二维磁微极流体方程一致吸引子的分形维数

吴 苑， 李晓军

(河海大学 理学院，江苏 南京 211100)

当考虑二维不可压流体的微观结构及电磁特性时,本文研究如下磁微极流体方程组：

(1)

(2)

(3)

divu=0，divh=0,

(4)

u(x,τ)=uτ,ω(x,τ)=ωτ,h(x,τ)=hτ,x∈Ω,τ∈R,

(5)

u(x,t)=ω(x,t)=h(x,t)=0,(x,t)∈∂Ω×[τ,∞),

(6)

并且非自治外力是概周期的.

流体力学是自然科学中的一个重要研究领域,如流体力学Navier-Stokes方程，它能有效描述流体中的湍流现象,是牛顿第二定律在流体中的推广,关于该方程的研究已取得许多进展.但随着研究的深入,人们发现大量的流体中含有微粒(如血液、液晶、悬浮液等)且这些微粒间存在相互作用.为了研究这些微粒间的作用对流体运动产生的影响,Eringen在文献[1]中最早提出微极流体模型.它与经典流体力学模型的区别在于在流体的每一点，除了普通速度u以外,还考虑了微旋转速度ω.此后,微极流体方程得到了广泛研究[2-4].文献[5]最早介绍了磁微极流体模型.它可用来描述导电微极流体在磁场存在下的运动,在实践中有着广泛的应用,如航天航空科学、物理学、工程技术等领域.对磁微极流体的深入研究,有助于更好地理解与其相关的、应用更广泛的流体力学方程.

本文主要研究二维磁微极流体方程解的长时间性态的几何刻画.无穷维动力系统研究的基本问题之一是找到一个约化系统,使其表现出与原系统相同的渐近行为.吸引子可以用来描述方程解的长时间行为,但在无穷维动力系统中吸引子有时间和空间上的混沌现象,结构更为复杂.分形维数是描述物体占有空间规模和复杂程度的重要指标,可以用来简单刻画吸引子的几何性质.同时,非自治动力系统在一定条件下具有一些自治系统的特性,因而研究一致吸引子的存在性及其结构是非自治系统的主要问题之一.文献[6]研究了微极流体模型中自治情形下全局吸引子的存在性及其有限维性.该结果只涵盖了外力项是常数的情况.文献[7-8]利用相空间H与V之间的光滑性以及V紧嵌入到H中的Kolmogorovε-熵,证明了二维Navier-Stokes方程一致吸引子的维数有限性.本文应用该方法证明方程组(1)～(6)的一致吸引子具有有限的分形维数.但是磁微极流体模型中需要考虑微旋转场和磁场对流体运动的影响,在原方程中加入u·∇ω和vr∇·ω等项,使得解的估计更加困难,比研究Navier-Stokes方程更复杂.由于有限的分形维数对应一个有限的几何维数，故本文结果可为该方程的数值模拟与计算提供理论依据.

1 预备知识

1.1 符号与函数空间

1.2 一些算子的定义及性质

定义三线性泛函:对所有的u,v,ϖ∈V,定义

由分部积分公式可得

b(u,v,ϖ)=-b(u,ϖ,v),b(u,v,v)=0,∀u,v,ϖ∈V,

(7)

(8)

b1(u1,ω2,φω)+b(u1,h2,φh)-b(h1,u2,φh).

由(7)～(8)式可得

(9)

α(∇ω,∇φω)+γ(∇h,∇φh)+β(divω,∇φω)，

由文献[9-11]可知上述算子有下列性质.

引理2[10-11](ⅰ)存在常数δ=δ(vr,Ω),使得

-(R(w),Aw)≤

(10)

(11)

(ⅱ)存在常数α′>0,δ′>0，使得

(12)

(13)

(ⅲ)存在某个常数c1,c2>0,使得

(14)

(15)

R(w(t))=G(t),t>τ,τ∈R,

(16)

w(τ)=wτ=(uτ,ωτ,hτ),τ∈R,

(17)

其中G(t)为依赖于时间的函数.

文献[12-13]用Galerkin方法证明了问题(16)～(17)解的存在唯一性，得到如下结果.

1.3 一致吸引子

设X是一个Banach空间,令{U(t,τ)}={U(t,τ)|t≥τ,τ∈R}是作用于X的双参数映射,即U(t,τ):X→X,t≥τ,τ∈R.

定义1称双参数映射{U(t,τ)}为X中的一个过程,若其满足

U(t,s)U(s,τ)=U(t,τ),∀t≥s≥τ,τ∈R,U(τ,τ)=Id,τ∈R.

(18)

1.4 一致吸引子的分形维数

估计预紧集的分形维数对无穷维动力系统的有限维约化有很重要的作用[14].令(M,dM)是一个度量空间,K⊆M是M的一个非空预紧集,K在M上的分形维数定义为

其中NM[K;ε]表示M中半径为ε,覆盖K的开球的最小数目.

(H1)辅助Banach空间Y紧嵌入到Banach空间X;

(H4){UG(t,τ)}t≥τ在吸收集B上是一致(X,Y)-光滑的,即对任意的t>0,存在κ(t)>0,使得

∀u,v∈B;

其中1≤L(t)≤c1eβ t,c1,β>0.

定义3对ε>0,度量空间M中的预紧集K的Kolmogorovε-熵为

Hε(K;M)=lnNM[K;ε].

Hε(Y;X)∶=Hε(BY(0,1);X)=lnNM[BY(0,1);ε].

下面给出Banach空间X、Y中一致吸引子分形维数有限性的抽象结果,其详细证明见文献[7].

利用将辅助Banach空间Y紧嵌入相空间X的方法能得到X中一致吸引子A的分形维数有限性.下面我们给出一致吸引子A在辅助Banach空间Y中分形维数的有限性.

2 解的一致估计

在本节中,我们推导问题(16)～(17)的解的一些估计,这对证明方程一致吸引子的分形维数有限性有重要作用.

(19)

(20)

其中c>0是一个常数.

(B(w,w),w)+(R(w),w)=(G,w).

(21)

由(9)式知(B(w,w),w)=0.再根据(12)式可得

(22)

对(22)式右边应用Young不等式和Poincare不等式可得

(23)

由(22)～(23)式可得

(24)

(25)

再次考虑(21)式,应用(13)式可得

由Young不等式和Poincare不等式可得

应用Gronwall不等式,可得

从而

(26)

所以结论成立.

(27)

(B(w,w),Aw)+(R(w),Aw)=(G,Aw).

(G,Aw)-(B(w,w),Aw)-(R(w),Aw)≤

(28)

由上式可得

由Gronwall不等式知,对所有t≥s>τ,有

(29)

应用(19)～(20)式可得

故由(29)式可得

所以结论成立.

(30)

根据Young不等式可得

对上式应用Gronwall不等式可得

(31)

因为t-τ≥ε,ε∈(0,1],由(20)式及(27)式可得

(32)

其中cR>0是仅与R有关的常数.由(31)式可得

(33)

再根据引理6得证.

由(15)式可得

由Young不等式及(10)式可得

应用引理1,由上式可得

对上式应用Gronwall不等式可得

∀t≥s>τ.

(34)

(35)

其中cR是一个只与R有关的常数.由(34)～(35)式可得

再应用(33)式可得

其中ε∈(0,1].所以结论成立.