填充瓶子声音的实验和理论探究

热依扎·塔斯恒，魏蔚，毕拉力，马晓栋

（新疆师范大学 物理与电子工程学院 新疆发光矿物与光功能材料研究重点实验室，新疆 乌鲁木齐 830054）

文章研究2019年第32届国际青年物理学家锦标赛（International Young Physicists′Tournament，简称IYPT）的第五题——填充瓶子。题目内容为：当垂直的水柱进入瓶子时，可能会产生声音，并且随着瓶子被填充，声音的特性会改变。探究此系统的相关参数，如水柱的速度与尺寸，瓶子的大小与形状和水温等对声音的影响［1］。

IYPT的赛题是开放的，也是中国大学生物理学术竞赛（China Undergraduate Physics Tournament，简称CUPT）和中国高中生物理创新竞赛（China Young Physicists′Tournament，简称CYPT）各省直辖市自治区比赛、各地区比赛、全国总决赛共同采用的赛题。将开水灌入暖瓶的过程中，听到的声音越来越急促，这与日常生活关系密切，无论是中学生、还是大学生，都有极大兴趣了解和探究这个问题。

目前，在文献库中有几个关于介绍这个题目的实验视频，而缺少深入的理论研究。英国哥伦比亚大学的研究者在2004年建立了液体声音的物理模型。他指出几乎所有液体声音都涉及大量的气泡，利用统计模型构造了一个实时液体声音合成器，用来激发大量气泡以在实时参数控制下创造一个大范围的液体音效［2］。在2018年的IYPT竞赛中，出现了研究瓶子音调的题目，不同的是，它所研究的是向瓶内吹气的声音［3］。关于这个现象，目前最常见的解释是空气柱振动理论［4］。曾有研究者提出用听觉辨别热水和冷水的能力，这是因为热水的粘度更小，如果用蜂蜜这个效果会明显［5］。文章根据已有的理论知识预测，在灌水的过程中发出声音是因为在瓶内空气中形成了驻波；音调发生变化是因为驻波的频率变化；文章探究空气中形成的驻波情况，以及驻波频率的变化主要与哪些因素有关。之前有很多学者对驻波的能量和频率进行了多方的研究。蒋练军［6］等得出驻波能量只在相邻波腹和波节间流动的结论并论证了相邻波节、波腹间的总能量守恒。向罗杰，刘东红［7-8］等人研究了三维长方体空间内驻波方程及对应空间的频率条件，并计算出人的听觉范围内能产生驻波的频率值，讨论了弦线上驻波产生条件并给出了弦的张力与驻波简正模式频率之间的关系。

为探究问题的答案，文章以垂直的水柱匀速逐渐进入水平放置的容器这一过程作为研究对象，采用控制变量法研究各种参量对声音的影响，对该过程产生声音的原因建立了理论公式，并对影响声音频率的各种因素进行了实验测试，进行比较详细和全面的实验探究和理论解释。

1 实验装置和理论基础

1.1 实验装置介绍

图1 实验装置

将长短不同的木条用塑料卡子搭接成一个木架，木架共有五层，如图1（a）所示；选用直径不同的圆柱形玻璃瓶子以考察瓶子的形状对声音的影响，把瓶子摆放在地面上，位于木架最底层，如图1（b）所示；选用下水口半径不同的漏斗以考察水柱的尺寸对声音的影响，漏斗安放在木架的顶部一至三层，改变漏斗安放的位置，可以调节漏斗下水口与瓶口的距离以改变水柱的流速，从而考察水柱流速对声音的影响，如图1（c）所示。

1.2 实验操作流程

对应做四组实验。第一组考察水柱下落的流速的影响，用两种不同的流速分别做两次实验；第二组考察玻璃瓶直径的影响，用两种不同的直径分别做两次实验；第三组考察水柱尺寸的影响，用两种不同的水柱尺寸分别做两次实验；第四组考察温度的影响，用两种不同温度的水分别做两次实验。

用控制变量法，按一定的编排顺序逐个改变四个相关参量，实验共分为四个组（四组实验对应四个拟变参量），每组均包含两次实验（每组的两次实验对应该组拟变参量的两个取值），每次实验重复5遍（以减小误差）。

第一组：考察水柱下落的流速的影响。通过改变漏斗下水口到瓶顶的距离来改变水柱的流速。第一次和第二次实验中，漏斗下水口到瓶顶的距离分别为8cm和12cm.

第二组：考察玻璃瓶直径的影响。第三次实验和第四次实验用的玻璃瓶的直径分别是6.1 cm和6.8 cm.

第三组：考察水柱尺寸的影响。通过改变漏斗下水口的直径改变水柱的尺寸。第五次实验和第六次实验采用的漏斗的下水口直径分别是0.35cm和0.5 cm.

第四组：考察水柱温度的影响。第七次实验和第八次实验中水柱的温度分别是20℃和90℃。

每次实验的具体操作流程如下：

（1）将漏斗置于木架的某一层，窄口向下。玻璃瓶放置在漏斗的正下方。

（2）把漏斗的下水口封住，往漏斗中注水，使水位到达一个预设的高度，并等待漏斗中的水完全静止。

（3）在第0s时刻打开漏斗下水口，水柱自由落入玻璃瓶，从第3s开始，每隔一秒测量声音的频率，测到第12s，共10个数据，记录这10个数据。需要注意：从打开漏斗下水口开始，就要持续向漏斗中补水以保持漏斗中的水位不变。在测完10个声音频率之前，玻璃瓶足以盛装落下的水，水不会满溢。再次封闭漏斗的下水口。

（4）至此，一遍实验结束，将玻璃瓶和漏斗中的水都清空。将以上1～3的步骤重复5遍，5遍记为一次实验。

（5）按编排顺序逐一改变实验参量重复上述1～4的步骤。依次类推，需做四组，共八次实验。

1.3 理论基础

在玻璃瓶被填充的过程中，下落的水柱引起水面振动，当水面振动时会引起瓶内空气振动，由于水中所产生的机械振动来自各个方向，因此在瓶内空气中所产生的振动也是各个方向的，从而产生许多杂乱无章的波，这些波在各个方向都会发生反射，但只有满足驻波条件的波能够加强从而被耳朵识别。这些声波在传播时，介质中稠密和稀疏的过程是绝热的，即介质与毗邻部分不会发生热交换［9］。瓶内空气的振动传播到瓶口时又带动瓶外空气的振动，形成从瓶内到瓶外传播的声波，因此可以听到声音。

水面由于被撞击而产生的振荡是阻尼振荡，阻尼振荡的动力学方程为，其中k、γ和m分别是振动的恢复系数、阻力系数和振动物体的质量［10］。，其中，ω′是阻尼振动的圆频率，而相当于阻力系数等于零时的简谐振动圆频率，.

当波从瓶内传播到瓶外时，瓶外空气原来是静止的，由于惯性，其振动的强度总是小于瓶内空气的振动强度。波的能量无法瞬间全部传播到瓶外，瓶内向瓶外传播的入射波，在到达瓶口时一部分出射到瓶外，一部分反射回瓶内。

图2 驻波示意图

如前所述，由于瓶内水面振动，从而在瓶内空气中产生各种波长的波，其中，波长满足、n=1,3,5…驻波条件的波，会在瓶口处形成波腹，其振幅最大，对瓶外空气的影响也最大；波长满足、n=2,4,6…驻波条件的波，会在瓶口处产生波节，其振幅最小，对瓶外空气的影响也最小。凡波长不满足上述两种驻波条件（波腹或波节）的波，即波长不满足条件

其在瓶口的振幅介于最大和最小之间，对瓶外空气的影响也介于最大和最小之间。

采用EPIDATA3.0和SPSS22.0软件进行数据管理与统计分析。采用描述性统计分析、内部一致性信度检验、Pearson相关性分析和多元线性阶层回归对数据进行统计分析。检验标准为P<0.05。

从水柱中分散开来的各部分，对水面产生不同的破坏程度，产生各种不同频率的振动，产生各种不同频率的波，其中波长满足条件=1,3,5...的波是容易测量到的波，并且n越小、波长越大的波越容易测量到，频率大的波由于惯性对瓶外空气的影响越小。

2 实验探究和理论分析

用控制变量法分别对各参数对声音频率的影响进行探究，考虑水柱的流速、瓶子的直径、水柱的尺寸、液体的温度等四个参数，并且对实验结果逐一进行理论解释。

2.1 水柱的流速对声音频率的影响

采用相同直径的瓶子，采用下水口直径相同的漏斗，在相同的温度下做两次实验。两次实验漏斗安放的高低不同，通过改变漏斗下水口到瓶顶的距离来改变水柱的流速。第一次和第二次实验中，漏斗下水口到瓶顶的距离分别为8cm和12cm.

表1 频率随时间的变化（漏斗下水口到瓶顶的距离为8cm）

表2 频率随时间的变化（漏斗下水口到瓶顶的距离为12cm）

从表1和表2均可以看出，随着灌水时间的延续，频率越来越大，听到的声音越来越急促，与日常生活中的经验相符合。这是因为水柱在水面产生各种波长不同的波，波长满足条件、n=1,3,5...的驻波，在瓶口形成波腹，振幅最大，对瓶外空气的影响最大，容易被测量到。随着灌水时间的延续，瓶口到水面的距离L越来越小，满足条件、n=1,3,5...的波长越来越小，听到的声音的频率越来越大。

比较表1和表2可以看出，水柱的流速越大，声音的频率越小。这是因为水柱的流速越大，对水面的破坏程度越大，参与振动的水的质量m越大，一方面越小，越小，振动的周期越大；另一方面越小，越大，振动的周期越小。二者引起的结果相反，但阻力是被动力，β2相对于是次要因素，总体上振动的周期T′越大，振动的频率越小。

2.2 容器的直径对声音的影响

用直径不同的玻璃瓶、下水口相同的漏斗，在相同的温度下做第三次实验和第四次实验。第三次实验和第四次实验用的玻璃瓶的直径分别是6.1 cm和6.8 cm，漏斗安放的位置相同，漏斗下水口到瓶顶的距离相同。

表3 频率随时间的变化（玻璃瓶的直径是6.1 cm）

表4 频率随时间的变化（玻璃瓶的直径是6.8 cm）

比较表3和表4可以看出，玻璃瓶的直径越大，声音的频率越小。但这个结论只是表面现象，因为水柱的流速相同而玻璃瓶的横截面积不同。表3和表4中，在相同的时间点，两个玻璃瓶水填充的程度不一样，瓶口到水面的距离L不一样，满足条件、n=1,3,5…的情况不一样。

为了严格地控制变量，应该在相同填充程度下，比较两个玻璃瓶发出声音的频率。根据填充时间与玻璃瓶横截面积成正比的关系可知，第三次实验中，在3～12s的十个时间点上的瓶口到水面的距离，分别相当于第四次实验中，时间为3.728s、4.971s、6.213s、7.456s、8.699s、9.941s、11.18s、12.43s、13.67s、14.91s时的瓶口到水面的距离。

分析表3和表4可以得出，在相同填充程度，声音的频率差别很小。例如，第四次实验中10s时的填充程度，近似相当于第三次实验中8s时的填充程度，对应的声音频率平均值分别为970.46和967.38；例如，第四次实验中5s时的填充程度，近似相当于第三次实验中4s时的填充程度，对应的声音频率平均值分别为785.75Hz和780.39Hz.

2.3 水柱的尺寸对声音频率的影响

采用直径相同的玻璃瓶、下水口不同的漏斗，在相同的温度下做第五次实验和第六次实验。第五次实验和第六次实验采用的漏斗的下水口直径分别是0.35cm和0.5 cm，漏斗安放的位置相同，漏斗下水口到瓶顶的距离相同。

表5 频率随时间的变化（漏斗下水口直径为0.35 cm）

表6 频率随时间的变化（漏斗下水口直径为0.5cm）

比较表5和表6可以看出，漏斗下水口的直径越大，水柱的直径越大，声音的频率越小。

与第一次实验和第二次实验相同，水柱直径越大的效果和水柱速度越大的效果，都是对水面的破坏程度越大，振动的周期T′越大，振动的频率越小，理论分析结果是一致的。

与第一次实验和第二次实验不同，第一次实验和第二次实验的漏斗下水口直径是一样的，填充时间是一样的，而第五次实验和第六次实验的填充时间不一样。

如前所述，为了严格地控制变量，应该在相同填充程度下，比较两个玻璃瓶发出声音的频率。根据填充时间与漏斗下水口截面积成反比的关系可知，第五次实验中，在3～12s的十个时间点上的瓶口到水面的距离，分别相当于第六次实验中，时间为1.46s、1.96s、2.45s、2.94s、3.43s、3.92s、4.41s、4.9s、5.39s、5.88s时的瓶口到水面的距离。

分析表5和表6可以得出，在相同填充程度的情况下，第六次实验声音的频率比第五次实验声音的频率小，而且它们的差别比从表5和表6直接看到的数据差别大。例如，第六次实验中6s时的填充程度，近似相当于第五次实验中12s时的填充程度，对应的声音频率平均值分别为461.83和667.85.即在相同填充程度，水柱直径越大，频率越小。

2.4 水的温度对声音频率的影响

采用直径相同的玻璃瓶、下水口直径相同的漏斗，漏斗下水口到瓶顶的距离相同，在不同的温度下做第七次实验和第八次实验。第七次实验和第八次实验的水的温度分别为20℃和90℃.

表7 频率随时间的变化（温度为20℃）

表8 频率随时间的变化（温度为90℃）

比较表7和表8，可以看出，温度越高，声音的频率越大。这是因为温度越高，水的粘度越小［11-12］，振动的阻力系数γ越小，越小、越大，振动的周期越小，振动的频率越大。

3 结语

文章研究“填充瓶子”这个大学生物理学术竞赛题目，对水柱的流速、玻璃瓶的直径、漏斗下水口的直径、温度4种参量对声音的影响，进行了比较详细、全面的实验探究和理论解释。这个问题是日常生活中常见的现象，看似简单，但在其简单现象的背后，存在比较复杂的物理机制，因此分析过程是比较曲折的。文章的理论分析，主要采用驻波和受迫振动的相关结论。采用控制变量法做实验，在理论分析时，透过现象看本质，考虑驻波产生的条件，始终在相同填充程度下比较声音的频率，给出了前后自洽的理论解释。反射波和入射波叠加形成驻波，反射的位置应该在瓶口附近有一个比较大的范围，其中不同位置反射程度不同，是一个复杂的问题。文章采用相对简单的模型，把反射位置确定在瓶口，给出了简洁易懂的理论解释。文章既有较完整的理论基础知识和理论分析，也有相应的实验方案和数据，对该题目做了较为全面和系统的分析和讨论，希望对后续的该类竞赛类题目在探讨方法上有所启发。研究的题目非常贴近日常生活，在指导学生对该题目研究的过程中，不断激发学生做科学研究的兴趣，引起学生对生活中细微之处的常见现象的观察和思考，从而提高学生可持续的专业综合能力培养，特别是实践能力培养。还可以有效拓展学生的基本理论知识，使学生增长探索理论知识和实验操作的能力；培养学生坚韧不拔的科研品格和坚定不移的科学态度，提高学生理论联系实际和深入分析现象背后的理论依据的能力，使学生体会科学研究的思维方式和处理问题的方法；深化学生的创新活动和思维，学习新知识和应用新知识。希望在物理实践教学和科普活动中发挥积极作用。