基于云图积分法的曲轴疲劳裂纹应力强度因子研究*

曹壮壮，吕文彻， 康凡军， 王留涛， 罗 震

(1.长安大学 道路施工技术与装备教育部重点实验室，陕西 西安 710064； 2.陕西法士特齿轮有限公司 陕西省齿轮传动重点实验室 陕西 西安 710119；3.宝鸡石油机械有限责任公司 陕西 宝鸡 721004)

0 引 言

曲轴是整体式压缩机的关键零部件，因其承受多种交变载荷，使曲轴轴颈区域易产生裂纹，导致曲轴承载力下降。根据以往疲劳强度理论可知，当曲轴产生疲劳裂纹，即发生了失效。事实上曲轴出现裂纹到彻底失效，还存在一定的使用寿命。因此对曲轴开展断裂力学的研究，对曲轴裂纹扩展剩余寿命的预测具有重大意义，可以为整体式压缩机的再制造提供技术支持。

为此，研究人员通过计算应力强度因子来研究曲轴裂纹的扩展情况：Pandey[1]、Fonte等[2]对曲轴的断裂失效进行了系统研究，计算裂纹前缘的应力强度因子，结合Pairs公式对曲轴裂纹扩展寿命进行预测；何畏等[3]利用Ansys分析EQ4H型内燃机曲轴的疲劳裂纹扩展过程，并获得其应力强度因子值；常志刚[4]利用有限元软件模拟裂纹扩展过程，获得曲轴裂纹萌生过程中的裂纹前端的应力强度因子，讨论了裂纹形状对其影响的规律；游孟平等[5]利用 ABAQUS模拟曲轴疲劳裂纹扩展，计算不同裂纹形状下的应力强度因子。

虽然很多学者借助有限元计算应力强度因子，但是大多数在求解时需要借助其他软件或编辑辅助程序进行求解。为此，笔者提出采用ABAQUS内置的云图积分法计算曲轴疲劳裂纹的应力强度因子，使求解更加容易，并且误差较小。首先对曲轴轴颈的表面初始裂纹进行模型建立，通过Abaqus模拟裂纹扩展过程，然后采用云图积分的方法获得应力强度因子，研究初始疲劳裂纹前缘的应力强度因子的变化情况，并对裂纹前端特殊点与解析解进行对比。最后通过改变初始疲劳裂纹大小尺寸，求解不同尺寸下的裂纹尖端和自由边处应力强度因子，分析其影响规律，并将应力强度因子与初始疲劳裂纹大小进行拟合，为预估曲轴的疲劳寿命提供理论基础。

1 曲轴轴颈表面裂纹应力强度因子理论

1.1 表面裂纹的形状假设

对于实际初始裂纹，可将其进行简化。文中是将曲轴轴颈表面初始疲劳裂纹简化为半圆形曲线，如图1所示，其中A、B、C分别为裂纹尖端和自由边的点，c为半圆直径的一半，a为半径(裂纹深度)，θ为半圆参数角。

图1 轴颈表面裂纹位置与形状参数 图2 三维裂纹模型

1.2 应力强度因子的解法

应力强度因子反映了裂纹尖端应力应变场的变化情况，因此研究裂纹扩展过程，可通过计算其应力强度因子进行。文中提出采用云图积分的方法进行应力强度因子计算。首先对轴颈表面初始裂纹进行简化，如图2所示模型。

图2中XY面为裂纹前缘的法平面，YZ平面为切平面。结合线弹性断裂力学分析理论，可得初始裂纹尖端的位移场:

(1)

(2)

(3)

式中：u、v、w为图2中局部直角坐标系X、Y、Z中任点的位移；r、θ分别为极径和极角；G为剪切弹性模量，G=E/2(1+ν)，ν为泊松比；k与ν有关；KI、KII、KIII分别为裂纹尖端的应力强度因子(Ⅰ为张开型、Ⅱ为滑开型、Ⅲ为撕开型)。

根据式(1)～(3)可以计算出存在初始疲劳裂纹尖端的应力强度因子：

(4)

2 曲轴轴颈表面半椭圆裂纹应力强度因子的计算

2.1 模型的建立

以整体式压缩机的曲轴为研究对象，曲轴的主轴颈2R=212 mm，宽度99 mm(文中为减少计算量取20 mm), 预置裂纹直径2c=4 mm，半径a=2 mm(初始裂纹)。在Abaqus的part模块下，建立曲轴主轴颈三维模型，使用该模块下的扫掠工具进行建立，如图3。在interaction模块下完成初始疲劳半圆裂纹的定义，其中裂纹的扩展方向为半径方向，如图4。

图3 轴颈表面裂纹初始位置 图4 疲劳裂纹定义

由于有限元的计算准确性受到模型划分网格质量的影响，因此需要对轴颈初始裂纹区域的网格细化，为此选取六面体结构，选择C3D8R的单元类型，共划分出网格564 784。此外，由于裂纹尖端具有很高的奇异性，采用标准的5节点楔形单元对初始裂纹尖端进行网格类型的定义，如图5。

图5 裂纹尖端网格示意图

轴颈材料为42CrMo，弹性模量为216 000 MPa，泊松比为 0.3。载荷为拉伸载荷，为轴颈两个端面施加200 MPa的拉应力，采用静力通用分析步，初始增量步设定为0.01，并在历程输出中输出裂纹应力强度因子数值。

2.2 应力强度因子的计算结果分析

通过对轴颈初始裂纹的扩展进行仿真分析，可以在Abaqus软件的输出文件中直接获得轴颈初始疲劳裂纹前缘的应力强度因子，并将所得数据进行整理和分析，如图6。

图6 轴颈半圆形裂纹前缘应力强度因子

由图6可知，305.23为裂纹尖端的KI值最大，254.87为裂纹自由边的KI值最小，通过图形可以发现KI呈现出两端大中间小的对称规律。KII的变化规律与KI相反，其中裂纹尖端的KII值最大为10.60，裂纹自由边的KII值最小为0.30，图形呈现出类似抛物线的变化规律。KIII则与KI、KII均不相同，其变化规律呈现出逐渐增加的线性规律。通过对KI、KII、KIII进行比较可以发现，在整个裂纹前缘的三种应力强度因子中，KI数值远大于KII、KIII，其中KII、KIII最大值也只占到KI最大值的3.4%和3.2%。由此可以发现，在轴颈裂纹发生疲劳扩展的过程中，I型应力强度因子占主导，远大于II型、III型，说明轴颈裂纹的扩展主要为张开型裂纹。

2.3 裂纹大小的影响

图7 不同裂纹深度时半圆形初始裂纹尖端A和自由边B(C)处的KIeq

由图7可以发现，当载荷不发生变化时，裂纹尖端A和自由边B(C)处的KIeq值随着半圆形裂纹半径的增加呈现出上升趋势。由于裂纹尖端处的扩展过程对整个裂纹扩展最为重要，因此根据图7的结果，对A点处应力强度因子与裂纹大小进行了拟合，结果如下：

KIeq=61-57×0.96a

(5)

3 结 论

采用Abaqus分析了含有半圆形初始裂纹的曲轴轴颈的Ⅰ型、Ⅱ型、Ⅲ型应力强度因子。最后分析了初始裂纹大小对轴颈半圆型裂纹尖端A和自由边B处复合型裂纹应力强度因子的影响。得到以下结论。

(1) 对于Ⅰ型裂纹，其前缘的应力强度因子表现为自由边的值大于尖端处的值，并呈现对称规律。Ⅱ型裂纹前缘的应力强度因子表现出与Ⅰ型相反的变化规律。Ⅲ型呈现出逐渐增加的线性规律。此外，Ⅰ型应力强度因子远大于Ⅱ、Ⅲ型，因此轴颈裂纹扩展过程表现为张开型。

(2) 通过计算不同初始裂纹大小模型下裂纹前端的应力强度因子，研究裂纹大小对裂纹前端应力强度因子变化的影响发现，在同等受力水平下，KIeq随裂纹半径的增大而增大。

(3) 在考虑到裂纹深度对应力强度因子影响的基础上，给出曲轴应力强度因子的表达式，具有广泛的适应性，为曲轴的裂纹扩展和剩余寿命预估提供了理论依据。