基于高低频混合模型的近断层脉冲型地震动的模拟

周龙龙，陈辉国，雷屹欣，张左群

（陆军勤务学院，重庆 401331）

引言

近断层脉冲型地震动相比于远场地震动有很大的不同，其具有明显的方向性和脉冲特征，在速度时程中含有大幅值、长周期的脉冲波，对大跨度建筑、高边墙特种工程等工程结构具有更大的破坏力［1－2］。为此，国内外学者针对近断层脉冲型地震动的模拟做出了大量研究，相继提出了不同的模拟方法，并受到工程界的广泛关注。

早期的专家和学者在近断层地震动模拟研究上，主要将精力放在速度脉冲特性上，得到了大量的基于速度时程的理想化脉冲特征参数模型，主要的形式有三段线性的三角形模型［3］、带包络函数的分段三角函数模型［4］、Baker模型［5］、Gabor小波模型［6］、MP03脉冲模型［7］等。但这些脉冲模型频率成分单一，缺少高频成分，与实际地震动的频谱组成相差甚远。Prisetley［8］于1965年首次提出演变随机过程理论之后，国内外学者在时频非平稳地震动的模拟研究上相继提出了Kameda模型［9］，非均匀函数调制模型［10－11］，Kanai－Tajimi模型［12－13］以及后来改进的基于双模态时变修正的完全非平稳地震动Kanai－Tajimi模型［14］，这些模型能够反映出更符合真实地震数据的时频非平稳特性，对高频成分模拟也具有较好的优势。为此，文中通过确定性方法（简化速度脉冲模型）模拟地震动低频脉冲分量，随机性方法（功率谱函数模型）来模拟地震动的高频分量，然后将高低频分量在时域内进行叠加模拟频率成分更为宽泛的脉冲型地震动时程。这种混合模型方法综合了确定性方法和随机性方法的优点，既能够表现出近断层地震动的脉冲特性，又包含了其高频成分的时频非平稳特性。

1 低频脉冲分量的拟合模型

近断层地震动（距离断层破裂面30 km以内）因其独特的特性，相比于远场地震动有很大的不同，尤其是因方向性效应引起的大幅值速度脉冲特性，对工程结构会造成更复杂的影响［15］。文中选取以下2种不同速度脉冲模型进行研究。

Dickinson等［6］通过从具有代表性的地面运动记录样本中统计表征地面运动，提出了采用Gabor小波对低频脉冲速度时程vp模拟的模型，该模型的数学表达式如式（1）所示：

式中：Vp表示脉冲峰值速度；Tp为脉冲周期；TPK为脉冲峰值时刻；Nc为脉冲循环数；φ为脉冲相位角。其中，Nc和φ为随机变量，可以实现不同脉冲数且脉冲峰值不等的速度脉冲。

Mavroeidis等［7］通过对比多个简化速度脉冲模型（方波，三角函数和正弦波），发现其有很大的不足。因此，他们提出了如下的等效速度脉冲模型（简称MP03脉冲模型）。该模型由钟形包络函数和谐波函数组成，具有简单的数学表达式，如式（2）所示，各个参数有明确的物理意义，能够模拟较大频率范围的脉冲波形。

式中：Vp表示脉冲信号的幅值；Tp为脉冲周期；θ为脉冲信号的相位角；γ为信号谐振特性参数γ>1；t0为速度峰值所对应的时刻。ts和te分别表示脉冲开始和结束的时刻，且ts=t0-0.5γTp,te=t0+0.5γTp。

2 高频随机分量的拟合模型

Vlachos等［14］于2016年在前人众多改进的基础上对Kanai－Tajimi地震动模型进行了时变修正优化，提出了采用双模态时变修正Kanai－Tajimi模型模拟地震动的时变功率谱，该模型考虑了地震是由不同频率的各分量波释放能量的原理以及地震波中的P波、S波和面波到达记录点的时差，能够较好地描述地震动的时频非平稳特性。其表达式如式（3）：

式中：S(f,t)代表该模型的时变功率谱；fc为截止频率，fc=0.20 Hz；N=4；k代表不同的模态，可取1或2；ζ(k)g,f(k)g,S(k)0分别表示地表土层的阻尼比，卓越频率和模态参与因子。

3 实际地震动数据分析

上文描述了模拟低频脉冲分量的Gabor小波模型和MP03脉冲模型，模拟高频随机分量的完全非平稳时变Kanai-Tajimi模型，为验证模型的有效性，确定最优速度脉冲模型，最后叠加高低频分量生成合成的地震动时程，现采用18条实际近断层脉冲地震动记录作为此次分析的数据，如表1。根据Shahi等［16］提出的脉冲识别的量化指标PI进行脉冲验证，表中PI值均大于0，证实了该18条原始地震动均为脉冲型地震动。

表1 18条近断层脉冲型地震记录Table 1 18 near-fault pulse seismic records

田玉基等［17］对11次地震动、28条地震记录分析后发现近断层速度脉冲是小于1 Hz的低频成分，为此，文中采用赵国臣［18］提出的多尺度分析方法将18条近断层脉冲型地震动分解为界限频率定为1 Hz的低频脉冲分量和高频随机分量。图1为地震动LANDERS_YER360经分解后的高低频分量。

图1 LANDERS_YER360地震动经过分解后的低频、高频分量Fig.1 Low-frequency and high-frequency components of LANDERS_YER360 ground motion after decomposition

3.1 地震动低频脉冲分量模拟

为验证不同脉冲模型的精确度，首先需要对分解得到的低频分量数据进行参数识别，获取不同模型的模型参数值。其识别过程如下：采用Baker［16］方法对低频分量进行脉冲提取，从实际速度时程中提取最优脉冲波形，然后，将Gabor小波模型和MP03脉冲模型分别和提取到的脉冲波形进行拟合，获得相应的模型参数。对于Gabor小波模型而言，其含有Vp，Tp，TPK，Nc，φ共5个未知参数，同样，MP03脉冲模型也含有5个未知参数Vp，Tp，θ，γ，t0，针对此类模型5个未知参数的识别问题是一个典型非线性特征的多参数函数的优化问题。为此，我们引入人工蜂群（artificial bee colony，简称ABC）算法。ABC算法最早由土耳其学者Karaboga等［19］于2005年提出，并用于解决多变量函数优化问题。由于该方法基本不需借用外部信息，仅采用适应度函数作为进化的依据，目前已被广泛应用于神经网络训练、语音识别、机器学习、组合优化等应用领域［20］，对地震动脉冲模型的识别也非常有效。

图2为LANDERS_YER360地震动低频分量提取的脉冲波形，采用人工蜂群算法对Gabor小波模型和MP03脉冲模型分别进行参数提取，可得到如表2、表3所示的最优参数。其中LANDERS_YER360地震动不同模型的拟合结果如图3所示，从图中可以看出Gabor小波模型和MP03脉冲模型拟合结果均能够较好的反映速度脉冲波形，拟合效果良好。

图2 LANDERS_YER360地震动分解的低频分量提取的速度脉冲Fig.2 Velocity pulse extracted from low-frequency component of LANDERS_YER360 ground motion decomposition

表3 各速度脉冲波形与MP03脉冲模型拟合得到的最优参数Table 3 The optimal parameters obtained by fitting each velocity pulse waveform with MP03 pulse model

图3 LANDERS_YER360地震动速度脉冲不同模型的拟合结果Fig.3 Fitting results of different models of LANDERS_YER360 ground motion velocity pulse

表2 各速度脉冲波形与Gabor小波模型拟合得到的最优参数Table 2 The optimal parameters obtained by fitting each velocity pulse waveform with Gabor wavelet model

为准确的描述Gabor小波模型和MP03脉冲模型的模拟精度，体现出模型的适用性，现对表1中的18条地震动拟合数据进行速度反应谱分析，其中列举了阻尼比分别为0.05，0.1这2种情况，模型的精度由模型速度反应谱与实际脉冲速度反应谱的比值Rsv来表示。从图4～图5中可以看出，当Rsv接近于1时，该模型的弹性结构速度响应与实际越一致，其模拟精度也越高，图中黑色实线表示各条地震动的Rsv，黑色粗实线为该18条地震动Rsv的均值。

图4 Gabor小波模型Rsv曲线Fig.4 Rsv curve of Gabor wavelet model

图5 MP03脉冲模型Rsv曲线Fig.5 Rsv curve of MP03 pulse model

从图4～图5中可以看出，不同地震动由同一模型模拟时，其模拟精度也存在着较大差别，当结构阻尼比为0.1时，离散程度小，其差别小；阻尼比为0.05时，离散程度大，差别大；在Tn＞3的区间内，上述2种模型在不同阻尼比下的Rsv均值都接近于1，此时通过近似模型可以得到接近于实际地震动的反应谱值；0＜Tn＜3的区间内，MP03脉冲模型在不同阻尼比下Rsv的离散程度均大于Gabor小波模型。

总体而言，Gabor小波模型模拟结果Rsv较MP03脉冲模型模拟结果Rsv的离散程度较小，为此，文中选用Gabor小波模型用于低频分量拟合的模型。

3.2 地震动高频随机分量模拟

完全非平稳时变Kanai-Tajimi模型中，存在f(1)g(t),f(2)g(t),ζ(1)g(t),ζ(2)g(t),S(1)0(t),S(2)0(t)6个未知参数，取S(1)0(t)=1，此时原模型中含有5个未知参数，依然采用人工蜂群算法（ABC算法）进行分析，具体识别过程借鉴钟庭等［21］双模态时变K－T模型参数取值流程。图6为经过多重滤波技术得到的LANDERS_YER360地震动高频分量的时变功率谱图。

图6 LANDERS_YER360地震动高频分量的实际时变功率谱Fig.6 Actual time-varying power spectrum of high frequency components of LANDERS_YER360 ground motion

利用汉明窗平滑技术［22］对各高频分量的实际时变功率谱进行平滑，利用式（3），通过人工蜂群算法对平滑后的时变功率谱进行拟合，可得到阻尼比ζ(1)g(t),ζ(2)g(t)，取其平均值为ζ(1)g=0.002 2，ζ(2)g=0.467 0。将ζ(1)g，ζ(2)g作为已知参数代入式（3），利用人工蜂群算法对该模型进行二次拟合，得到f(1)g(t),f(2)g(t),S(2)0(t)与各时间点的关系曲线，根据高斯分布函数对f(1)g(t),f(2)g(t),S(2)0(t)进行曲线拟合，拟合结果如图7所示，拟合得到的参数见表4。

图7 (t),(t),(t)拟合Fig.7 The fitting of (t),(t),(t)

表4 LANDERS_YER360地震动(t)(t),(t)参数值Table 4 (t)(t),(t)parameter values of LANDERS_YER360 ground motion

表4 LANDERS_YER360地震动(t)(t),(t)参数值Table 4 (t)(t),(t)parameter values of LANDERS_YER360 ground motion

参数f(1)g(t)f(2)g(t)S(2)0(t)F1 0.026 5 1 484 0.571 9 a1 16.91－263.9 16.78 b1 0.850 7 115.5 2.455 F2 0.026 8 2.077×1013 0.082 5 a2 14.82－1 499 24.14 b2 0.29 274.7 10.22

根据拟合的结果，将拟合得到的各参数值代入式（3）得到经过模型化的时变功率谱。图8为经过模型化的功率谱图。

图8 模型化后的时变功率谱Fig.8 Time-varying power spectrum after modeling

利用Shinozuka等［23］提出的基于时变功率谱的加速度时程合成方法对高频随机分量的加速度时程进行拟合，如式（4）所示：

式中：x(t)表示拟合的加速度时程；Δf表示频率间隔；G(t,2πfk)表示不同时刻的瞬时时变功率谱值；φk表示（0，2π）内均匀分布的随机相位角。

将模型化的时变功率谱代入式（4）得到拟合的高频分量加速度时程，如图9所示。

图9 拟合的加速度时程曲线Fig.9 Curve of fitting acceleration time history

为验证完全非平稳时变Kanai-Tajimi模型的有效性，下面对比拟合分量和实际高频分量的加速度反应谱、归一化累积能量、强度包线和累积穿零次数，如图10～图13所示。

图10 加速度反应谱比较Fig.10 The comparison of acceleration response spectra

图11 归一化累积能量对比Fig.11 Comparison of normalized cumulative energy

图12 强度包线比较Fig.12 Comparison of strength envelope

图13 累积穿零次数对比Fig.13 Comparison of cumulative upward zero-crossing times

由图10～图13可以看出，拟合分量和实际高频分量之间在时域非平稳和频域非平稳特性上保持了较好的一致性。表明了完全非平稳时变Kanai-Tajimi模型的有效性。

3.3 高低频分量叠加拟合近断层脉冲型地震动

近断层脉冲型地震动由低频脉冲分量和高频随机分量2部分组成，以地震动LANDERS_YER360为例，将3.1节得到的拟合低频脉冲速度时程求导，获得其加速度时程，如图14所示。此时，将获得的低频脉冲加速度时程和3.2节获得的高频分量加速度时程叠加得到模拟的近断层脉冲型地震动，如图15所示。图16为LANDERS_YER360地震动原始加速度时程。

图14 LANDERS_YER360地震动拟合脉冲分量Fig.14 LANDERS_YER360 ground motion fitting pulse component

图15 拟合地震动加速度时程Fig.15 Acceleration time history of fitting ground motion

图16 原始地震动加速度时程Fig.16 Acceleration time history of original ground motion

为验证该混合模型的有效性，下面对比拟合地震动和实际地震动的加速度反应谱、归一化累积能量来分析该混合模型的拟合效果。

由图17～图18可以看出，拟合地震动时程和实际地震动时程之间能够保持较好的一致性。表明了该混合模型的有效性。

图17 加速度反应谱比较Fig.17 Comparison of acceleration response spectra

图18 归一化累积能量对比Fig.18 Comparison of normalized cumulative energy

4 结论

文章通过选取实际近断层脉冲型地震动，对其低频脉冲分量进行Gabor小波模型和MP03脉冲模型参数识别、拟合，得到模型化后的速度脉冲；对其高频随机分量进行完全非平稳时变Kanai－Tajimi模型参数识别，得到模型化后的时变功率谱，进而合成高频分量加速度时程，最后叠加高低频加速度分量，得到拟合的近断层地震动时程。主要得到以下结论：

（1）通过对比不同脉冲模型拟合速度反应谱与实际脉冲速度反应谱的比值Rsv，可以发现Gabor小波模型的模拟精度高于MP03脉冲模型。

（2）通过比较拟合高频分量和实际高频分量的加速度反应谱、归一化累积能量、强度包线以及累积穿零次数，可以发现拟合分量和实际高频分量较为吻合，能够实现高频随机分量的拟合。

（3）通过对比拟合地震动时程和实际地震动时程的加速度反应谱、强度包线以及归一化累积能量，发现两者之间能够保持较好的一致性。

因此，近断层脉冲型地震动的模拟可以通过Gabor小波模型和完全非平稳时变Kanai-Tajimi模型来实现。