带电粒子在正交均匀的电磁场中的二维运动

白映祥

(甘肃省陇南武都八中 甘肃 陇南 746000)

在正交均匀的电、磁场中，沿与磁场方向垂直的平面射入的带电粒子是否会处于平衡状态？这是中学生常常提出的一个问题．本文在探讨这个问题时，不考虑粒子所受的重力．

1 带电粒子在正交均匀电磁场中的运动分析

设在空间某一区域内充满着电场强度为E的匀强电场和磁感应强度为B的匀强磁场(图1)，E⊥B，一质量为m，电荷量+q的粒子，以与B垂直的速度v0进入场内，v0与E的夹角为θ0．

图1 带电粒子射入正交均匀的电磁场

一般地说，该粒子将在与B垂直的平面内做曲线运动，为确定粒子的运动轨迹，我们取直角坐标系的xOy平面与B垂直，x的正方向与E的正方向一致，磁感应强度B垂直纸面向里，粒子进入场内时的点O为坐标原点．设粒子进入场内时开始计时，经时间t后它到达xOy平面内曲线OA上的P(x,y)点，此时粒子的速度v与E的正向的夹角为θ，于是我们有

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

式中

FE=qE

FB=qvB

由式(2)和(3)得

因为当x=0时

故

C1=mv0sinθ0

所以

(6)

由式(1)和(6)得

FE-qBvsinθ=

这个微分方程的解是

式中

令

则

x=-Acos(ωt+φ)+P

(7)

因为当t=0时

x=0

所以

P=Acosφ

(7a)

式(7)对t求导得

因为当t=0时

所以

v0cosθ0=ωAsinφ

(7b)

由式(7a)和(7b)得

而因为

有

积分上式得

(qBP+mv0sinθ0)t+C2

因为t=0时，y=0，所以

因此

(8)

下面进行坐标变换：

设

令

x′=x+l

由式(7)得

(9)

令

则由式(8)得

(10)

于是在新坐标系x′O′y′中，有

这是以ωt+φ为参变量的旋轮线参变方程．由此得知，带电粒子在正交的匀强电场和匀强磁场中的运动轨迹是旋轮线.

这对应于

而当v0=0时，参变方程(9)和(10)简化为

图2 正电子在相互垂直的匀强电、磁场中的二维运动

这表明此时带电粒子沿y轴做匀速直线运动．

2 带电粒子在正交均匀电磁场中的受力分析

现在我们来考查带电粒子在运动中的受力情况．

x有极值的条件是式(7)的导数为零

即当x有极值时，粒子的水平分速度为零，且

ωt+φ=2nπ,(2n+1)π,(n=0,1,2,3，…)

这时

因为粒子只具有沿y方向的分速度，所以作用在粒子上的电场力和洛伦兹力必在一直线上.

负号表示合力的方向跟电场强度的方向相反．

F′=FE-FB=

F″=FE-FB=

F″=FE-FB=

3 进一步的思考

最后应该指出，因为式(9)、(10)右端的第一项和第二项中都含有共同因子q，所以将q换为-q时，x′和y′同时变号，即-q粒子与+q的运动轨迹对坐标原点O′对称．

下面是参考数据(以正电子为例)

m=9.1×10-31kg

q=1.6×10-19C

由图2(a)有

l≈0.11 m

Aφ-Asinφ≈0.04 m

由图2(b)有

l≈0.25 m

φ≈0.53π

由图2(c)有

图2为正电子在相互垂直的匀强电、磁场中的二维运动，具体数值如下.

在图2(a)中曲线a-v0=0

曲线b-v0=2.0×107m/s

在图2(b)中v0=4.6×107m/s

在图2(c)中v0=1.0×107m/s