运算之间的关系，体会数的运算本质上的一致性，形成运算能力和推理意识”。因为，教学小数除法时，教师应做到联系整数除法，并为分数除法打下基础，让学生体会运算的一致性。

一、梳理教材寻找支点

“小数除法”单元教材原有编排分类细致，例题繁多。以人教版教材为例，主要内容有：除数是整数的小数除法、一个数除以小数、商的近似数、循环小数、用计算器探索规律、解决问题。其中除数是整数的小数除法、一个数除以小数就安排了五个例题。这样安排难免会让学生感到“小数除法”的类型很多，难度很大。教师通过对教材进行梳理后发现，小数除法计算方法的学习可分两个步骤完成：“除数是整数的小数除法”和“除数是小数的小数除法”。前者是后者的基础，利用商不变的性质，后者可以看作是前者的变式。同时，前者的算理和整数除法是一致的，就是将计数单位不断细分。

因此，厘清小数除法的算理，是贯通整数除法和小数除法的支点，也是本单元教学的关键。统观整个“小数除法”单元，可将这个单元进行整合（如图1）。

其中“小数除法算理教学”和“商在生活中的取舍（解决问题）”为本单元两个关键课时。可将小数除法的算理放在除法算理的大概念中进行架构，用算理贯穿算法。通过这样整合设计，可以使教材中教学内容的知识结构更简洁，思路更清晰，脉络更整体，更能使学生感悟小数除法与整数除法的一致性。

二、分析学情找准切入点

（一）去繁存简，算式导入

人教版教材以“跑步的情境”引入，用千米和米之间的单位换算作为素材，让学生理解商的含义，但并未结合情境渗透竖式的算理，导致千米和米之间的进率无法为理解算理提供支撑。那么，怎样的导入更为合理呢？基于这样的思考，笔者设计了两份不同的前测问卷，前测1结合学生熟悉的买东西情境（如图2）；前测2直接利用小数除以整数的算式。

小明用22.4元买了4支笔，每支笔要多少钱？

算式：

算出右边算式的商：22.4÷4=（     ）

对两个水平相当的班级进行了前测。两份前测的正确率分别为 100%和 95.6%，差异不大，这说明绝大多数学生已能正确计算22.4÷4。参考在前测1中学生写出的思考或理由，发现借助“元、角、分的单位转化”的学生仅占了8.9%。由此可见，多数学生已经能将现实问题抽象到数学层面进行思考，他们已经具备脱离具体情境进行运算、理解算理的能力。

因此教学时，教师不需要再创设生硬的情境引出算式，可直接从整数除法算式引入，让学生从数的意义、计数单位、数的运算等角度探索、理解算理。

（二）透析起点，构想策略

为全面了解学生的学习基础，明确他们目前对算理的理解程度，以及可能存在的困难，笔者用算式“16÷5”另做前测3，前测对象另选一个水平相当的班级。书面测试后，笔者对部分学生进行访谈。测试和访谈结束后，笔者对测试中能得到正确答案的情况进行水平分级，具体情况如表1所示。

前测3的正确率为77.8%。通过分析，用口算、想乘做除这两种计算方法并不能帮助学生理解算理，因此教学时，要摒弃算法多样化，直接引导学生用竖式计算16÷5，让他们在竖式中理解算理。另外，在对学生的访谈中发现，多数学生对算理理解存在一定的困难，因此在教学中不能像前测一样，直接让学生独立表示整个思考过程，应注意给学生以一定的帮助，使他们能“跳一跳摘到桃子”。

三、教学实践过程

（一）口算引入，感受认知冲突

前测3中有 22.2%的学生不能算出 16÷5 的商（小数），这些学生受二年级时学习整数除法的影响，将商用带有余数的形式表示。基于此，笔者在教学时从口答的整数除法入手，让学生直面数学思考的对象，初步感受整数除法的商除了整数，也可以是小数。

【教学片段1】

口算16÷5，9÷4。

生：3……1 和 2……1。

质疑1：有余数除法已经学习过了，今天还是探究到这里吗？

质疑2：还有同学算出这个算式的得数是小数，到底对不对呢？

（设计意图：由整数除法引入，通过对余下的“1”的质疑，启发学生思考是否可以将余下的1继续细分，让学生主动联系原有知识，建立新的认知结构，彰显了学习小数除法的必要性。）

（二）多元表征，体会算理理解

学生主要的困惑点是不知道余数 1 怎么处理，在计算1÷5 的时候不知道得到的商是0.2，还是0.02。通过多元表征，学生理解其中算理，突破困惑点。

【教学片段2】

学生用竖式计算出商后，教师质疑。

师：竖式中，之前的余数都是1，怎么都变成了10？这个10表示什么意思，商的 2，又是什么意思？能把你的想法表示出来吗？

让学生展示作品并介绍想法（如图4）。

对学生画圆表示的作品，教师质疑：他画的圆为什么大小不同？

……

师：原来和其他的同学一样，他们都是把1看成了（10個0.1），那2呢？

生：10个0.1除以2，结果是2个0.1。所以，3后面点上小数点，2写在十分位上，表示的是2个 0.1。

（设计意图：教学时借助竖式，聚焦需探究的核心问题：1变成了10，10是什么意思，商中的2又是什么意思？引导学生调用已有知识与解决问题的经验，将小数除法转化为已学的知识进行解答。学生用自己喜欢的表达方式表示对算理的理解，进行多元表征，直观地理解小数除法是将一个计数单位转化成较小的计数单位计算，是不断细分的过程。）

（三）迁移推理，感受运算本质

在小数除法算理教学中，教师不能只关注到把几个一转化成几十个十分之一，要进一步贯通所有的小数除法算理。

【教学片段3】

（1）通过迁移，理解9÷4=2.25竖式的算理。

师：这里的10和20又表示什么？

……

师：原来0.1这个计数单位不够分了，变成一个新的计数单位继续分。

（2）通过推理，感受运算的一致性。

师：如果还余几个0.01，怎么办？

生：添0，变成几十个0.001。

师：还有余呢？……你有什么感受？

生：越除越小了。

生：计数单位越来越小了。

生：一个计数单位不够分了，就变成几十个更小的计数单位继续分。

生：小数除法和整数除法是一样的，就是不断的在分，原来是几个十变成几十个一，先在是几个一变成几十个0.1，一次一次不断分。

（设计意图：笔者基于直观形象的小数除法竖式，结合数学推理，使学生体会到小数除法的算理就是就计数单位不断细分。学生在小数的意义学习时已经积累了细分计数单位的经验，小数除法的计算过程真正体现了“数的意义”与“数的运算”之间的关联，即“数的意义”是“数的运算”的基础，“数的运算”是对“数的意义”的再应用。学生体会数的表示与运算方法的一致性，再联系整数除法，体会到除法的算理都是一致的，即不断细分计数单位。）

（四）对比梳理，凸显算理一致

除数是小数的除法，其算理就是利用商不变的性质将其转化成除数是整数的除法，因此教学的关键是让学生理解转化的原理。如果学生理解了算理，那么计算小数除法时，小数点位置的确定，就不再是难题了。

【教学片段4】

（1）一次对比，理解商不变的性质在竖式中的应用，感悟小数除法算理。

师：1.6÷0.5和16÷5的商怎么是一样的？

……

生：根据商不变的性质，被除数和除数同时乘10，商不变。

师生小结：除数是小数的除法，只要把它转化成整数除法就可以了。

（2）二次对比，体会商不变性质的应用方法，理解除法算理的一致性。

教师展示学生的各种作品，组织学生进行辨析（如图5）。

师：怎么想到把9÷0.4，看成90÷4去算呢？

生：9÷0.4没有学过，利用商不变的性质，把除数0.4转化成4，就可以做了。

（3）总结概况，归纳小数除法与整数除法的一致性。

师：你对小数除法有什么感受？

生：小数除法其实和整数除法一样，如果遇到除数是小数，只要转化成除数是整数，就变成整数除法了。

（设计意图：教师组织学生在不断对比、辨析、归纳中，沟通知识间的联系，初步感知整数除法、小数除法的意义、算法、算理的一致性。教师利用学生的学习资源，捕捉学生的错误资源，对出现的典型错例进行集中分析，让学生在辨析中，明算理，清算法。在学生理解算理后，教师梳理、提炼小数除法的计算方法，看似归纳计算方法，实则是帮助学生沟通整数除法和小数除法，聚焦转化，让学生体会除法运算的一致性。）

以上整个内容用算理贯穿始终，力求在渗透运算一致性的基础上，让学生理解并掌握小数除法的算理，后续在加强小数除法计算练习的基础上，进行生活中的应用。笔者通过整合小数除法单元，进行系统化建构，使学生形成完整的知识体系。整合的过程有利于学生在变中找不变，感悟数学的本质，从而体会运算的一致性。