关于结点电压法的教学探讨

史 强 程鸿韵 杨 冰 王秋国

聊城大学物理科学与信息工程学院 山东聊城 252000

“电路”课程是电子、电气等电类专业必修的一门专业基础课程，通过学习使学生掌握电路的基本理论知识、基本分析方法和初步实验技能，为进一步学习后续课程打下基础。结点电压法是“电路”课程中重要的，也是常用的和有效的电路分析方法之一。然而，在多年的教学过程中，笔者发现很多学生运用结点电压法分析电路时，不能正确列写电路方程，其主要原因是没有真正理解结点电压方程的实质，而是机械的套用结点电压方程的标准形式，从而列出错误的方程。因此，本文针对教学中出现的常见问题进行了详细分析，并给出了解决的办法；同时利用电源等效变换方法对结点电压法的教学给予探讨，并对结点电压方程标准形式的解释进行改进，实现了对教学效果的提高。

1 结点电压法

在具有n个结点的电路中，任意选择其中一个结点为参考结点，其余(n-1)个结点与该参考结点之间的电压称为结点电压。利用这(n-1)个结点电压与元件VCR特性表示出各支路电流，再将这些支路电流代入(n-1)个结点的KCL方程中，就得到变量为(n-1)个结点电压的独立的电压方程，通过方程组求得各结点电压，进而得到所需的电压和电流，这就是结点电压法。

独立结点k的电压方程的标准形式为：

Gk1un1+Gk2un2+…+Gkkunk+…+Gk(n-1)un(n-1)=iskk

(1)

式中Gkk为自电导，等于与此结点相连的所有支路的电导之和，总为正值；Gki(k≠i)为互电导，等于结点k与结点i之间的所有支路电导之和，总为负值；iskk为流入结点k的所有电流源电流的代数和[1-2]。为方便列写方程，标准形式方程左侧可以看成两部分组成，一部分是独立结点电压项，即Gkkunk，为独立结点k的结点电压与其自电导的乘积；另一部分是与独立结点k相邻的结点电压项，即方程左侧剩余部分Gk1un1+…+Gk(k-1)un(k-1)+Gk(k+1)un(k+1)…+Gk(n-1)un(n-1)，为与独立结点k相邻的结点电压与其自电导乘积之和。

2 常见问题分析

在对结点电压法教学过程中，学生常出现的问题有：

(1)标准形式方程右侧为电流的代数和，常常被认为是简单的相加。其实正负号的选取与电流的参考方向有关，流入结点的电流取正号，流出结点的电流取负号。

(2)按照上面对标准形式方程的解释，方程右侧iskk为流入结点k的所有电流源电流的代数和。无电阻(电导)与之串联的电流源称为无伴电流源，如果与结点相连的支路中存在非无伴电流源支路时，容易列出错误的方程，这是教学中一种非常常见的错误。

图1

对于含独立源支路，又可分为四种情况：

当含独立源支路为无伴电流源支路时，电流源的电流可直接列写方程。如图1中结点1和参考结点0之间的支路，列写结点1的电压方程时is1可直接参与列写方程，不会出现错误。

当含独立源支路为无伴电压源支路时，即无电阻(电导)与之串联的电压源时，该支路的电阻为零，电导为无穷大，支路的电流无法通过支路电压去表示，则结点的电压方程列写就遇到困难。当遇到这种情况时，解决的方法有三种：

一是增设无伴电压源支路的电流。把此电流作为附加变量列入方程，同时增补一个结点电压与无伴电压源电压之间的约束关系方程。如图1所示，无伴电压源us3两端结点④和⑤在列写方程时，可以增设电压源us3的电流i2作为附加变量，如图2所示，图2为图1等效变换后的电路。同时需增补一个方程，即us3与结点电压之间的关系方程。结点④和⑤的电压方程及增补方程如下：

-G4un3+(G4+G5)un4=G5us2+i2

(2)

G6un5-G6un6=βi-i2

(3)

un4-un5=us3

(4)

二是广义结点(超结点)法[4]。如图1中所示，如果将无伴电压源us3两端结点④和⑤作为一个广义结点(超结点)，如图1、图2中虚线圆所示。在这个广义结点上，以流出为正，列写广义KCL方程，注意使用的结点电压依然是具体的结点电压un4或un5，则方程为：

G4(un4-un3)un1+G6(un5-un6)+G5(un4-us2)-βi=0

(5)

整理可得：

(G4+G5)un4+G6un5-G4un3-G6un6=G5us2+βi

(6)

式中(G4+G5)un4+G6un5为广义结点中内部结点电压与其自电导乘积之和；-G4un3-G6un6为与广义结点相邻的结点电压与其自电导乘积之和。方程(6)与标准形式的电压方程(1)在形式上是完全一致的。不难看出，方程(6)就是方程(2)和(3)相加所得。

显然，对比上述三种解决方法，对于无伴电压源支路的处理，最简单的办法为灵活选择参考结点，即以无伴电压源的两个结点之一作为参考结点去处理。

图2

对于含受控源支路：把受控源看作独立源一样对待，由于增加了控制量这一附加变量，因此需要增补控制量与结点电压之间的关系方程。如图1中结点⑤列写电压方程时，受控电流源的βi直接参与列写方程，同时要增补控制量i与结点电压之间的关系方程[6]。

对于导线支路：由于导线支路可以等效为电压为0的无伴电压源支路，所以解决方法同无伴电压源支路情况。如图1中结点①和⑥之间的支路，等效后变为图2所示。

3 对iskk解释的改进

结合以上分析，针对支路为非无伴电流源支路时，笔者发现出现错误的原因在于没有真正理解结点电压方程的实质是KCL的体现，而是机械地按照标准形式方程的解释去列写方程，但是，如果把iskk的解释“流入结点k的所有电流源电流的代数和”改进为“流入结点k的所有无伴电源电流的代数和”，则可避免出现错误，提高列写方程的准确度。即对于支路的三种情况(含独立源支路、含受控源支路和导线支路)，解决的方法为：先进行电源等效变换转换为无伴电源支路或/和纯电导支路，再列写标准形式电压方程。若是无伴电流源支路，其电流可直接参与列写方程；若是无伴电压源支路，按照改进的解释可增补其电流为附加变量参与列写方程，同时增补相应方程；对于纯电阻(电导)支路的电阻可直接参与列写方程，其中导线支路可以等效为us=0的无伴电压源支路，则可转换为含独立源支路情况[7]。

按照上述分析，对图1所示电路，列写结点电压方程时，首先对于非纯电阻(电导)支路要进行电源等效变换，再列写标准形式方程。等效变换后如图2所示。需要附加变量i1，i2，i，故需增补3个方程，列写的结点电压方程如下：

G1un1-G1un2=is1+i1

(7)

-G1un1+(G1+G3)un2-G3un3=is2

(8)

un3=us1

(9)

-G4un3+(G4+G5)un4=G5us2+i2

(10)

G6un5-G6un6=βi-i2

(11)

-G6un5+(G6+G7)un6=-i1

(12)

增补方程为：

G4(un3-un4)=i

(13)

un4-un5=us3

(14)

un1-un6=0

(15)

根据以上讨论，结点电压法的解题步骤归纳如下：

(1)利用电源等效变换将所有支路转换为无伴电源支路或/和纯电导支路；

(2)选定参考结点，其余结点对参考结点的电压即为结点电压，同时标定其余n-1个独立结点；

(3)对n-1个独立结点，以结点电压为未知量，列写结点电压方程(KCL)；

(4)求解上述方程，得到n-1个结点电压；

(5)通过结点电压求各支路电流等其他电量。

同时要注意：

(1)结点电压的参考极性是以参考结点为负；

(2)自电导取正，互电导取负；

(3)不直接相邻的结点之间的互电导为零；

(4)方程右侧流入结点的电流取正，流出结点的电流取负；

(5)对于受控源支路，把受控源看作独立源一样进行处理，同时增补控制量与结点电压之间的关系方程。

结语

本文针对结点电压法教学中出现的几种常见问题进行了详细分析，同时利用电源等效变换对结点电压法教学给予探讨。为了使学生理解结点电压法的实质，从而正确列写结点电压方程，在教学过程中对结点电压方程标准形式右侧的iskk的解释“流入结点k的所有电流源电流的代数和”改进为“流入结点k的所有无伴电源电流的代数和”，即对于含独立源支路、含受控源支路和导线支路，先进行电源等效变换转换为无伴电源支路或/和纯电导支路，再列写标准形式电压方程，可以提高列写方程的准确度，从而实现对教学效果的提高。