“无中生有”的想象

郜舒竹　冯林

【摘   要】“无中生有”的想象是将现实中或视域内不存在或未发生的想象为存在或发生，是普遍存在的思维形式，是人类与生俱有的智能。正是这样的智能使得人类能够创造知识，形成并传承文化。这样的思维形式在诸如几何直观、概念理解、问题解决过程中普遍适用、有效。学科教学的一个重要目标是培养学生的想象力，这就需要让学生有更多机会经历想象的过程。对教师来说，需要破除套路思维，努力读懂学生想象出来的异样生成，采取“疑错从对”的态度宽容地接纳，而不是依据教科书的套路予以否定和排斥。

【关键词】想象；无中生有；图形概念；疑错从对

所谓“无中生有”的想象，是指把不存在的对象想象为存在，把未发生的动作或事件想象为发生，是人思维中“意象制作（Image Making）”的过程和能力［1］，是人类生命最典型的品质之一［2］，体现在人类活动的方方面面。它应成为学生在数学学习过程中经历的活动，也是需要培养的能力。

一、思维中的“无中生有”

“无中生有”的想象常常表现在文学作品的语言中。比如统编小学语文教科书二年级上册《秋天的雨》一文中的第一自然段：“秋天的雨，是一把钥匙。它带着清凉和温柔，轻轻地，轻轻地，趁你没留意，把秋天的大门打开了。”句中的“钥匙”和“大门”都不是现实存在的，“带着”和“打开”这样的动作也没有真实发生，所描述的并非是现实中真实的场景，而是作者思维中的“意象制作”，是对现实事物和动作的虚拟，是作者的心眼所见，是一种借彼说此的隐喻。

这样的语言现象在我国古代诗词中也很常见，比如李白《望庐山瀑布》中的第一句“日照香炉生紫烟”，其中“香炉”并非是现实中真实存在的对象，“生紫煙”也不是真实发生的动作，而是运用隐喻思维将形似香炉的山峰漂浮的云雾与香炉生紫烟建立起对应关系，使得作为符号的文字表现出生动的画面感，使读者自然地将文字转换为思维中的意境。语言的魅力不仅表现为对肉眼可见现实的真实表述，同时也表现为对心眼所见意境的描绘，这种心眼所见的意境实际就是“无中生有”想象的结果。

这些语言现象反映出语言是思维的窗口。想象作为人区别于其他动物所特有的思维能力，自然会出现并应用于各种认知活动中。以数学课程中的几何直观为例，如果把几何直观视为是人观察几何图形的认知活动，那么想象必然会伴随着观察的过程而发生。这样的想象可以拓展人视觉的局限，把有限的视域拓展为无限的心眼所见。

罗马尼亚数学教育家、国际数学教育心理学会（PME）创始人菲茨拜因（Efraim Fischbein，1920—1998）认为，针对几何图形进行推理的过程中，思维中会出现一种“图形概念（Figural Concept）”，这种图形概念是“非感知（Non-Sensory）”的对象，是思维中建构出来，存在于思维中的实体（Mental Entity），同时具有图形的形象和概念的抽象双重属性［3］。举例来说，图1是一个半径r=3cm的圆，其中一个长方形AMBO及其对角线AB都是视觉范围内可以感知到的对象。如果想知道这个长方形对角线AB的长度，需要什么样的思维活动？

菲茨拜因认为面对这样的问题，仅有肉眼的所见和经验的所知仍然不够，还需要第三类思维对象。因为任何长方形都有两条长度相等的对角线，长方形AMBO中还有一条视觉中不存在的对角线，将其想象为存在（如图2中的虚线OM），立刻发现这条想象出来的线段不仅是长方形的对角线，同时也是圆的一条半径，因此立刻知道对角线AB的长度等于圆的半径3cm。

像这样“无中生有”地想象出来的另外一条对角线就是菲茨拜因所说的“图形概念”，是感知到的对象与已知的概念共同启发下的“意象制作”。“无中生有”的想象并非是胡思乱想，作为一种思维形式，它是以感知和经验为基础，是感知到的信息与已有经验相互渗透、共同作用，从中提取出最核心、最本质的内容，因此菲茨拜因用“蒸馏（Distilled Figure）”隐喻这种想象的过程。

可以说“无中生有”的想象发生于人类各种活动中，使得视域或现实中的“无”成为思维中的“有”，在对数学对象的认知过程中，可以将隐性的关系显性化。

二、隐性的“关系”显性化

“关系”往往是隐性的，是视域之外的存在，对关系的感知仅依赖肉眼所见是不够的。比如，将一个正方形（实线）四条边的中点连接在一起，形成一个小正方形（虚线）（如图3），怎样能够直观看出两个正方形面积之间的关系？

视觉中的对象包含两个正方形和四个三角形，但三角形的面积与正方形的面积之间的关系并不明显，因此仅依赖视觉所见很难看出两个正方形面积之间的关系。运用“无中生有”的想象，将视觉中不存在的对边中点的连线想象为存在（如图4）。

这时三角形与正方形之间的关系就显现出来了，在图4中大正方形包含8个三角形，小正方形包含4个小三角形，明显看出两个正方形面积是2倍的关系。

“无中生有”的想象不仅是把不存在的对象想象为存在，还包括把未发生的动作或事件想象为发生。比如图5中的正方形，将其中两条边三等分，在左上角连接出一个小等边直角三角形（阴影）。如果直接看，很难发现这个小三角形面积与大正方形面积的关系。

如果“无中生有”地将大正方形另外两条边也三等分，并且把对边不存在的连线想象为存在，立刻可以看出大正方形面积是小三角形面积的18倍（如图6）。

其中“将另外两条边三等分”是原图中未发生的动作，是观察者“无中生有”地想象出来的。综上可知，“无中生有”的想象在几何直观过程中，能够将隐性的关系显性化，对于几何中的问题解决具有不可或缺的作用。下面以圆面积测量为例，进一步说明这一观点。

圆面积的测量伴随着对无理数圆周率的认识，可以说历史悠久。当人们已经熟悉了诸如长方形、平行四边形、三角形、梯形等直边图形面积求法时，对于一个半径为r的圆，自然的想法是将其变形为直边图形。综观古今中外圆面积测量的各种方法，基本都是以寻求圆与直边图形面积等价关系为探索方向。

比如，对于一个半径为r的圆（如图7），与其形状最为接近，同时也是最熟悉的直边图形应当是正方形，因此自然的想法是利用正方形求出圆面积。这时就需要“无中生有”的想象。

想象一个不存在的正方形出现，将这个圆包围起来（如图8），可以直观看出正方形的边长等于圆的直径2r，因此正方形面积为（2r）2=4r2。因此得到结论：半径为r的圆面积小于半径平方的4倍（4r2）。

进一步想象出一个面积小于圆面积的正方形（如图9），从前文已经知道这个小正方形面积是大正方形面积的二分之一，因此小正方形面积为“2r2”。由此得到一个新的结论：半径为r的圆面积介于2r2和4r2之间。

因此可以形成判断，半径为r的圆面积近似于“3[r2]”，这就意味着圆周率粗略的近似值是3（[π]≈3）。从认知的视角看圆面积测量，最为直接的方法不是目前教科书中呈现的“分割”为小扇形并“拼接”为长方形，而是运用“无中生有”的想象，根据形状和性质最为接近，同时也是最为熟悉的正方形面积，对圆面积进行估计，这样的过程更符合圆面积测量的历史发生过程［4］。

运用“无中生有”的想象使得隐性关系显性化在几何直观中具有普遍的应用性。比如，在五年级“多边形的面积”中，对于任意一个三角形或梯形，如果能够想象静止的图形发生了运动，围绕一条边的中点进行旋转，那么这个三角形或梯形与平行四边形之间的关系就得以显现，使得三角形和梯形面积公式一目了然（如图10）。

“无中生有”的想象，不仅在几何直观中普遍存在、应用有效，同时也会出现在数的认识、数的运算以及解决问题等课程内容中，具有“化难为易”的作用。

三、化難为易

问题的解决常常伴随着问题的转化过程，即将一个问题转化为另外一个等价的、更为容易解决的问题。比如，对于常见的计算问题“92-37”，如果直接用竖式计算就会涉及退位，相对烦琐。如果想象将被减数92和减数37同时“加3”，那么算式变为“95-40”，这样就避免了退位，简化了计算。过程中的“加3”实质是利用“无中生有”的想象，将算式“92-37”改变为另外一个等价的算式“95-40”，相比较而言新算式的计算更加简便容易。

像这样利用“无中生有”的想象简化计算的思维形式，在日常生活的购物过程中经常出现。比如，购物问题：“一瓶2.8元，买5瓶需要多少元？”按照常规算法，需要计算“[2.8×5]”，如果把真实发生的“买5瓶”想象为“买10瓶”，从“10瓶28元”中立刻得出“5瓶14元”的结论。

下面再来看看“无中生有”的想象在解题过程中的作用。比如，对于图11的注水问题：有两个临近的自来水管出现滴水现象，甲管3分钟滴满一盆水，乙管6分钟滴满同样一盆水。两根水管同时向同一个水盆滴水，多少分钟滴满一盆水？

这样的问题在小学数学课程内容中“套路”的解法是利用解决工程问题的方法，假设一盆水的容量为“1”，那么两根水管滴水速度分别为“[1/3]”和“[1/6]”，这时利用总量除以速度和得到答案：[1÷（1/3+1/6）=2]（分钟）。

事实上，此题的解决并不需要分数及其运算，可以运用“无中生有”的想象直接推理出结果。因为一根甲管3分钟滴满一盆水，运用“无中生有”的想象，可得一根甲管6分钟就会滴满同样的2盆水，结合乙管6分钟滴满1盆水（如图12），两根水管6分钟就会滴满3盆水，所以甲管、乙管两根水管滴满一盆水就需要[6÷3=]2（分钟）。

问题解决过程中，思维中出现了“甲管6分钟滴满2盆水”的情境，这一情境并非题目中的已知信息，是解题者依据“甲管3分钟滴满一盆水”“无中生有”想象出来的，想象的目的是与乙管6分钟滴满一盆水在时间上保持一致，从而使问题得以顺利解决。

以上实例表明，“无中生有”的想象作为一种思维形式，在数学课程内容中的概念理解、规律探索以及问题解决等诸多方面具有普遍的适用性和有效性，在教科书编修以及教学中需要认识到这种想象对于学生思维发展的重要性，让学生有更多的机会经历这种想象的活动。

四、摆脱套路，疑错从对

这里所说的“套路（Routine）”指的是某种常规或惯例，是思维或行为相对稳定、重复发生的运行模式。诸如生活中的“一日三餐”、城市交通中的“红灯停、绿灯行”等。人类生活、工作需要套路，相对稳定的生活起居有利于身体健康，相对稳定的工作流程保证工作的有序、规范。同时也应注意到，“套路”思维一旦形成，也会抑制人的想象，形成“只能这样、不能那样”的“定势（Einstellung Effect）”思维，对“还能怎样”的其他可能性形成排斥心理［5］。

想象作为个体的思维形式，具有原创性，其过程与结果受到个体经验、环境与文化的影响，具有因人而异的差异性，往往表现为对套路的超越。当学生有了不同于套路的异样生成时，教师往往会出现排斥心理，视之为错误。比如，图13中呈现的是北京市某区的六年级质量监测试题。

此类问题的“套路”解法是把家到超市的距离视为“1”，再利用算式“[（1/12-1/15）÷1/15=1/4]”得到答案25%。学生的解法违背了这样的套路，因此被视为错误。

事实上，运用“无中生有”的想象，是可以解释学生解法的合理性。想象爸爸和小明都走了15分钟，小明恰好到达超市，爸爸多走出了3分钟距离，这是题目信息中未发生的，“无中生有”地想象其发生并存在。那么这时就出现了“在同样的15分钟内，爸爸比小明多走了15-12=3分钟的距离”，依据相同时间内距离之比等于速度之比，自然得到爸爸比小明速度快“（15-12）[÷12=25%]”的算法。这时算式中15和12的意义已经发生了改变，不再表示时间，而是表示爸爸15分钟和12分钟行走的距离。从图14中可以明显看出爸爸多走出的3分钟距离是小明所走距离的[1/4]（即25%）。

這一过程也可以用比例关系解释，爸爸和小明行走相同距离的时间比是“12∶15”，那么相同时间的距离比是“15∶12”，速度比与相同时间的距离比应当相等，因此爸爸与小明的速度比也是“15∶12”，由此得到图13中学生的算法。

当然在没有调查的情况下，并不能确认学生一定是这样想的，学生完全有可能是依据某种不正确的想法得到正确答案的，比如就是依据题目中已知的“15”和“12”，直接利用“（大数-小数）[÷小数]”进行计算。这种情况下应当如何评判学生的答案？法律审判中有“疑罪从无”的原则，也就是在没有确凿证据证明有罪的情况下，应当视为无罪。同样面对学生不同于套路的解法，在没有证据证明是错误的情况下，应当遵循“疑错从对”的原则进行评判，而不是以教科书或教师的套路为标准，予以否定和排斥。

“无中生有”的想象是将现实中或视域内不存在或未发生的想象为存在或发生，是普遍存在的思维形式，是人类与生俱有的智能。正是这样的智能使得人类能够创造知识，形成并传承文化。这样的智能在诸如几何直观、概念理解、问题解决过程中普遍适用、有效。学科教学的一个重要目标是培养学生的想象力，这就需要让学生有更多机会经历想象的过程。对教师来说，需要破除“套路”思维，采取“疑错从对”的态度宽容地接纳，并努力读懂学生想象出来的异样生成。

参考文献：

［1］ALEXANDER H B. Living Mind：An Inquiry into the Psychological and Logical Foundation of Human Understanding［J］. The Pluralist，2008，3（1）：11-88.

［2］VARELA F J， THOMPSON E， ROSCH E. The Embodied Mind：Cognitive Science and Human Experience［M］. Cambridge（MA）：MIT Press，1991：195.

［3］FISCHBEIN E. The Theory of Figural Concepts［J］. Educational Studies in Mathematics，1993，24（2）：139-162.

［4］SMEUR A J E M. On the Value Equivalent to π in Ancient Mathematical Texts. A New Interpretation［J］. Archive for History of Exact Sciences， 1970，6（4）：249-270.

［5］ALLINGER G D. Mind Sets in Elementary School Mathematics［J］. The Arithmetic Teacher，1982，30（3）：50-53.