待定系数法求首次积分的探究

梁载涛，段 炼

（安徽理工大学 数学与大数据学院，安徽 淮南 232001）

众所周知，微分方程是描述自然现象和规律最有效的数学工具，在数学、天体力学、物理学、生物学等众多领域中都有着广泛且重要的应用。正是由于其应用的广泛性与重要性，它逐渐成为学者们进行自然科学研究的有效理论工具。为了培养自然科学研究的接班人，《常微分方程》基础课逐渐成为数学专业及相关理工科专业本科生、研究生培养中非常重要的理论课。在过去的几十年里，国内外已经出版了许多经典的《常微分方程》教材，例如专著[1-5]。

微分方程定性理论是微分动力系统领域中非常重要的内容，在许多自然学科中都有着非常重要的应用。为此，本科常微分方程课程将对解的探究作为主要内容。首次积分不仅是求解微分方程的一个手段，也是一般微分方程的理论基础，在许多的科学研究中都有涉及。例如，文献[6-7]基于如下常微分方程

等价系统的首次积分，研究了宇宙学著名的Einstein-Friedmann 方程的动力学行为，其中γ , k,Λ 为相关系数。因此，首次积分对于以常微分方程作为研究基础的领域来说至关重要。但是，大多数的本科生常微分方程课程没有涉及首次积分或者只是简单地介绍其定义及性质，对其详细的计算方法并没有给出。这导致了继续从事科研工作的本科生和研究生等在后续科研工作中会遇到如何计算首次积分的问题。为此，本文简单地介绍一种求首次积分的待定系数法。希望本文的结果对微分方程相关领域的教学以及科学研究等有所帮助。

1 待定系数法求首次积分

本文主要以平面微分系统为例，介绍待定系数法在求首次积分中的应用。考虑如下形式的平面微分系统

其中f，g 在某个区域Ω ∈R3内关于（t，u，v）是连续的并且关于（u，v）是可微的。首次积分的定义如下：

定义1 设Φ（t，u，v）是Ω 的某一个子区域Ω1内的连续函数。如果对于微分系统（2）的任何一个解（u（t），v（t）），使得

其中C 为一任意常数，则Φ（t，u，v）= C 称为微分系统（2）的首次积分。

更多关于首次积分的性质和存在性结论请参考专著[1]。接下来，介绍待定系数法求首次积分。

1.1 非齐次线性平面微分系统

考虑如下形式的微分系统

用待定系数法求此类系统的首次积分，具体步骤如下：

如果存在一个实数λ,使得

则 （3）+λ×（4）：

根据常数变易公式求出上述方程的通解，即可得系统（3）-（4）的一个首次积分。如果存在2个互异的实数λ 使得（5）式成立，则分别求出上述方程的通解，即可得到系统（3）-（4）2 个独立的首次积分。

例1 计算如下微分系统的首次积分

解：通过解一元二次方程

得2 个互异的实根λ1=1，λ2=2。对于λ=λ1=1易求得方程

的通解为u + v = C1e-3t，其中C1为任意常数。对于λ=λ2=2 根据常数变易公式，可求得方程

的通解为

其中C2为任意常数。对上述2 个通解进行整理，即可得原系统2 个独立的首次积分

1.2 多项式微分系统

考虑如下微分系统

其中P，Q 为u，v 的多项式，则可以用待定系数法求其首次积分。具体步骤如下：

在应用中，将具体的函数P，Q 代入上式，比较对应次数项的系数，可以得到关于a，b 的方程组，解出a，b 的值。然后计算下式

即可得到如下形式的恰当方程求出方程（9）的通解，即可得微分系统（6）-（7）的1 个首次积分。

例2 计算如下微分系统的首次积分

解：将

代入（8）式可得

比较系数可得

求解上述方程组，可得a=2，b=1。然后根据（9）式，整理可得如下形式的恰当方程显而易见其解为

其中C 为任意常数，即为原系统的1 个首次积分。

接下来，用上述方法求引言中方程(1)的首次积分。

例3 求方程（1）的首次积分。

解：方程（1）等价于如下平面微分系统

进一步等价于

其中udx=dt。显然可见上述系统是系统（6）-（7）的特殊形式，其中

将上述函数P，Q 代入（8）式，整理可得

比较系数可得 a= 2γ − 1 , b = 0。然后根据（9）式，整理可得如下恰当方程

显而易见其通解为

其中C 为任意常数。整理上式即可得与文献[6-7]中相同的首次积分

2 总结

作者在常微分方程教学和培养微分方程方向的硕士研究生过程中发现，大多数的常微分方程教材往往只给出了首次积分的定义及性质，针对其计算并没有给出详细的方法。但是常微分方程的首次积分在许多理工科硕士、博士研究生后续科研工作中都有频繁且重要的应用。受如何计算常微分方程的首次积分的启发，本文总结出了计算2 类平面微分系统首次积分的待定系数法。本文的结果对高校教师进行常微分方程方面的教学以及理工科硕士、博士研究生常微分方程基础理论的学习都会有一定的帮助，也进一步补充和完善了这方面的教学内容。