数学教学中“懂而不会”现象的成因剖析与对策研究①

毛锡荣

(无锡市辅仁高级中学 214123)

1 问题提出

作为一名数学教师，我们经常会听到一些同学尤其是学习成绩处于中下等水平的同学，时不时地会发出如下抱怨：“老师在课上所讲的内容我都能听得懂，但是临到让自己独立做题时，就往往是得不出思路、找不出方法，不知道从哪里下手了，为什么会这样呢？真让人感到很困惑．”这种现象，就是我们通常所说的“懂而不会”，即学生在学习新知识时，课堂上能听得懂老师的讲解，课后却不会灵活地加以运用．在高中数学学习中，这种“懂而不会”的现象是普遍存在的，成为阻碍学生学习进步的一个难以治愈的“顽疾”和让广大数学教师感到十分头痛的问题，不仅影响了学生数学学习的成绩，也挫伤了学生数学学习的积极性，制约了数学教学质量的提高，既困惑着学生，也困惑着老师．那么，造成学生“懂而不会”现象的深层原因是什么？在我们的数学教学中，怎样才能有效地消减“懂而不会”的现象呢？

2 成因剖析

在日常生活中对于“懂”和“会”的理解，人们的认识基本上是趋向于“相近”，但从实际上来讲，其所表示意义却存在着程度和境界上的差异．所谓的“懂”，是指“知道”和“了解”，是学生学习的一个基本境界，是听着老师讲解时表示能够了解、明白．而这里的“会”，则是指“理解”和“领悟”，是不仅仅表现在听得懂老师所讲授的内容，更重要的是达到会说(既知其然又能知其所以然 )、会认(透过现象看本质)和会做(能举一反三、触类旁通)，这是学生的学习需要追求的一个更高的境界．“听懂”只是会做的开端和基础，是比较容易实现的，而“会做”则需要学生在熟练地操作和不断地反思的过程中建构起“自己的理解”，需要在掌握知识本质的基础上将其内化为自身的能力．从“懂”到“会”之间存在着一定的距离，有很大的一段路要走，这不仅仅是数学知识和方法在量上的简单积累的问题，同时也是学生对数学知识和方法的本质的深入理解和数学认知结构不断完善的过程．要实现“懂”和“会”两者之间的有效联结，真正做到既“懂”又“会”，首先需要我们搞清楚的是导致学生“懂而不会”的具体原因，从而能够从根源上去寻找解决这一问题的方法和措施，消解“懂而不会”的问题．数学教学的过程是师生相互作用的过程，学生在数学学习中之所以产生“懂而不会”，既有教师“教”的原因，也有学生“学”的问题，两者如影随形．分析“懂而不会”现象成因，必须从教师的“教”和学生的“学”两个方面入手．[1]

从教师教学的层面来看，主要问题在于不少老师的课堂教学长期处于一种“为我”的状态而不是“为他”的状态．在进行教学设计时，常常只是站在自己的认知角度来思考问题和组织教学内容，而不是根据学生的认知特点去设计教学情境，从学生的认知水平和理解能力去预设课堂活动；在实施教学的过程中，为了节省时间赶进度，很多时候都是通过“大容量，快节奏”，采用“直接告知”的形式，教师自己滔滔不绝地讲解，让学生充当“听众”和“观众”的角色，抹去了知识形成和发展的过程，不给学生思考的时间和空间，没有把“让学生自己会做”的方法教给学生．这样，学生学习的主体作用得不到发挥，对一些数学概念的内涵和外延、命题的得出和推理过程、方法的形成和适用范围缺乏本质的、深刻的认识，不能形成正确的理解，“懂”得肤浅，对一些例题和习题的解答过程没有得到充分的体验，对一些解题活动的经验没有在总结升华的基础上加以积累，遇到问题很自然地会感到无从下手，更不会举一反三了．日积月累、久而久之，必然导致一些学生出现“懂而不会”的问题.

从学生学习的层面来看，学习缺乏主动性、学习方法不当、学习习惯不好是主要原因．不少同学的学习习惯于“听”和“记”，而不善于“思”和“悟”，以为“听清楚了”和“记下来了”就可以了，而不愿意在理性思考和深入感悟上下功夫，使得对所学到的知识、方法的本质和内涵认识模糊、一知半解、似懂非懂．有些同学在学习中浅尝辄止，听了老师的讲解以后，能机械地套用课本上的定义、定理、法则或者公式，去解决一些简单的习题，便以为自己已经懂了．还有些同学所认为的懂，是在老师的诱导或提示下、沿着老师所设计的路线，听懂了或者看懂了而已．这样的“懂”依赖于教师“懂”得肤浅，不是真正意义上的理解，等到在陌生的情境下、遇到稍微复杂一些的问题，在没有老师的启发和铺垫的情况下，让其独立地加以解决时就会感到手足无措、举步维艰．长期以往，导致对于基础知识的认识模糊不清，对于基本方法的理解似是而非，从而不会运用所学习的数学知识和数学思想方法去分析问题、无法将其灵活地运用于解题的过程之中，“懂而不会”就在所难免了.

造成“懂而不会”这一现象的因素还有很多，而作为教师，十分重要的一点，就是要弄清学生“懂而不会”这一现象背后所掩藏的深层原因，认真研究教学内容，分析学生的学习情况，制订切实有效的教学对策，不断优化教学设计，努力改进课堂教学，充分发挥学生学习的主体作用，让学生积极地参与教学活动，在经历知识发生、发展的过程中学会理性地思考，理解数学知识和数学思想方法的本质，最大限度地避免和消减“懂而不会”这一现象的产生，帮助学生实现“由懂到会”，达到“既懂又会”.

3 对策研究

数学是研究数量关系和空间形式的科学，理解是数学学习的重要环节，导致“懂而不会”的根本症结是学习的深度不够，学生对所学的知识和方法没有建构起自己的理解，对于基本概念的本质、基础知识之间的联系以及蕴含在知识之中的数学思想方法认识不清，即对所学的内容没有做到真正的理解和掌握，从而难以将其融会贯通并灵活地加以运用．要消减这种现象，必须高度关注理解性学习，并将其切切实实地落实到教学活动的每个环节之中，使学生在建构起自己对数学知识、数学思想和数学方法的真正理解的基础上，学会数学知识、思想和方法的灵活应用，实现由“懂”到“会”的跨越，解决“懂而不会”的问题.

3.1 挖掘内涵，揭示本质，建构理解，奠定由“懂”到“会”的基础

“数学从根本上来说就是玩概念的”，数学概念是一类事物在数量关系和空间形式方面本质属性的抽象，它不仅是导出全部数学定理、法则的逻辑基础和建立理论系统的重要前提，同时也是解决数学问题的主要依据．因此，数学概念的教学在高中数学的教学中具有举足轻重的地位和作用．长期以来，由于受教学理念和应试教育等因素的影响，许多老师在概念教学中，片面追求解题的时间和数量，只注重概念的应用而忽视概念的内涵与外延的挖掘和知识本质的揭示，只是形式化地教数学概念而没有提炼出蕴含在概念之中的数学思想和数学思维方法，认为概念教学就是给出定义并对其作出解读，然后让学生予以记忆，而没有看到数学中的许多概念，其本质上是一种数学观念乃至是一种处理数学问题的思维方法．因此，在进行概念教学时，常采用“一个定义，几点注意”的方法，快速地告知概念，指出运用概念的注意点，让学生记忆，剩下的就是用大量时间进行解题的操练，造成学生对概念的认识含糊不清、一知半解、似是而非，从而不能很好地理解和运用概念，使得概念与解题脱节，知道了概念、有了知识，但却不会用其去解题．概念教学必须坚决杜绝这种功能化的做法，要高度重视对概念的深度剖析，突出概念多元理解的教学，引导学生多角度、多层面地透视概念，让学生学会从不同侧面、选择不同的角度对同一概念进行刻画、予以表征，充分地揭示出概念的内涵与外延，把握概念的不同形式及其之间的有机联系，进而认识数学概念的本质属性，形成完整的易于掌握的概念体系，建构起自己对数学概念的深度理解，为灵活运用数学概念去分析和指导数学解题、达成由“懂”到“会”奠定坚实的基础.

3.2 经历过程，建立联系，促进理解，搭建由“懂”到“会”的桥梁

美国著名数学教育家乔治·波利亚指出：“要让学生看到数学建造过程中的‘脚手架’，而不是数学的现成品．” 孙维刚老师在《我的三轮教育教学实验》一书中强调：“事事处处、时时刻刻，教师总是站在系统的高度教授知识，让知识总是以系统中的一个环节的面貌出现在学生的面前；学生呢，也要站在系统的高度去接受知识，把握知识、掌握知识之间的联系与规律．”[2]对数学知识的教学，如果采用掐头去尾烧中断的方法，忽视知识的来龙去脉，有意缩减思维过程，没有让学生亲身经历数学知识发生和发展的过程，没有对数学知识的来龙去脉和相互联系形成正确的认识，不能从整体的角度和系统的高度去准确把握知识之间的联系和规律，就可能使学生思维断层，出现消化不良的现象，导致对知识的表层理解和机械记忆，不仅会影响学生对数学概念的发展的认知，而且会制约和影响学生对具体数学问题的解决．数学学习是特别讲究系统性的学习，只有在系统上把握局部，才能获得对数学知识的真正理解．数学教学中，教师要能站在系统的高度，重视知识的过程性教学，在知识的建构和原型的建构时，要让学生充分经历知识、方法的发生、发展和信息加工的思维过程，充分揭示出知识之间的联系，对各种可能的思路(包括失败的思路)尤其是学生的思路都要进行充分的探索和分析，让学生有全面、完整的思维经历和认知，使学生在了解知识结构、掌握知识和方法间联系的基础上，促进对知识和方法的深度理解，建立知识组块，形成知识网络和良好的认知结构，从而在解决数学问题时，使其在长时记忆中便于激活、利于提取，能够有计划、有条理地思考解题的方法和途径，搭建起由“懂”到“会”的桥梁.

3.3 引领思考，训练思维，深化理解，打通由“懂”到“会”的路径

数学是思维的科学，数学的知识和方法是数学思维活动的结果，解决数学问题，从本质上讲，就是根据问题的具体条件的解题目标，联想长时记忆中与之有密切联系的数学知识和方法，思考如何实现条件与结论的贯通以达成解题目标的思维过程．数学教学中，要把引领学生思考、训练学生思维放在第一位，将其作为最重要、最本质的活动来进行．教师要善于运用各种不同的教学手段，使学生处于积极的思维状态之中，通过追寻数学家的思维、展示教师的思维、暴露学生的思维，让学生学会数学地思考问题，提高理性思维的能力．每一道例题的讲解，都应使学生明确：解决这一问题的方法和途径有哪些？这些方法和途径是如何想到的．教师要能注意稚化自己的思维，站在学生的视角，将自己是如何分析问题的条件、如何联想和运用所学的数学知识、方法寻找解决问题的思路的途径，以及解决问题前后的思考过程明明白白地、不遗余力地展示给学生．切忌把学生当作接受知识和方法的容器，就题论题，给出解法，得到结论后就万事大吉，而缺少思维方法的指导和思维过程的展示，导致学生难以提高解题能力．解决数学问题的思路和方法、策略和规律等，往往都是蕴含在数学概念的概括、数学定理的生成、数学公式的推导、数学结论的提炼和解题过程的分析之中，这些过程必须让学生亲身经历、体会和感悟来加以内化．教师要设法让学生在这样的过程中学会自主思考，明确面对一个新问题，应该怎样去寻求解决思路？其依据是什么？思路受阻后应如何调整思路？为什么这样调整？等等，[3]进而深化对数学的知识、思想和方法的认识与理解，形成研究数学问题的一般的思维方法，打通由“懂”到“会”的路径.

3．4 提炼方法，积累经验，巩固理解，实现由“懂”到“会”的跨越

数学问题的解决，离不开对数学知识的正确理解和数学方法的灵活运用，更需要解题经验的积累．数学知识和数学方法是紧密联系、不可分割的，前者是进行问题解决的基础，后者是实现问题解决的手段和途径，而问题解决的过程又可以反过来促进知识的内化和方法的活化．数学教学中，教师在使学生掌握基础知识的同时，要注意充分发挥例题和习题的教学功能，强化对学生进行解题方法的训练，让学生在解题的实践中巩固对基础知识的认识和理解，提炼出解题的方法和规律，积累起解题活动的经验，完成由知识和方法向解题能力的有效迁移．学生在解决数学问题时的“会”，需要有一定的思维固着点，即有能够迁移的原型和范例，有可资利用的通性和通法，有一些相应的策略和窍门．乔治·波利亚在《怎样解题》一书中，将数学解题过程概括为“弄清问题”、“拟定计划”、“实现计划”和“解题回顾”等四个环节，如果说“弄清问题”是解题的起点，那么“解题回顾”则是解题的归宿和升华．求出问题的结果、得出问题的结论，只能说是完成了解题任务的一半，更重要的是解题后的回顾与反思．数学中的很多习题都是有相似之处的，可以归为 “一类题”，教师要善于从解题思路的分析、解题规律的总结提炼、解题过程与方法的优化、问题的归类、拓展和引申等方面入手，开展解题的回顾和反思活动，通过对知识和方法的综合运用与变式演练，使学生能够在熟悉和掌握通性与通法的基础上，选择最适合自己的、最佳的解法，将其固化下来，并能将其灵活地迁移运用到具体问题的解决之中，实现“举一反三”、“触类旁通”，为从“听懂”的境界到“会做”的境界提供一条清晰的思路，实现由“懂”到“会”的有效跨越.

4 结束语

数学学习中，出现“懂而不会”既是正常的也是较为普遍的现象，帮助学生有效地消减“懂而不会”的现象，实现真正意义上的“既懂又会”，是教学中需要引起高度重视和必须致力解决的问题．作为一名数学教师，必须认真研究新课标的教学理念，不断地改进教学的方法和手段，注意站在学生的视角、基于学生的理解来设计教学内容和教学活动，引导学生独立思考、自主探究、动手实践、合作交流，让学生在知识的发生、发展与灵活运用的过程中，深化对数学知识的认识和理解，弄清数学知识的本质特征，理顺数学知识间的有机联系，完善认知的结构，感悟并获得数学知识和数学思想方法，学会理性思考，训练数学思维，形成数学技能，提升数学素养，达成真正意义上的“懂”，实现真正意义上的“会”.