大学数学课程的线上线下混合式教学研究

刘春林，李宝娣

（1.国防科技大学，湖南长沙 410073；2.陆军特种作战学院，广东 广州 510502）

随着爱课程、学堂在线等在线开放课程平台的建立，国内不少高校教师建设了在线开放课程，其中一些高质量的课程得到了社会的好评和认可，被认定为国家级“金课”。这些优质网络课程凝练了一线骨干教师多年的经验体会与总结，呈现了丰富的课程内容、灵活的教学方法、精彩的教学艺术。随着线上课程的一时火红，曾有人讨论过“用线上课程代替课堂教学”的话题，从现实情况看来，大学数学课程的线下课堂教学是不可替代的，但是依托线上资源开展线上线下混合式教学是大有裨益的。那么，在大学数学课程的教学中，教师应如何充分利用现有的优质在线资源？有的高校已经建成了高质量的线上课程，教学中本校任课教师怎样才能充分发挥这些优质课程的作用，解决“墙内开花墙外香”的尴尬局面呢？针对如何开展混合式教学的问题，一些学者进行了大量的分析研究，梳理了线上与线下混合的优势[1]，提出了教师混合式教学“改革发展框架与准备度框架”[2]、基于“MOOC+讲台课、慕课堂、见面课”的“动态教学、动态助学、动态研学”三位一体教学模式[3]、基于“分析、设计、实施、完善”四阶段的混合式课程学习设计模式[4]、基于“教学设施信息化智能化、教学方式双边互动、教学流程共时性多环节、教学评价体系多层次开放性”的疫情防控常态化时期混合式教学模式等理论成果[5]，取得了一些不错的效果。

2020年春季学期，为了响应教育部“停课不停教、停课不停学”的号召，各大高校普遍开展了依托雨课堂等在线开放课程平台的线上线下混合式教学。作者也曾在“运筹学”“线性代数”等大学数学课程中，从生疏到熟练地运用雨课堂等教学平台，圆满地完成了疫情期间的在线教学任务。疫情缓解后，作者继续发挥线上教学的优势，并将线上教学融入到线下教学中，对混合式教学进行了一些探索。为了能使线上线下混合式教学取得预想的效果，教师首先要从认知层面上把握混合式教学的价值与作用，然后要从策略层面上探明混合式教学的几个环节，最后要从操作层面上完善混合式教学的实施细则。

一、混合式教学的价值与作用

作为现代教学模式之一的混合式教学，其涉及的教学理念可追溯到很久以前，如混合式教学中涉及的“启发式引导”“因材施教”等教学方法，孔子曾曰“求也退，故进之；由也兼人，故退之”。网络与信息技术的发展，师生对智能设备和使用技术的掌握，在线开放课程等基于网络传播的课程资源的涌现，为开展依托线上资源的混合式教学提供了前提条件。混合式教学顺应了信息时代技术革新的发展趋势，发挥了线上教学的优势，克服了传统教学的弊端，促进了优质线上资源的共享和充分利用。混合式教学能延伸课程的教学内容，拓展课程的应用案例素材，促进线上线下内容的互补，提升课程内容的丰富度。在教学效果上，教师通过对线上资源的调研和使用，可以开拓视野、了解同行，进而反思自己教学的优缺点，设定下一步教学过程中的完善思路与改进策略；学生通过优质线上资源可以从不同的角度学习课程内容，获取到在学校课堂上可能接触不到的内容和信息。从人才培养的角度，优质线上资源可以满足学生日益增长的对知识广度和深度的需求，有利于激发学生的学习兴趣、提升其自学意识、培养其自学能力，实现教学从“以教师为主”向“以学生为中心”的转变、学生从“被动式学习”向“主动式学习”的转变，使得学生的培养模式能突破时空约束，从单向教育转为多向教育。

二、混合式教学的实施阶段

有效的线上线下混合式教学需要从课前预习、课堂教学、课后复习、实践应用4个阶段着手部署。

（一）强化课前预习

课前预习、课堂学习、课后复习是高效学习的3个重要环节。但是，在大学数学课程中能够真正深入开展有效预习的学生较少，原因有多方面，如预习一般需要有足够的自制力或者外在干预，而其他学科更加紧迫的学习任务或者轻松愉悦的课外活动往往会冲淡，甚至挤压原本打算开展的预习计划。课前预习对学生自学能力培养、自我约束能力培养大有益处，可以让学生逐步摆脱依赖心理，增强独立面对未知事物的意识、胆量和勇气。在线上线下混合式教学模式中，教师应在每次课前给学生布置预习任务，这些预习任务可以是观看相应的优质线上视频，也可以是自学下次课涉及的教材内容，还可以是在预习的基础上独立完成难易适当的练习题。预习任务可以极大地培养学生的自学、思维总结与语言表达能力，将目前仍普遍存在的“被动式学习”调整为“主动式学习”“挑战式学习”。

（二）精设课堂教学

利用好课堂时间，事关线上线下混合式教学的成败。如果课堂环节设计得不够好，那么极易导致混合式教学课堂要不与传统教学课堂无异，要不近似于重述线上课程内容，学生的课堂获得相对较少。与传统教学的课堂相比，混合式教学的课堂应更加注意在内容上保持前后章节的呼应、线上线下的同步，在逻辑上保持课堂与课前的衔接、课堂与课后的铺垫。由于学生在课前已经学习了教材或者观看了线上视频，对课堂内容的主体部分已有一定掌握，因此线下教学需要注意对线上重点内容进行回顾。在讲解重点上，教师需要对疑难内容进行重点讲解，纠正学生预习过程中可能存在的“一知半解”；对易错内容的提醒讲解，克服“走马观花、一目十行”的预习；对课程方法的多角度应用，克服“单一片面认识”；对重要内容的强调提醒，克服“眉毛胡子一把抓”。在讲解方式上，教师应尽量采用问题驱动式教学，在课件中设置足够多的问题，引导学生充分参与课堂思考和讨论，杜绝“灌输式”课堂，打造具有“设疑提问、实时反馈、师生讲评”等互动交流特点的活跃课堂，通过多角度全方位的“验证式”环节加强学生对课程内容的理解深度。在设计课堂问题时，教师需要以学生为中心，站在学生的角度，结合课程内容来选择问题题型和研制问题内容。

（三）完善课后复习

学生只有完成一定的大学数学课程练习题量，基本概念、基本知识才能记得牢、基本方法才能用得活、求解疑难题型的独特招数才能想得出，所以用来巩固复习的课后作业必不可少，但是学生的课余时间有限并且需要课后完成的任务也多，从而使得课后作业的内容要具有代表性和针对性，以提高复习的效率和效果。大学数学课程的课后作业主要涉及以下几方面。第一，教师可以布置一些主观题形式的书面作业，通过没有任何提示的主观题，锻炼学生的发散思维，提升学生的综合分析与表达能力；第二，教师可以利用雨课堂等在线平台，布置一些客观选择题，并让学生在答题后及时收到得分反馈，如果教师在设置题目时已经把答案解析输入平台，那么学生就可以实时得到解答指导；第三，教师可以从众多的优质在线课程中遴选对应的练习题，推送给学生思考。

在大学数学课程的学习过程中，学生的疑惑可能来自课前预习、课堂学习、课后复习等阶段，所以混合式教学中的辅导答疑环节需要充分利用微信、QQ、雨课堂等，实现疑惑的尽早尽快解答。

（四）引导实践应用

新时代背景下，学生更加关心所学知识有何用，因此，教学需要更加突出知识的应用性，强化学生实践能力的培养，满足学生的好奇心，提升其获得感。混合式教学过程中，教师可以借助线上资源，引导学生参与实践活动，增强课程的应用性，提升学生的动手与实践能力。如果把一些改造过的、与实际应用背景有一定联系的案例素材运用到教学中，将有利于提高课程的应用性，激发学生的学习热情。但是，由于大学数学课程任课教师的专业局限性和时间精力有限，要想任课教师在各种专业领域挖掘相应的案例素材，可能不太现实，而混合式教学可以广泛使用他人精心打造的案例素材，这样既能解决实践应用环节中资源建设的时间和投入问题，也能克服任课教师专业领域认知有限的问题，让学生受益。例如，作者在开展“运筹学”课程混合式教学前，充分学习了江西财经大学和陆军工程大学分别建设的“运筹学”课程和北京理工大学建设的“管理运筹学”课程，也观看了有关李冰父子修建都江堰大型水利工程的介绍视频，利用国家级“金课”等网络资源，提升自身人文知识素养，拓展视野，提升了课程的教学效果。

三、混合式教学的操作策略

（一）注重线上资源与线下讲授内容的互补

大学数学课程涉及的内容很广、范围很宽、时间跨度很长，教师要想把一门大学数学课程讲深、讲透、讲好，需要超出教材之外，涉猎众多学科门类与应用领域。教师可以利用线上资源，在教学中将线上资源与线下讲授有机融合，形成互补，如将数学家简介、数学史、数学知识的案例应用等线上资源推送给学生，这部分内容教师在课堂上不讲或少讲，又如那些学生可能感兴趣、教材提到了但教学大纲不做要求的内容，教师可以引导学生课外在线学习。例如，“线性代数”课程的主要内容包括行列式、矩阵、向量空间、相似矩阵、二次型、线性空间与线性变换等。但包含国防科技大学在内的不少军队院校和地方高校由于课时和人才培养目标等原因，线性空间与线性变换一般没有列入课堂教学内容，而线性空间与线性变换对学生的抽象思维能力培养具有重要作用，它能让学生更深刻地理解线性代数的“高屋建瓴”与“抽象”特性、理解看上去形形色色各不相同的线性变换的本质，也更容易借助线性空间中基与维数的知识要点理解现实社会中无处不在的“代表性”与“独立性”。为了让学生不错过这部分看上去有难度但又很精彩、有意义的内容，作者向学生推荐了自建的“线性代数”慕课，在该慕课里，作者对线性空间的概念、线性空间的判断、线性空间的性质、线性变换的概念与性质、线性变换的矩阵表示进行了详细的讲解，引导学生通过课后自学在线视频达到比较深入掌握相关内容的目的，从而弥补了课堂教学无暇顾及各个知识点的不足，也将建设的资源有效应用到了高校的人才培养过程中，实现了“墙内开花处处香”。

（二）注重线上资源的遴选与推荐

截至目前，很多高校大学数学课程都已建有在线开放课程，其中不少已被认定为国家级一流课程。例如，“线性代数”的国家级一流课程有近20门，“运筹学”的国家级一流课程也有近10门。由于各高校人才培养的目标定位不同、教学计划与课时安排也不尽相同，所以不同的高校之间、同一个高校的不同专业之间，对同一门课程的教学内容与掌握要求也不同，从而在开展线上线下混合式教学过程中，授课教师需要对已有的优质在线课程进行调研，遴选适合自己教学对象的在线开放课程作为线上学习资源，一般来讲，国防科技大学建设的在线开放课程更适合本校学生学习，关联程度和适用性相对更好。

在遴选线上资源的过程中，教师可以采用“分段遴选、碎片化遴选、跳跃式遴选”的形式。不少在线开放课程是由多人合作共同建设，有的课程是由多人轮流主讲，从而可能导致某门课程的不同内容在讲授方式、阐述角度、教学理念、讲课风格等方面各有千秋，使得有的讲授视频可能更适合某些特定学习群体。所以，在线上资源的遴选方面，可以跨课程、跨学校，分片段、点状跳跃式进行。例如，在遴选“线性代数”课程资源时，课程内容可以来自“线性代数”慕课，也可以来自“线性代数与解析几何”慕课，还可以来自“高等代数”甚至“抽象代数”慕课。

除了引导学生在线学习他人的教学资源之外，授课教师可以自行录制授课小视频，供学生观看学习。例如，作者针对“线性代数”课程，自行录制了题为“行列式的等价定义”“行列式展开的Laplace定理”“方阵的行列式之性质”“初等变换不改变矩阵的秩”等10多个教学微视频，供学生在课余时间观看学习。

（三）注重线下教学与线上表述的一致性

学生在学习知识过程中，特别是第一次接触新的概念时，经常会与之前的知识体系进行比对、消化、融合。由于线上资源的多样性，不同高校的教材资料一般有不同版本。在线下教学过程中，有时针对一个教学内容，教师可能需要推荐学生学习几个不同高校建设的线上资源，此时教师需要对这些资源从概念的描述方式、词句的组织形式、结论的内涵实质等方面与线下教材进行调研、比对，避免学生在学习不同版本线上课程时可能会出现的盲从感与紊乱，避免给学生学习增加额外负担。例如，对于行列式，有的在线开放课程用连求和方式进行定义，有的则用某一行展开的降阶法方式进行定义；对于单位矩阵，有的在线开放课程用E表示，有的则用I表示；有的在线开放课程对行初等矩阵、列初等矩阵采用了不同的记 号｛P（i，j），P（i（k）），P（i，j（k））｝与｛C（i，j），C（i（k）），C（i，j（k））｝，有的则只用了一套记号｛P（i，j），P（（k）），P〈i，j（k））｝。像这种对于同一个概念的不同引入方式、对于同一个对象的不同符号表示，在混合式教学过程中是很容易碰到的，因此，在线下课堂教学过程中，教师需要及时提醒学生，并向学生阐述清楚它们之间的异同和联系。

四、混合式教学的改进与完善

（一）混合式教学的效果评估

线上线下混合式教学的效果评估分为线上资源学习效率的检验、课堂教学效果的检验、总体教学成效的检验3部分。从理论上讲，混合式教学的总体教学效果好于传统教学，其原因主要有：第一，学生对新鲜事物普遍充满挑战和好奇心，混合式教学作为一种任课教师积极主导下的新兴教学模式，容易吸引学生的注意力，调动学生的学习主动性，提升学生的课程参与度；第二，混合式教学充分借鉴、吸收、利用了当前阶段的优质线上资源，这些资源可以满足学生的多维度、多层次的学习需求，拓展学生的视野，提高学习兴趣；第三，混合式教学目前仍处在尝试探索阶段，开展混合式教学实践的教师一般都有详细的计划、有足够的时间精力参与教学过程的思索。由此可见，哪怕学生对混合式教学的参与具有一定的非自觉性和非自愿性，混合式教学模式下的教学效果和质量仍然是较好的。但是，混合式教学作为一种新形式，应用到大学数学课程教学中，到底能起到多大提升作用？怎样才能使得提升幅度更大？这些问题都依赖于一定时期内混合式教学模式的效果评估。教师可以尝试从以下3个方面开展混合式教学效果评估。一是通过探寻混合式教学模式的可行方法与手段进行评估，如平均分、优秀率、及格率等原始数据，又如某些发散性问题、非结构化无标准答案问题的作答情况分析；二是从教育科学的专业角度分析两种不同模式带来的差异，以及是否达到预期的效果；三是从学生心理学角度出发，换位思考，比较学生在两种不同模式下的感受、学习体验和情感收获等。

在评估过程中，需要注意的是，教学效果的优劣需要看学生的分数，但也不能完全看分数，教学效果更应该看学生在学习过程中的体验与感受，更要看学生是否真正掌握了课程内容的精髓与本质。如果某班学生能把在一般人看来抽象难懂的、让其他班学生心累不堪的一门课程学通学透，且学起来还比较轻松愉悦，那么即使这个班的平均分、不及格率和其他班相比并不占优势，这个班的教学效果也应该认为是不错的。现实中，如果在课后采用题海战术，学生完成教师提供的练习题，然后教师进行详细讲解，确实能提升及格率、平均分，但是通过这种方式提高的成绩，对学生的长远影响其实是有限的。

（二）注意教学相长

如果说教师采用线上线下混合式教学比采用传统教学更轻松，那就错了。事实上，对于任何一种处在革新阶段的教学模式，教师都要付出更多的时间和精力去摸索、适应和创新。相对于其他教学模式，线上线下混合式教学模式需要学生动手动脑的地方不是少了而是多了，产生困惑的地方自然也会增多，因此，学生更加需要教师的指导。在混合式教学过程中，教师需要反思以前的教学方式的不足，分析新的教学方式的特点，提炼可行的实施细则，并在实践中收集学生的反馈，根据学情、课前预习状况，灵活调整教学策略和进度，逐步形成具有教师个人风格的教学方法。同一个学期的不同班、不同学期的同一个班，以及同一个班在同一个学期的不同授课阶段，学生的线上学习状态各不相同，因此，教师需要思索不同情况下的最优策略，力求“因材施教”“对症下药”。在这些周而复始的实践过程中，混合式教学模式发展得越来越成熟，教师对教学模式的运用越来越得心应手。

俗话讲的“教无定法、教无止境”，放到线上线下混合式教学模式中，永远是对的。混合式教学作为一种新兴教学模式，正处在教学理论不断更新、混合式方式不断创新、花样招式不断翻新的阶段，授课对象也生活在信息爆炸式增长的新时代，所以教师在课前需要根据学情精心备课、设计课堂环节、制作课件、布置随堂问题与线上作业，在课堂上需要根据学生状态灵活使用各种教学手段，在课后需要根据课堂情况进行教学反思与总结，思考改进措施，为后续和下一轮混合式教学实践铺好路，从而实现常讲常新、越讲越精。