“一点”的新定义：从“数”的关联，到“形”的变构——2022年南通市中考新定义压轴题的命制与再思考*

徐 强

(江苏省南通市海门区中小学教师研修中心 226100)

2022年南通市中考数学试卷在保留南通市历年中考数学命题“立足基础，注重能力，注重对数学的本质和学生的数学核心素养的考查”等特色的同时，又按照教育部、江苏省的评估报告提出的意见和近期颁发的教改、课改文件的新要求进行了优化，降低绝对难度，提高相对难度，创新相应核心知识的考查方式，充分体现“两考合一”的功能，严格落实“双减”要求，对初中数学教学起到了很好的导向作用．现将该卷中一道“一点”的代数新定义压轴题的命制过程与反思拓展整理成文，与同行分享．

1 命制过程

1.1 立足“原则”，确定方向

按照“在传承中求创新，在稳定中求发展”的压轴题命题原则，继续构建“一点”的代数新定义压轴题，形成一道对函数单元整体考查、适度兼顾几何知识的函数综合题，但适当降低“概念理解”等绝对难度，难度系数为0.35～0.45．

(1)考查的内容领域与试题背景

全卷最后一题的内容领域为综合与实践，试题背景为“一点”新定义的数学情境，其情境表述方向为“函数图象上点的特征”的描述．

(2)考查的主干知识与能力维度

考查的主干知识为一次函数、二次函数、反比例函数的图象与性质，能力维度为理解概念、问题解决．

(3)考查的思想方法与核心素养

着重考查分类讨论思想、方程与函数思想、数形结合思想，突出考查数学抽象、数学建模、数学运算等核心素养．

1.2 研透“传承”，分析迁移

(1)分析特点

命题组从2019年、2021年南通市中考第26题代数新定义出发，分析其定义的特点．

(2019年南通中考第26题)定义：若实数x，y满足x2=2y+t，y2=2x+t，且x≠y，则称点M(x，y)为“线点”．例如，点(0，-2)和(-2，0)是“线点”．

已知：在直角坐标系xOy中，点P(m，n)．

(1)P1(3，1)和P2(-3，1)两点中，点是“线点”；

(2)若点P是“线点”，用含t的代数式表示mn，并求t的取值范围；

(3)若点Q(n，m)是“线点”，直线PQ分别交x轴、y轴于点A，B，当|∠POQ-∠AOB|=30°时，直接写出t的值．

试题解读 这道“一点”的代数新定义题聚焦一点中横、纵坐标“数”的关联，强化了代数推理变形的水平，从命题的角度来说是一种创新，从“新定义”的提出到“问题的设置”的命制过程凝聚了命题组全体成员的集体智慧，清晰呈现了“阅读—理解—转化”的模式，充分体现了“式”中思法、“图”中求道的味道，是一道很好的考查“综合与实践”领域的创新试题[1]．

(1)分别判断函数y=x+2，y=x2-x的图象上是否存在“等值点”？如果存在，求出“等值点”的坐标；如果不存在，说明理由.

(3)若函数y=x2-2(x≥m)的图象记为W1，将其沿直线x=m翻折后的图象记为W2．当W1，W2两部分组成的图象上恰有2个“等值点”时，直接写出m的取值范围．

试题解读 这道“一点”的代数新定义题仍体现一点中横、纵坐标“数”的关联，一方面尽管弱化了关系，使横、纵坐标间的“数”的关联更为简洁，但整合考查了三大函数图象及性质，从命题的角度来说又是一种创新；另一方面尽管新定义的表述很容易理解，并不在概念的理解上“为难”学生，但问题设置有着很好的区分选拔功能，同时也承载着明确的教学导向，如最后一问借助数形结合分析抛物线与直线的位置关系，需要精确画图、临界分析，解题教学时教师可带领学生全面分析出新函数图象上“等值点”的个数．

基于以上“传承”的思考，命题组对定义内容与方式进行了归纳，不难发现：两年的侧重点尽管有所差异，但均是“定义一个点的横、纵坐标数量关系”，即“数”的关联．

(2)迁移构思

基于命题方向的要求，今年仍保持从“函数图象上点的特征”描述定义，为此，命题组从函数图象上点的“数”的关联出发，构思定义：函数图象上的点到横轴的距离等于1；函数图象上的点到横轴的距离不大于1；函数图象上的点到两坐标轴的距离同时等于1；函数图象上的点到两坐标轴的距离同时不大于1；……

(3)形成初稿

(ii)若一次函数y=mx-3m+2的图象上存在唯一一个“近轴点”，求m的值.

(iii)若二次函数y=-(x-n)2+3n2-6n+2的图象上存在“近轴点”，结合图象求n的取值范围．

分析 第1稿是在“传承”中顺势而为，保留了2021年的定义方式，聚焦“定义”改变了设问方式．有利于考查学生对“新定义”的概念、性质、关系、规律的理解、表达与应用，注重考查学生的思维过程，避免死记硬背、机械刷题[2]．并列式三小问，难度递增，以结构化数学知识函数(反比例、一次函数、二次函数的图象与性质)主题为载体，分别考查了抽象能力、推理能力、运算能力、几何直观和空间观念等，总体符合命题方向．

1.3 寻求“创新”，变构试题

“一点”的新定义创新点在哪儿？

(1)从“数”的关联，到“形”的变构

在对第一稿的打磨中发现定义中的“近轴点”所属区域相对固定，即在以原点为中心，边长为1，且边平行于坐标轴的正方形的区域内．学生只需找出函数与正方形的位置即可顺利求解．作为全卷最后一题的压轴题，应承载着区分选拔功能．显然，本题的难度不足以承载选拔功能，起不到把关作用，不能让优秀学生脱颖而出．

新定义中关键的是“正方形”，“形”的变构的方向一是改变“形”的形状，即改变“到两坐标轴的距离”的大小，如函数的图象上的一点到横轴的距离不大于1，同时该点到纵轴的距离不大于2，此时“形”变为“矩形”；“形”的变构的方向二是改变“形”的大小，即改变数值“1”的大小，如“1”可以变为“2”“3”“4”……

基于以上思考，命题组在初稿的基础上，把“到两坐标轴的距离同时小于或等于1”变成“到两坐标轴的距离都不大于n”，让正方形的边长从定量到变量，增加试题区分度和难度．第2稿如下：

分析 此稿在初稿的基础上，内涵更为丰富，但发现此时命名为“近轴点”不太合适，基于形的变化特点，于是将之改名为“n阶方点”．试题第3稿如下：

分析 定稿语言更为简洁，“n阶方点”与举例更具启发性，很好地渗透了特殊与一般的关系，也给人耳目一新之感！

(2)从“形”的变化，到再构试题“问题”

以上定义中关键的是“正方形区域的大小”随n(n≥0)大小的变化而变化，基于此变化，命题组再构求解的“问题”，第(1)问通过“1阶方点”考查反比例函数；第(2)问通过“2阶方点”考查一次函数；第(3)问通过“n阶方点”考查二次函数，结果如下：

(2)若关于x的一次函数y=ax-3a+1图象的“2阶方点”有且只有一个，求a的值；

(3)若关于x的二次函数y=-(x-n)2- 2n+1图象的“n阶方点”一定存在，请直接写出n的取值范围．

2 反思拓展

2.1 导向：教学无需大量机械训练

作为全卷最后一题(也称压轴题)，仍聚焦新定义的理解与问题解决，仍以三大函数图象及性质的内容考查为主，适当兼顾几何知识，不仅很好地传承了南通市“新定义”的命题风格，又在原有基础上进行了较好的创新．这种“顺势而为”的命题方法，对落实“双减”要求有着较好的教学导向，不给通过大量机械训练或参加校外培训的考生提供任何答题的便利，学生只要在课内学好学足即可．更多需要教师重视日常的解题教学，要“以题理法”，强化“新定义”的思维方式，从“数”的关联，到“形”的变构，“以不变应万变”.如本题定义理解教学时，要引导学生从特殊的“数”联想特殊的“形”，从特殊的“形”联想特殊的“数”，从而数形结合，从特殊到一般理清“定义”的本质；问题解决教学时，要引导学生画图，借助数形结合分析函数图象与正方形区域的位置关系，带领学生在变化中寻求不变，临界分析出函数图象上“n阶方点”的个数及存在的条件．

2.2 破解：教学要从一题到一类

函数图象上“一点”的新定义是有规律可循的，笔者以为教学时适度渗透“如何构想的方法”，不断强化多题归一、举一反三，培养思维的深刻性和灵活性，这样才能使学生从“机械操作”走向“理性思维”，从而有效突破“一遇陌生问题就一筹莫展”的软肋．“一点”的新定义，基本类型有：

类型1 若一个函数图象上存在横、纵坐标的比等于n(n≥0)的点，则称该点为这个函数图象的“n倍点”(如2021南通市中考第26题，即n=1)．

类型2 在平面直角坐标系xOy中，若一个函数图象上的点P(x，y)满足x=ky+m，y=kx+m，且k≠0，x≠y，则称点P为这个函数图象的“线点”(如2019南通中考第26题)．

(1)下列三个函数中，图象的“1段点”存在的有.(填序号)

(2)若关于x的一次函数y=mx+3m+3图象的“2段点”有且只有一个，求m的值.

(3)若关于x的二次函数y=-(x-a+1)2-2a+2图象的“a段点”一定存在，请直接写出a的取值范围．

显然，函数图象上“一点”的新定义尽管类型有所不同，但其命题的手法一般都是构建横、纵坐标之间的关系，“形”的变构是关键，如点M(x，y)—定义x，y之间的数量关系—定“形”．其考查的核心知识为数式变形，函数与方程及特殊的三角形、四边形的性质．其注重考查的核心素养是代数推理素养——先思后变，运算推理，把握规律，关注数学知识的联系与转化，考查函数眼光；几何直观素养——先画后算，数形结合，生成方法，关注学生思维的层次与迁移，考查建模能力[1]．

2.3 拓展：再构可从“静态”到“动态”

“一点”新定义的再构可以从“静态”一个点横、纵坐标存在关联定义，走向“动态”关于一点的变换的定义．

拓展1：平面直角坐标系xOy中，若一个函数图象上的点P(x，y)绕点O顺时针旋转90°得点Q恰好也落在该函数图象上，则称点P(x，y)为该函数图象的“内旋点”.

(1)下列函数中，存在“自对映点”的函数是.(填写序号)

(2)函数y=2x2+3x-6的图象上是否存在“自对映点”，若存在，求“自对映点”坐标；若不存在，说明理由.

变式1 将上题横线处改为“关于(1，1)对称的点”；

变式2 将上题横线处改为“关于y=x对称的点”．

通过“拓展”可见，命题并不神秘，关键还是要在研究中抓住变中不变的构题要素，如拓展的本质是“函数图象上关于原点对称、关于(1，1)对称、关于y=x对称的两个点”，基于此可以归于一类“函数图象上关于某某对称的两个点”，如此，对试题命制角度的再思考，在重构中呈现“结构化”思维，在迁移运用中让学生不断增进思维的灵活性，教学也就从简单的“模仿”走向了本质的“思考”，必将提高教学的针对性和效益．

3 结束语

“双减”政策下用好试题资源，解读试题“来路、思路与去路”的命制过程，研究试题命制的“有章有法”“有形有路”是“减负增效”的路径之一，也是提高作业质效管理的需要．这不仅可以加速提升教师解题、研题、命题、教题的水平与能力，优化解题教学，而且可以大大增强日常教学教考衔接度，提高选题的精准性、作业的针对性，助推教学达成的效果．