卡尔达诺：百科全书式的人物

蔡天新

别把数学想象得艰难晦涩、难以捉摸，它只不过是常识的升华而已。

——开尔文勋爵

一、一个医生的回忆录

弗朗西斯·培根（1561—1626）是英国法学家、政治家、哲学家和文学家，并以随笔作家闻名，他留下了“知识就是力量”，“读史使人明智，读诗使人灵秀，数学使人周密，科学使人深刻，伦理学使人庄重，逻辑修辞之学使人善辩”等脍炙人口的佳句。培根和稍后的同胞作家威廉·莎士比亚（1564-1616）一样，都受到法国作家米歇尔·德·蒙田（1533-1592）的影响。蒙田的阅历广博，思路开阔，行文无拘无束，开随笔写作之先河。可是，当我读到十六世纪意大利數学家、医生吉罗拉莫·卡尔达诺（1501-1576）的自传《 我的生平》时，才大吃一惊，那闲雅的文笔、简洁的语言和随意而有意味的主题令人赏心悦目，恰如《培根论人生》（1597），卡尔达诺的著作中也有《论梦》《论安慰》《论智慧》《论格言》《论算术》《论比例》等。

看来，在蒙田和培根之前，意大利文学中必然已经有优美的范例，毕竟那是产生了伟大的诗人彼得拉克、但丁，作家薄伽丘和政治哲学家马基雅维里的国度。一五七四年，离卡尔达诺的生命终点只有一年的时候，他开始用拉丁语写作回忆录《我的生平》，那时他已经写成并出版了许多学术和随笔著作。在这本自传里，他以自我批评的口吻剖析自己的一生。我不知道卡尔达诺是否第一个写作自传的科学家，但至少《我的生平》是现存最早的大数学家传记。这本书内容广博、文采飞扬，值得当今每一位科学工作者学习。

卡尔达诺把写作看成人生应尽的义务，非常忠实地予以履行。从行文来看，作者通读古希腊和古罗马的名家著作，经常引用他们的格言，例如，古希腊“医学之父”希波克拉底、名医盖伦，哲学家苏格拉底、第欧根尼、亚里士多德、伊壁鸠鲁，历史学家希罗多德，古罗马诗人贺拉斯、维吉尔，作家普鲁塔克、小普林尼，历史学家塔西佗、苏维托尼乌斯，政治家西塞罗，以及皇帝中的思想家马可·奥勒留，后者在刀光剑影的间歇写作了《沉思录》，卡尔达诺在《我的生平》序言里称仿效了这本书。

一五0一年九月二十三日，卡尔达诺出生在米兰南面的帕维亚，是法官和寡妇的私生子，母亲三十多岁时，带着三个孩子与五十六岁的父亲同居。两年后生下他，之后父母结了婚。卡尔达诺随奶妈在米兰郊外的莫伊拉格村生活了四年后回到家中，他的家族有长寿基因，祖父和父亲分别活到八十八岁和八十岁，且都有数学禀赋。父亲学识渊博，在米兰讲授过法学和医学，曾与大画家达·芬奇为友。受父亲的鼓励，卡尔达诺开始学习古典文学、数学和占星术。十九岁进入帕维亚大学（哥伦布曾求学该校）学习医学，后来转学到帕多瓦大学（伽利略曾任教此校），二十五岁获得博士学位。

作为医生，卡尔达诺对斑疹伤寒首次做了临床记载。按照自传第四十章《行医成功的例子》，卡尔达诺挽救过一百多位被别的医生认为无药可救的病人，治愈过肺病、癫痫病、痢疾、皮肤病、精神病、失明症，还有些病人患有水肿、驼背、跛脚，经过他的治疗病情大为好转。最值得卡尔达诺骄傲的是五十一岁那年，他应邀去苏格兰医治圣安德鲁斯大主教哈密尔顿，当时他已患十年的哮喘，曾先后请法兰西国王和西班牙国王的御医看过，未见成效，后来派人来米兰请卡尔达诺。卡尔达诺在圣安德鲁斯逗留了七十五天，治好了大主教的病。

卡尔达诺生活的十六世纪，意大利可谓多灾多难。一四九四年，法兰西国王查理八世攻打那不勒斯，由此亚平宁半岛各个城邦（包括米兰）陷入接连不断的战争中。一五0九年，法兰西人在波河支流阿达河打败了威尼斯人，却在罗马欢庆胜利。一五二七年，罗马遭到波旁王朝军队的洗劫，一年半时间内，不朽之城罗马丧失了三分之二人口，那个世纪剩下的时间都用来重建和恢复。政治兴衰、宗教改革带来的巨变，成为卡尔达诺生活的那个世纪混乱的背景。

卡尔达诺本人也经历了与贫穷、耻辱和疾病搏斗的前半生。“我最擅长的莫过于讲述自己的经历，一是由于我活的时间长，二是由于我不断地经历苦难。”卡尔达诺的婚姻很不幸，但自传里没有详细介绍。他有两个儿子和一个女儿，最爱的长子大学毕业后结了婚，却因妻子出轨，一怒之下用砒霜毒死了她，结果锒铛入狱，五十多天后被斩首。这是卡尔达诺一生最大的打击和挥之不去的痛。几天以后，孙女也夭折了。小儿子因为丢人现眼的表现和暴力，曾数次入狱，被判流放。只有女儿没出大事，却不能生育。卡尔达诺晚年立下遗嘱，把财产留给唯一的孙子。

书中还写到那个年代欧洲的经济和社会现状。那时候普通人家里一般只有一张床，有些人家连一张床也没有，家庭成员和仆人都睡在地板的通铺上，来了客人也睡在一起。公共场所没有公厕，同性恋被发现的话会被处以火刑。卡尔达诺虽然医术高明，却因为是私生子，直到三十八岁才取得行医执照，之前生活极度贫困。他在自传里写道：“看见漂亮衣服，我扭头就走。”另一方面，他又爱读书，且买书出手阔绰，他写道：“一本值得买的书，应该在智慧和艺术上追求完美。”

一六四三年，在卡尔达诺去世六十七年以后，《我的生平》在巴黎首次出版。一六五四年，此书又在阿姆斯特丹出版第二版。一六六三年，里昂刊印了十卷本的卡尔达诺《作品大全》，其中《我的生平》是最后一次用拉丁语出版。此后，《我的生平》先后出版了意大利文版（一八二一）、德文版（一九一四）和英文版（一九三0）等。在英文版自传问世以前，已有多部卡尔达诺的传记在伦敦出版。二0二一年秋天，中文版《我的生平》由浙江大学出版社精装出版。

二、百科全书式的人物

十五世纪后期以来，印刷术的普及不仅繁荣了文学事业，也加快了数学的发展。卡尔达诺一生共写作了二百多种各类书籍和文章，现存的材料多达七千多页。《我的生平》第四十五章详细列出了他的著作，其中数学和物理学各有三种，天文学有七种，此外还有三种道德著作，有不少是多卷本。他发表过的文章有二十多种，医学评注九种（主要是针对希波克拉底的著作评注），此外还有有关数学、物理学、医学、神学、哲学等方面的手稿及各种论述三十多卷。

卡尔达诺是百科全书式的人物，不仅擅长理论科学，在实践科学方面也取得了重大成就。他的著作中包含了丰富的仪器、机械装置的设计图以及打捞沉船和距离测量的方法。一五四八年，当神圣罗马帝国皇帝查理五世来米兰时，卡尔达诺为他的马车设计了一个减震装置，因此他在皇家队列中拥有一个特别的位置。甚至今日汽车上使用的万向节在欧洲主要语言里仍用卡尔达诺（Cardano）的名字命名， 例如，cardan joint（ 英语）、le cardan（ 法语）、dasKardangelenk（德语）、giudo cardano（意大利语）。

卡尔达诺最着力撰写的两部书是被他归为物理学著作的《论事物之精妙》（ 二十二卷， 一五五0） 和《論多种事物》（ 十七卷，一五五八）。这是两部百科全书式的巨著，包含了大量力学、机械学、天文学、化学、生物学等自然科学和技术的内容，还有密码术、炼金术和占星术方面的内容，其中一些观点与达·芬奇的论述有些相似。这两部著作在十六世纪就有十几个版本流传，后来又被译成多种文字出版，可谓影响深远。在地质学方面，卡尔达诺曾指出，山岳的形成是由于流水的腐蚀。

卡尔达诺在人文学科也有了不起的建树。他写的三卷本著作《安慰》在世时就被译成英文出版（一五七三）。这是一部劝慰悲伤的著作，是他痛失长子之后的感悟，莎士比亚曾经读过。哈姆莱特那句著名的台词“生存，还是死亡？这是个问题”所表达的情绪，与《安慰》中有关睡眠的评述十分相似。《素数之恋》的作者、英国作家约翰·德比希尔甚至推测：“哈姆莱特在舞台上说出那句独白时，手里捧着的可能正是卡尔达诺的这本书。”

可是，在版权法（一七一0年首先在英国颁布）出现之前，哪怕出版了畅销书也不是致富之道。行医是卡尔达诺的主要谋生手段，他最早出版的著作是医学方面的书籍，主要介绍一些治疗常识。当他五十岁时，已经是意大利第一名医，即使在欧洲范围内，知名度也仅次于佛兰德斯的维萨留斯，后者是近代解剖学的鼻祖，曾是查理五世的御医。当时无论上流社会，还是牧师或普通人，都找卡尔达诺看病。

除了行医，卡尔达诺的次要收入来源是赌博和占卜。在从苏格兰回来的途中，他经过伦敦，给年少的国王爱德华六世（亨利八世之子）占卜，告知他长寿之路。卡尔达诺发明了一种“面相术”，可以根据一个人面部的缺陷来读出性格和命运。他对赌博的痴迷到了上瘾的程度，是一个善于分析的敏锐棋手（当时下国际象棋一般是为了赌钱）。不仅如此，他还写了一本《机遇赌博》，在他死后被翻译成英文出版，其中有对骰子和纸牌游戏的详细数学分析。这方面，他的文字比帕斯卡尔与费尔马关于赌博的通信早得多。

可能是职业的缘故，卡尔达诺走南闯北，除了那不勒斯和阿普利亚大区以外，几乎走遍了整个意大利，还曾游历法国、瑞士、奥地利、德国、佛兰德斯、英格兰和苏格兰。卡尔达诺在米兰生活了三十二年，因此把自己看作米兰人。此外，他在故乡帕维亚十二年，博洛尼亚九年（任教于最古老的博洛尼亚大学医学院），帕多瓦及郊外的萨科镇九年，剩余时间在罗马、奶妈的村庄和疗养地加拉拉泰。一五七六年九月二十日，卡尔达诺在罗马去世，安葬在圣安德鲁斯教堂，后来他的孙子将他移葬米兰的圣马可教堂，安息在父亲墓旁。

卡尔达诺坎坷的经历使其性格颇为奇特，常常被描述成科学史上的怪人。他自认脾气暴躁、易怒爱争执、报复欲强，却不怎么看重钱财。他相信梦和征兆，一直醉心于占星术的研究，甚至他的离去也被传是为了证实自己对死期的占卜而自杀。一五七0年，卡尔达诺因为给耶稣算命被宗教法庭监禁，并作为异教徒被起诉。直到他宣誓放弃异端学说，才在几个月后获释，但因此失去了教职和著述权。之后他移居罗马，另谋生路，后来因为占星术的研究得到教皇皮乌斯五世的赏识，付给他终身年薪，留在皇宫供职。

卡尔达诺认为一切事物都有两面性。一方面他觉得人生无意义，另一方面却时常反省自己。他发现自己经常说些让人不高兴的话，却又不愿改正。有时候寡言，有时候健谈，有时候愉快，有时候悲伤。他在自传里引用了《圣经·路加福音》里的一句话：“耶稣治好了十个麻风病人，只有一个回来向主表示感谢。”之后卡尔达诺又表示，我就不能像那个麻风病人那样吗？自传里还专辟出一章叫《妙语》，虽然有些言论无聊庸俗，但也有些十分精辟，表明他是有观察力的人文主义者。譬如：

做事的才能丧失得比想象的还要快。

只有人靠商议来处理事务，或获取利益。

智慧与无价之宝一样，必须要从地底深处挖出来。

无论做任何事，如果能够争取到时间就好。

张口就把你知道的全说出来，这是最严重的错误。

善是一种不可或缺的美德。

有了精准性，可以用少数例子来解释多种事物，让模糊的事实变得清晰。

幸福在命运中找不到，而在善中可以找到。

亚历山大一直渴望着有一个荷马。

学会把任何灾祸推开并使之消弭于无形。

在尘世间度过一生而没有经历任何重大灾难，这就够了。

一五三四年，在父亲从前的贵族朋友的推荐下，卡尔达诺成为米兰专科学校的一名数学老师，在那里教授几何学，同时兼任贫民院的医生，生活略有好转，但一年以后学校解散了。一五三九年，卡尔达诺终于获得米兰医生协会批准的行医执照，从此他的生活有了巨大转变，并很快成为意大利北部最受欢迎的医生。但他并没有减少对数学和科学技术的兴趣，一五四六年，他曾应邀回到母校帕维亚大学讲授数学（包括几何学、算术、占星术、工程学）两年。在这两次任教之间，卡尔达诺在数学领域做出了巨大的贡献。

三、代数学的奠基石

虽说文艺复兴时期的艺术家们对数学都有独到的见解，阿尔贝蒂、达·芬奇和丢勒甚至对数学本身也有所贡献，并把几何学的方法应用于绘画，达·芬奇声称：“欣赏我绘画作品的人，没有一个不是数学家。”但数学的复兴乃至近代数学的兴起要等到十六世纪，新数学的推进首先表现在以下方面：三角学从天文学中分离出来、透视法产生射影几何、对数的发明改进了计算，但最主要的成就应该是在代数学领域，即三次和四次方程根式求解的突破和代数的符号化。

在世界各主要民族中，一次和二次代数方程一般都会有人找到解答，只不过对于二次方程，有的民族只发现了一个解，有的发现了两个解，还有的限制方程的系数为正。而对于三次或四次代数方程而言，难度就大多了。在那个时代的大多数数学家看来，它们就像古希腊的三大几何问题一样困难重重。十一世纪的波斯数学家兼诗人欧玛尔·海亚姆曾用几何方法给出某些特殊三次方程的近似解，而在十五世纪和十六世纪交替之际，意大利诞生了几位解答这类问题的人物，我们先来说说塔尔塔利亚。

塔尔塔利亚（1499—1557）本名丰塔纳，出生在米兰东面阿尔卑斯山南麓布雷西亚的一个邮差家庭，幼年丧父，因被入侵的法国士兵砍伤脸部而口吃，故而得此诨名（塔尔塔利亚意为口吃者）。成年以后他在威尼斯谋得一份数学教职，出过一本有关火炮的数学书，还把欧几里得的《几何原本》首次译成意大利文，同时宣称能解出没有一次项或二次项的所有三次方程。对此博洛尼亚大学的数学教授费罗表示怀疑，派了一位学生前来挑战（也有说费罗已死，是其学生主动前来），结果塔尔塔利亚获胜，因为对手只会解缺少二次项的那一类方程。

一五三九年，卡尔达诺邀请塔尔塔利亚到米兰家中做客三天。塔尔塔利亚酒足饭饱之后，在卡尔达诺发誓保密的情况下，以暗语般的二十五行诗歌形式说出了三次方程的解法。卡尔达诺补足了证明，一五四五年，他在德国的纽伦堡出版了一生最重要的著作《大法》（Aas magna ），全名《大法，或论代数法则》，将塔尔塔利亚的方法公之于众，引起了轩然大波，两位顶尖数学家之间发生了激烈的口战。不过，卡尔达诺在书中说明这个解法是由塔尔塔利亚发明的，为了数学的进步他才将此公开发表。之前，卡尔达诺经过调研发现，费罗也早已掌握了这个方法，这促使他下决心将其公之于众。

难得的是，《大法》还给出了四次方程的一般解法，不过这也不是卡尔达诺给出的，而是他的仆人兼学生费拉里解出的。费拉里（1522—1565）出身贫寒，十五岁到卡尔达诺家为仆，主人看他聪明好学，便教他数学。费拉里找到把四次方程转换为三次方程的方法，因而成为第一个破解四次方程的數学家。不过由于《大法》一书的影响力，后来的人们仍把上述三次方程的解答称为“卡尔达诺公式”，书中还第一次出现了复数的概念，这部伟大的著作可谓是代数学的奠基石。

一五四八年，费拉里代替卡尔达诺，接受愤怒的塔尔塔利亚的公开挑战，这回比赛地点是在米兰大教堂附近，获胜的一方也不再是塔尔塔利亚。费拉里出名后，很快变得富有并做了博洛尼亚大学数学教授，可惜四十三岁那年即死于白砒霜中毒，据称是他寡居而贪财的姐姐所为。由于五次和五次以上代数方程之根式不可解性直到十九世纪才由挪威数学家阿贝尔给出证明，因此在很长一段时间，这几位意大利人的工作和故事一直被同行们津津乐道。

塔尔塔利亚和费拉里解决具体问题的能力或许较强，但卡尔达诺扮演的角色更为重要，他是那种欧几里得式的人物。在《我的生平》第三十五章《受监护人与学生》中，卡尔达诺把费拉里列为他最聪明的三个学生之一，称赞他年轻时便极为博学，出类拔萃。而在第四十三章《绝对超自然的事物》中，他也引用了塔尔塔利亚的一句话：没有一个人是百事通。值得一提的是，在那个年代的意大利，辩论和挑战是常态，获胜者不仅能提升声望，甚至会获得奖励。卡尔达诺还是大学二年级生时，便与系主任科尔蒂进行过公开辩论，而老师也屈尊接受他的挑战。

值得一提的是，在塔尔塔利亚和卡尔达诺之前，尚处黑暗时代的十三世纪的意大利已经诞生了一位成就卓著的数学家，那就是比萨的斐波那契。他早年跟随父亲到北非的阿尔及利亚，从阿拉伯人那里学习了数学和印度数码，后来又游历地中海东岸地区，回来后出版了《算盘书》，从中还定义了第一个递归序列，被后世称为“兔子问题”或斐波那契序列。卡尔达诺曾这样评价他的这位前辈同胞：“我们可以假定，所有我们掌握的希腊以外的数学知识都是由于斐波那契的出现而得到的。”

在《我的生平》一书中，卡尔达诺对自己的数学研究和贡献极少提及，只有在第四十四章《我在各个研究领域取得的重要成就》中这样写道：“在算术方面，我推动了几乎整个学科领域的研究，包括他们所说的代数学。”另外，在几何学方面，他用有限数处理了无穷数，不过这方面阿基米德已走在前头。总而言之，在卡尔达诺出版的大量学术著作中，唯有数学书获得持续的高度关注，也正因为数学成就，他的事迹和自传才流传至今，并被译成不同的语言出版。