非一致地震激励下大跨铁路斜拉桥车桥耦合振动研究

雷虎军，李书斌，黄炳坤

（福建工程学院 土木工程学院，福建 福州 350118）

引言

斜拉桥刚度大、跨越能力强、造型美观，是大跨铁路桥梁的首选。截止到2021年12月，我国高速铁路运营里程已突破4万km，其中大跨斜拉桥得到了广泛应用。研究表明，地震在威胁高速铁路桥梁安全［1－2］的同时，还会诱发显著的行车安全问题［3－4］。因此，如何确保地震时大跨铁路斜拉桥的行车安全，是该类桥型应用中面临的一大难题。

针对该问题，目前主要的解决思路是将地震作为外部激励，采用车桥耦合振动理论进行仿真计算，以此来评估地震时桥上列车的行车安全性。韩艳等［5］将27个自由度的多刚体车辆模型与模态综合法建立的桥梁模型耦合，求解了某斜拉桥在地震作用下的车桥耦合振动响应；熊建珍等［6］针对天兴洲长江大桥主桥，采用自编的地震－车－桥分析程序分别研究了货车、中速旅客列车和高速旅客列车过桥时的行车安全性。在上述研究中，地震动输入全部采用一致激励。然而，对于大跨斜拉桥，不同支撑点的场地差异可能较大，地震动的空间变异性不容忽视。张楠等［7］采用大质量法在车桥系统中实现了非一致地震激励的输入，研究了不同地震动强度下高速列车通过某钢桁梁斜拉桥时的行车安全性；范晨阳等［8］以千米级大跨度公铁两用斜拉桥为例，研究了行波和相干效应对桥梁的影响，结果表明一致激励法会低估结构的地震响应。然而，目前关于地震动空间变异性对大跨铁路斜拉桥车桥系统动力响应影响的研究还十分有限，其影响规律还未达成共识。

文中基于功率谱密度函数矩阵合成空间相关的多点地震动，并利用MATLAB编制合成程序。在此基础上，以某主跨432 m的大跨高速铁路钢桁梁斜拉桥为例，系统研究了地震动空间变异性中行波效应、场地效应和失相干效应对该高速铁路斜拉桥车桥系统动力响应的影响，研究结论可为同类大跨高速铁路斜拉桥的设计提供参考。

1 空间相关地震动的合成与验证

Hao等［9］首先基于随机过程理论，提出了空间相关地震动的合成思路。文中在此基础上，充分考虑不同支撑点的场地差异，基于谱方法合成空间相关的多点地震动，并利用MATLAB编制合成程序。

1.1 空间相关地震动的合成

根据随机振动理论，空间任意点间的相关性可通过互功率谱和自功率谱来表达。因此，桥梁各支撑点间的相关性可统一用功率谱密度函数矩阵表示为：

式中：n为支撑点数；Skk(iω)为k点的自功率谱密度函数；Skl(iω)为k点和l点的互功率谱密度函数。

自功率谱密度函数采用Clough－Penzien模型［10］，如式（2）所示：

式中：ωg、ξg、ωf和ξf为场地土参数；S0为谱强度因子。根据参考文献［11］可得不同场地、不同地震动强度下的场地土参数和谱强度因子。

空间任意两点k和l的互功率谱密度函数Skl(iω)可按式（3）计算：

式中：Sk(ω)和Sl(ω)分别为两点的自功率谱密度函数，表征不同点之间的场地效应；ρkl(ω,d)为相干函数，表征不同点的相干效应；exp( -iωdkl/va(ω))反应了地震波的行波效应，dkl为两点之间的距离；va(ω)表示视波速。相干函数模型可采用屈铁军模型［12］：

式中：α(ω)=α1ω2+α2，b(ω)=b1ω2+b2，α1=0.167 8×104，α2=0.121 9×102，b1=-0.005 5，b2=0.767 4。

根据式（1）～式（4）和场地土参数即可组集功率谱密度函数矩阵，在此基础上可将功率谱密度函数矩阵进行Cholesky分解：

此时，不同支点k，l间ωk频率分量的幅值和相位角分别为：

采用三角函数叠加法，将强度包络函数与双求和余弦函数相乘即可得到不同点的非平稳地震动加速度时程：

式中：j=1～T，T=3n表示地震波的总条数；M为频率离散点个数；ψmk为[ 0,2π]上相互独立的随机相位角；fj(t)为强度包络函数，可参考文献［13］进行取值。

在此基础上，对生成的加速度时程进行校正并逐步积分即可得到不同点的速度时程和位移时程。

1.2 合成实例及验证

根据上述方法，采用MATLAB编制了合成程序。以后续大跨高速铁路斜拉桥的场地条件为例，生成空间相关的多点地震动，假设地震波从左往右传播，依次标记为支点1～支点6。以3.1节表1中工况4为例，图1给出了生成的加速度时程，图2对比了各点失相干损失与经验函数失相干损失。由图2可得，相关函数拟合程度均较好，验证了文中所编程序的正确性。

图1 加速度曲线Fig.1 Acceleration curve

图2 人工模拟地震波失相干损失与经验函数对比图Fig.2 Incoherency loss comparison between simulated ground motions and empirical function

2 地震激励下车－轨－桥耦合振动模型

非一致地震激励下的车－轨－桥耦合振动模型主要包含车辆模型、轨道模型和桥梁模型。其中，车辆由车体、转向架和轮对共7个刚体构成，每个刚体考虑横移、沉浮、侧滚、点头和摇头5个自由度，每辆车35个自由度；轨道模型采用有砟轨道模型，由钢轨、轨枕和道床组成；桥梁模型采用杆系单元模拟。根据上述模型，分别采用D′Alembert原理、解析法和有限单元法等即可推导地震激励下车－轨－桥耦合系统的运动方程：

式中：下标v、t、b分别代表列车、轨道和桥梁子系统；M、C、K分别表示质量、阻尼和刚度矩阵；u分别表示位移、速度和加速度列向量；Ptv和Pvt表示车辆与轨道间的轮轨相互作用力，由轮轨关系模型确定，文中采用新型轮轨关系假设、允许轮轨瞬时脱离［14］；Pbt和Ptb表示轨道与桥梁间的桥轨相互作用力，由桥轨关系模型确定；Pgt和Pgb表示地基作用于左右侧路基支撑点和桥梁的地震力，由地震力边界确定，文中采用非一致激励模式输入地震力。

基于上述模型，文献［15］详细推导了各个方程的具体表达式。在此基础上，采用Fortran 95编制了TTBSAS程序用于非一致地震激励下的车－轨－桥系统耦合振动仿真计算，并进行了有效性验证。

3 数值计算与结果分析

3.1 计算参数

以某主跨432 m的双塔双索面半漂浮体系钢桁梁铁路斜拉桥为例进行仿真计算，跨径布置为（81+135+432+135+81）m，设计车速为250 km/h，结构总体布置见图3所示。主桁为N形平行弦钢桁梁，桁距18 m、桁高14 m、节间长13.5 m；桥面为正交异性钢桥面板；桥塔为H型桥塔；斜拉索采用φ7镀锌钢丝，标准强度为1 670 MPa，弹性模量为1.95 GPa，每侧桥塔按扇形布置28对。主梁与桥塔、辅助墩、边墩、桥台采用球形支座连接。文中采用梁格模型进行仿真计算。其中，钢桥面板通过梁格法简化，横向采用单主梁，顺桥向的横梁布置与实桥一致，简化方法参考文献［16］。

图3 主跨432 m铁路斜拉桥（单位：m）Fig.3 Railway cable-stayed bridge with main span of 432 m（Unit：m）

为验证梁格模型的正确性，另外建立了板梁组合模型作为对比。在板梁组合模型中，钢桥面板采用板单元模拟，其他部分与梁格模型完全一致。利用Midas Civil 2019分别建立上述2种模型，首先对比恒载作用下2种模型主桁的竖向位移和斜拉索索力。恒载作用包括结构自重、二期恒载以及配重，二期恒载为192.8 kN/m。左半幅结构的主梁分为32个节段，主桁下弦杆节点从左往右记为E0～E32，斜拉索从左往右编号为BS14～BS1以及ZS1～ZS14，恒载作用下2种模型的主桁竖向位移和斜拉索索力对比分别见图4和图5。

图4 主桁竖向位移对比Fig.4 Comparison of vertical displacement of main truss

图5 斜拉索索力对比Fig.5 Comparison of cable forces of cable-stayed cables

由图4和图5可见：（1）恒载作用下2种模型的竖向位移曲线基本吻合，且梁格模型的跨中位移最大值比板梁组合模型略大，梁格模型的最大值为87.8 mm，板梁组合模型为85.3 mm；（2）恒载作用下，2种模型的索力分布一致，最大偏差为6.5%，出现在ZS6处。由此可见，梁格模型与板梁组合模型的质量和刚度分布较为接近，在此基础上进一步对比2种模型的自振特性，见表1所示。

表1 振型特征对比Table 1 Comparison of vibration mode characteristics

从表1可见，梁格模型和板梁组合模型的前6阶振型完全一致，且自振频率均较为接近，最大相差1.8%。由此可验证文中所建立的梁格模型的正确性，将其导入TTBSAS程序即可得到车桥耦合振动分析的桥梁模型。

该桥所在场地按8度设防，文中共设置10种地震分析工况，见表2所示。其中：工况1为无震；工况2为地震一致激励，场地类型为Ⅰ类；工况3～6仅考虑行波效应；工况7～10综合考虑局部场地效应、行波效应及相干损失。利用编制的合成程序生成工况1～工况10的地震波时程，将其输入TTBSAS程序即可进行地震作用下的车桥耦合振动仿真计算。计算中，列车采用我国的高速列车模型，假设地震从左往右传播，地震发生时刻与列车上桥时刻相同并同时输入横向和竖向地震波，列车过桥车速为250 km/h，时域积分步长取0.1 ms。

表2 地震工况Table 2 Earthquake conditions

3.2 行波效应的影响

首先研究行波效应对大跨铁路斜拉桥车桥系统动力响应的影响。分别考察工况2～6（行波速度分别为无穷大、250、500、1 000、1 500 m/s）车桥系统的动力响应，图6对比了不同工况下斜拉桥跨中的横向位移时程及归一化功率谱。

图6 不同行波波速下跨中横向位移对比Fig.6 Comparison of mid-span transverse displacement under different traveling wave velocities

由图6可得：（1）考虑行波效应后斜拉桥的横向位移出现了明显的滞后现象。行波速度为250 m/s时的横向位移时程相比其它波速更平缓，而行波速度为500、1 000、1 500 m/s时的横向位移时程波形相似，但幅值有差异；（2）考虑行波效应后，行波速度为500、1 000、1 500 m/s时的功率谱密度函数与一致激励相似，有2个峰值点，分别在0.115、0.346 Hz处，而行波速度为250 m/s时仅在0.115 Hz处有1个峰值点；（3）随着行波速度的增大，横向位移的波形和功率谱越接近一致激励。不同行波速度下车桥耦合系统的动力响应幅值对比见表3所示。

表3 不同行波速度下车桥耦合系统的动力响应幅值对比Table 3 Comparison of dynamic response amplitudes of train-bridge system with different traveling wave velocities

由表3可得：（1）在行波速度为500 m/s时桥梁的竖向位移最大，而桥梁的横向位移随行波速度的增大而增大；（2）当行波速度为250 m/s时，列车的各项动力响应幅值最大，且行车安全性指标随行波速度的增大而减小。由此可见，行波效应对大跨铁路斜拉桥车桥耦合系统动力响应的影响很大，不考虑行波效应会高估桥上列车的行车安全性。

3.3 场地效应的影响

对比工况7～10，考察场地效应的影响。图7对比了不同场地类型下斜拉桥跨中的横向位移时程以及横向位移的归一化功率谱。

图7 不同场地类型下跨中横向位移对比Fig.7 Comparison of mid-span lateral displacement in different fields

由图7可得：（1）随着斜拉桥桥塔所处的场地类型由I类变化至IV类，桥塔场地越松软，斜拉桥跨中横向位移峰值会急剧增大；（2）当斜拉桥位于不同场地时，其跨中横向位移的功率谱峰值频率一致，但随着场地变得松软，其功率谱峰值会增大，尤其是I类与II、III、IV类场地相差较大。由此可见，场地效应会显著影响斜拉桥的横向位移响应。进一步考察不同场地类型下车桥耦合系统的动力响应幅值，见表4所示。

表4 不同场地类型下车桥系统动力响应幅值对比Table 4 Comparison of dynamic response amplitudes of train-bridge system in different fields

由表4可得：（1）对于桥梁子系统，其竖向位移和横向位移幅值均随场地类型的增加明显增大，当场地类型由I类变化至II类时位移和加速度响应的增幅最大；（2）对于车辆子系统，各项动力响应幅值均随场地类型的增加有增大的趋势。由此可见，场地效应对大跨高速铁路钢桁梁斜拉桥的车桥耦合振动响应有明显影响，不考虑场地效应会低估列车的行车安全性指标。

3.4 失相干效应的影响

为研究失相干效应对大跨高速铁路斜拉桥车桥耦合振动响应的影响，对比工况4（不考虑失相干损失）和工况7（考虑失相干损失）下的车桥耦合响应，图8对比了是否考虑失相干效应时斜拉桥跨中的横向位移时程及归一化功率谱。

图8 失相干效应影响对比Fig.8 Comparison of the influence of de-coherence effect

由图8可得：（1）考虑失相干效应后斜拉桥跨中的横向位移峰值比不考虑时小；（2）不考虑失相干效应时，斜拉桥跨中横向位移的功率谱密度函数有2个峰值点，分别位于0.115、0.346 Hz处，而考虑失相干效应后仅在0.346 Hz处有一个峰值点。这是由于失相干效应改变了地震的激振频率，其动力响应幅值对比见表5所示，表中误差指相对误差。

表5 失相干效应对车桥系统动力响应幅值的影响Table 5 De-coherence effect on dynamic response amplitude of train－bridge system

由表5可得：（1）考虑失相干效应后，桥梁的动力响应幅值均减小，其中桥梁的竖向位移和横向位移减幅分别达8.9%和31%；（2）对于车辆子系统，考虑失相干效应后，列车的3项行车安全性指标分别减小了2.4%、4.1%和4.3%，车体的竖、横向加速度分别减小了40.8%和40.2%。由此可见，对于文中所研究的大跨度斜拉桥，考虑失相干效应会降低耦合系统的动力响应幅值。

3.5 完全空间变异性的影响

综合对比工况2和工况7，考察地震动完全空间变异性对大跨高速铁路斜拉桥车桥系统动力响应的影响。图9对比了2种工况下斜拉桥跨中的横向位移、横向加速度和车体质心横向加速度的时程。

图9 2种工况下斜拉桥车桥系统动力响应对比Fig.9 Comparison of dynamic response of train-bridge system of cable-stayed bridge under two working conditions

由图9可得：（1）考虑地震动的完全空间变异性后，斜拉桥跨中的横向位移幅值、横向加速度幅值比一致激励工况小；（2）非一致地震激励下车体质心的横向加速度幅值比一致激励下略大，且波形变化也较大；（3）采用同样的方法，对上述桥梁横向位移、横向加速度和车体加速度进行频谱分析可以发现：地震动空间变异性对车桥耦合系统动力响应的频谱分布有较大影响。

分析原因可知，文中所研究的大跨斜拉桥为对称结构，当地震沿横桥向按一致激励模式输入时，相当于对称加载，而按非一致激励模式输入时，属非对称加载。对于桥梁的位移和加速度响应，对称荷载作用于对称结构的响应比非对称荷载作用下大。其次，考虑地震完全空间变异性后，非一致激励地震在传播过程中会发生强度衰减，而一致激励下各个支撑点输入的地震动完全相同，也会使一致激励工况的桥梁响应大于非一致激励工况。而对于车体的加速度响应，受轮轨作用力的影响较大。进一步对比非一致激励工况与一致激励工况下车桥系统的动力响应幅值，见表6所示。

表6 不同工况下车桥系统动力响应幅值对比Table 6 Comparison of dynamic response amplitudes of train-bridge system under different working conditions

由表6可得：（1）对于文中所研究的大跨铁路斜拉桥，考虑地震动的完全空间变异性后，非一致激励工况下桥梁的竖向动力响应增大，而横向动力响应均减小。其中，横向位移和横向加速度减幅分别为34.4%和27.0%；（2）地震动空间变异性会增大列车的行车安全性指标，其中：非一致激励工况相比一致激励工况的脱轨系数、轮重减载率和轮轴横向力分别增大了13.4%、13.9%和8.3%；（3）地震动空间变异性会大大降低车辆的竖向和横向加速度幅值，对于文中的计算条件，降幅分别达42.1%和40.9%。由此可见，地震动空间变异性对大跨高速铁路斜拉桥车桥系统的动力响应影响显著，且影响因素复杂。因此，在进行仿真计算时，需综合考虑各方面的影响因素，建议采用完全非一致地震输入模式。

4 结论

（1）行波效应对大跨高速铁路钢桁梁斜拉桥车桥系统的动力响应影响显著。对于文中的计算条件，桥梁的横向位移随行波速度的增大而增大，而列车行车安全性指标随行波速度的增大而减小，当研究桥上列车的行车安全性时，其最不利行波速度为250 m/s。

（2）场地效应会显著影响大跨高速铁路钢桁梁斜拉桥车桥系统的动力响应。对于文中的计算条件，桥梁的竖向位移、横向位移以及列车的行车安全性指标均随桥塔场地类型的增加急剧增大，IV类场地相比I类场地的脱轨系数、轮重减载率和轮轴横向力分别增加了9.5%、10.3%和13.4%。

（3）失相干效应会降低大跨高速铁路钢桁梁斜拉桥车桥系统的动力响应，且失相干效应对车体质心加速度的影响最大。考虑失相干效应后列车的脱轨系数、轮重减载率、轮轴横向力分别减小了2.4%、4.1%和4.3%，而车体质心的竖、横向加速度分别减小了40.8%和40.2%。

（4）地震动完全空间变异性对大跨高速铁路钢桁梁斜拉桥车桥系统动力响应的影响规律复杂。其中，列车的行车安全性指标会增大，而车体的质心加速度会大大降低，列车的脱轨系数、轮重减载率和轮轴横向力分别增大了13.4%、13.9%和8.3%。建议在进行大跨斜拉桥的车桥耦合振动仿真计算时采用完全非一致模式输入地震激励。