基于数学建模核心素养的教学设计——以指数函数概念为例

●高照颖 赵宝江

近几年高考中对学生数学建模素养的考查层出不穷，以解决实际生活问题为主，而高中教师对培养学生数学建模还停留在应试教育阶段，用“唯分论”去评价学生的数学建模素养，能做对题才是重点，没有意识到数学价值，那么如何设计有效地融入数学建模、真正用数学、体现数学价值魅力的教学过程至关重要，培养学生独立思考能力，实际问题数学化，更好地掌握理解新知，将学到的数学知识应用到实际生活中，培养学生建模素养和发现数学美的眼睛。

一、基于数学建模核心素养的教学设计策略

1.实际问题驱动，创设合理情境。问题是数学建模教学的脉搏，好的问题使得建模教学活动更具活力，学生参与建模的积极性更强，以问题为主线启发诱导学生对实际问题的直观感知、思考分析、巧妙解决与感悟反思，层层递进“螺旋上升”式的建模思维培养。教学设计以实际例子进行引入，创设数学问题背景，激发学生对新知的渴求，让学生全身心地投入到数学建模应用环境中，要求教师在情境设置中选取应用性及趣味性强的建模问题，进一步让学生体会建模快乐与魅力。

2.渗透建模思想，呈现完整建模过程。建模教学中要学习的数学模型对于高中生来说是个比较难驾驭的课题，课堂处理方法相对灵活，因此教师在教学中要善于营造数学建模环境，呈现完整建模过程，通过抽象和简化，使用数学语言对实际现象所作的一个近似刻画，进而促进学生深刻认识数学模型。数学建模过程大致有以下几个流程：提出问题—思考问题—阐明符号—假设模型—建立模型—求解模型—验证与改进等,教师在教学设计过程中应根据教学内容，渗透建模思想，呈现完整的数学建模过程[2]。

3.创新教学设计流程，深化建模意识。教学设计分为六步走：创、析、建、练、用、悟。“创”是针对给出的实际问题，创设情境，初步感知，激发学生的求知欲；“析”是分析问题，分析实际问题中数据之间的逻辑关系，尝试运用图像、表格等表示出来利于分析理解；“建”是建立模型，将抽象的数学问题符号化、精细化并求解模型；“练”是练习巩固，通过数学建模解决实际问题，真正理解并熟练应用模型；“用”是学以致用，能够运用已学模型解决其他情境中的问题，举一反三，熟练应用；“悟”是感悟理解，是基于建模素养下的课堂教学收获与反思，感悟数学建模的思想方法解决实际问题，深化建模意识应用于实际生活。

二、基于数学建模核心素养的教学设计案例

选自人教A版新教材，以指数函数概念教学设计为例，根据教学设计五步走，渗透培养学生数学建模素养。

《指数函数概念》（一）

步骤一：“创”创设问题情境

教师：通过问题叙述，引出本节课所学新知情境问题1：同学们，你们领略过祖国的哪些大好河山？是北方的万里长城？还是南方的西湖美景？随着人民日益增长的美好生活使得旅游成了人们娱乐放松的方式之一。那么老师要考考大家，现在有A景区和B景区，在2011年起A地区针对人群数提高门票，而B地区免费观光游玩。如表1所示，2011年—2015年，不同年份人数增加情况。

表1 不同年份与A、B景区旅游人次统计表

比较A地区和B地区人次的变化，同学们发现怎样的规律？

情境问题2：同学们，有一种放射性元素叫碳14，生物体死亡后其含量会按比率衰减（称为衰减率），大概每过5730年就衰减为原来含量的1/2。如若按照上述规律，试问其剩余量与死亡年数的关系是什么？

学生：分析给出的两个实例，小组讨论，初步感知

设计意图：通过旅游人数变化规律和生物体碳14变化规律这两个实例，让学生在实际生活中自主发现其中的数学问题，激发学生真正用数学的意念，初步感知建模实际问题。

步骤二：“析”分析问题

教师：提示学生对于情境问题1，可采用画出图像，观察会出现什么规律？情境1中根据表格的数据，用matlab软件分别画出A地区和B地区旅游人数变化示意图（图略）。

学生：通过观察图像，可以看出：A地区人次变化近似直线上升，B地区人次是非线性变化，年增加量越来越大。

教师：该怎么用数学语言表达B地区人数变化规律呢？我们可以知道用减法可得B地区人数的年增加量，用除法可得B地区人数的年增长率。

学生：尝试用2002年人数除以2001年的人数，再用2003年人数除以2002，以此类推可以得到

惊喜发现B地区景区人数增长率近似为一个常数。

设计意图：教师启发诱导，带领学生投入B地区人次变化的分析思考，让学生在做中学，自主探究，建构主义强调应用已学的知识建构未知的知识领域，培养学生用数学的意识。

步骤三：“建”建立模型与求解

教师：增长率为常数（大于0且不等于1）的变化方式，叫做指数增长．B景区人数变化情况如何用数学式子表示呢？尝试列出表格寻找数据间的逻辑关系。

学生：通过小组探究列出表格

表2 年份与旅游人数关系

设X年后的游客人数为2001年的y倍，那么可得数学表达式

y=1.11x（x∈（0，+∞））①，其中指数X是自变量

教师：学生们通过一步步探究得出B地区人数变化的函数模型，这就是简单的数学建模过程。

设计意图：循序渐进地引导学生对实际问题建立数学模型，有利于学生对实际问题的分析，学生从对模型的感性认识上升至理性思考，进一步打消学生对分析实际问题的畏难心理，对数学建模有初次的感知和信心。

步骤四：“练”练习巩固

教师：针对情境问题1，同学们已经尝试通过函数模型①近似表示出B地区旅游人次变化情况，已经初步感知如何运用数学建模解决实际问题，在此基础上，下面就请同学们自主探究完成情境问题2，可采用假设法并列出表格，观察数据之间有怎样的数量关系？尝试并建立相应函数模型近似表示之间的关系。

同学：通过列表找出逻辑关系：

表3 死亡时间与体内碳14含量的关系

符号：x表示死亡年数，y表示剩余碳14，可得y=（1-p)x，则

教师总结：更一般的，用字母来替换两个函数式的底数，那么函数可表示为y=ax，其中a＞0，且a≠1，x为自变量。通过同学们经历数学建模过程找到问题1和问题2的函数模型，引出本节课所要学习的什么是指数函数：一般地，形如函数y=ax(a＞0且a≠1)叫指数函数，其中是X自变量，定义域为R。

设计意图：教师引导学生完成问题1的数学建模，学生对指数模型还停留在初步感知，学生通过自主练习完成问题2的建模活动，建构知识，使指数函数概念这节课更具有启发性和成长性，学生在练习中提升数学建模素养，感受成功的喜悦。

步骤五：“用”学以致用

作业布置：必做题：115页练习3，求1个月（30天）后，海藻是原来的多少倍？

选做题：115页阅读与思考，通过上网查询，能否给出一个倍增的指数函数模型实例。

设计意图：通过作业布置，必做题是对指数函数模型的巩固应用，选做题通过查阅资料放射性物质的衰减，寻找倍增的指数函数模型实例，是对指数函数模型的变式应用，引导学生数学建模的意识和喜爱，从而循序渐进的提升建模素养。

步骤六：“悟”感悟理解

教师引导下学生总结：本节课通过对景区B和放射性元素碳14两个实际问题的解决，经历从实际函数问题出发转化化归为数学问题，其次通过建模辅助工具信息技术画出指数函数图像，再次通过演绎推理、数据计算拟合出符合实际情境的函数模型并对函数模型进行求解，最后回归于实际的指数函数问题中。教学中由“特殊—一般”得出指数函数概念，其中体现了数学建模在解决实际问题的广泛应用。

设计意图：“悟”感悟理解，这一环节相当于对指数函数概念的堂课小结与回顾，不仅仅要求学生通过本堂课回顾学习指数函数的概念，还归纳总结在指数函数教学过程中渗透建模思想，体现完整建模过程，真正会用数学建模思想，从而在函数课堂及今后学习中潜移默化地提升学生建模素养，深化学生用数学建模方法解实际生活问题的意识。

三、教学设计反思

相比于传统指数函数概念教学设计，本教学设计创新教学设计流程并融入数学建模思想，引导学生通过两个实际数学问题，找到用于近似模拟B地区人数变化规律和死亡生物体内碳14变化规律的指数函数模型，通过教师引导学生自主探究经历数学建模过程，抛弃了教师的满堂灌与专制，实现了数学建模课堂教学多角度、多趣味、多形式，实现了有效的指数函数模型教学。通过教学五步走“创—析—建—练—用—悟”，进一步创设数学建模环境，加强师生的数学建模意识。不仅在课堂教学设计中渗透数学建模思想，而且在课后鼓励学生们利用课余时间进行数学建模活动完成选做题，进一步理解指数函数模型且激发学生建模信心，在日常教学过程中潜移默化提升学生建模素养。