数学应用：撬动学生深度学习的支点

张正英

［摘  要］ 数学应用是撬动学生深度学习的支点。作为教师，要营造应用的氛围，立足学生的思维，着力引导学生探究，并对学生的数学应用进行积极的评价。对数学知识的深度应用呼唤着数学教学走向整合、走向整体、走向结构、走向系统。教学中，教师要引导学生全身心投入、全方位建构、全息性感受与体验。通过数学应用，生成学生的数学智慧，让学生的数学学习深度发生。

［关键词］ 数学应用；教学策略；深度学习

学生的数学学习不仅仅是习得的过程，更是应用的过程。学生的数学应用，不仅是指“写数学”的作业活动，还包括“说数学”“做数学”等活动；不仅包括学生的实际应用，还包括学生的审美应用。在小学数学教学中，教师要从学生的学习力提升、数学核心素养立场出发，引导、启发学生的数学应用。数学应用是撬动学生深度学习的支点。作为教师，要引导学生全身心投入、全方位建构。通过数学应用，生成学生的数学智慧，让学生的数学学习深度发生。

[?]一、变“消极应用”为“积极应用”

数学应用是学生深刻认识数学知识本质的重要方式，是培育学生数学核心素养的最直接、最有效的学习方式。在小学数学教学中，教师要鼓励学生应用，激发学生的应用兴趣，调动学生的应用积极性，让学生从传统的数学“消极应用”转变为“积极应用”。积极应用的过程是学生数学审视、数学质疑、数学批判的一个过程。在数学教学中，教师要引导学生全身心投入，积极主动地寻求解决问题的方法。

积极的应用过程是学生对相关数学知识进行深度加工、精加工的过程。在引导学生积极应用的过程中，教师要变学生的低阶认知为高阶思维。要聚焦数学知识的本质，磨炼思维。比如教学“比的基本性质”（苏教版六年级上册）之后，教师可以一改传统的由教师出题、学生答题的方式，让学生出题。相较于教师出题，学生出题的样式更丰富、更生动、更具多样性。如我校一位教师在教学“比的基本性质”之后，就提出了这样的问题：比的基本性质有什么作用？这样的问题能引发学生的积极思考，推动学生的类比思维。有学生说，“分数的基本性质可以用来化简分数，比的基本性质应该可以用来化简比”；有学生说，“化简分数要求化成最简分数，我想，化简比也应该化成最简比”。在學生积极猜想的基础上，学生设计、研发了诸多的化简比的类型，诸如整数比如何化简、分数比如何化简、小数比如何化简等。还有学生想到了混合比（比的前项和后项分别是小数和分数等）如何化简、数量比（比的前项和后项有不同的单位）如何化简等。这样的一种问题设计，就将学生推向了数学应用的前台。学生不是消极地等待教师出题，而是根据所学的内容，根据自己的已有知识经验来设计、研发习题。相较于教师出题，学生出题更能彰显学生数学学习的主动性、积极性、创造性，更能激发学生的数学思考、探究潜质。

积极应用关注学生在数学学习中的样态，关注学生在数学学习中的个体表达。通过积极的应用，学生能够建构数学知识与相关问题的关联，能提炼出针对不同问题的解决问题的图式、策略、模式等。在积极主动地设计、研发相关问题的过程中，学生掌握了数学知识的本质，生成了数学思考、探究的智慧，迈向了数学的深度学习样态。

[?]二、变“浅层应用”为“深层应用”

学生对数学知识的应用有“浅层应用”和“深层应用”两种。一般来说，浅层应用就是指学生对数学知识的简单的、基础性的直接应用。深层应用就是学生对数学知识复杂的、灵活的、变式性的应用。相较于浅层应用，深层应用更具挑战性，也更具有趣味性。在深层应用的过程中，教师可以培养学生的数学思考力、批判力和创新力。

在深层应用数学知识的过程中，学生不仅仅是数学知识的回忆者、模仿应用者，更是数学知识的创造应用者。作为教师，要引导学生从问题中搜集关键条件、证据，引导学生将条件和已学知识建立关联，从而帮助学生逼近数学知识的本质，生成学生的数学应用智慧。可以这样说，每一次的数学应用尤其是变式性的应用，都是从不同的层面、侧面来凸显数学知识的本质内涵，都是从知识的表层意义潜入知识的深层意义的过程。在深度应用的过程中，学生不再在知识的表层滑行，而是对数学知识有了深刻的感受、体验、感悟。比如在教学“梯形的面积”（苏教版五年级上册）这一部分内容时，简单性、浅表性的应用就是已知梯形的上底、下底、高，直接套用梯形的面积公式求出梯形的面积；有一定深度的应用是要求学生“反其道而行之”，也就是已知梯形的面积、上底、下底，求出梯形的高；而创造性的应用则是一种实际的变形性的应用，如已知一堆钢管的最上面一层的根数、最下面一层的根数以及层数，要求这堆钢管的总根数等。借助深层次的数学应用，能让学生对数学知识的理解产生一种豁然开朗、茅塞顿开的感受与体验。深层应用是建立在学生身体、心理、认知与情感等交互统一、感应的基础上的。对数学知识的深层应用能让学生的数学认知与数学情感水乳交融，不仅能让学生获得一种耳目之愉，还能让学生获得一种心神之悦。

一般来说，深层应用往往伴随着学生的创造性思维。对于学生的深层应用，教师要积极地予以反馈、评价。在评价的过程中，教师要变传统的预设教学为学生积极的、主动的互动参与。合理的、科学的评价能促进学生的数学应用。在发散学生数学思维的同时，要深化学生的数学学习行为，从而让学生的数学学习行为更活跃、更灵动、更开放。

[?]三、变“单一应用”为“多维应用”

良好的数学应用不仅着眼于数学知识（包括概念、判断等）的单一层面的一种性质、属性，还要引导学生进行全面、综合的应用。这样的一种综合、全面的应用，笔者称之为“多维应用”。多维应用不仅能完善学生的数学认知结构，还能发展学生的数学关键能力和必备品格。在多维应用的过程中，教师要引导学生进行积极的迁移。在迁移的过程中引导学生判断、提取、总结、应用、累积等。

多维性的数学应用具有一种全息性，也就是说，多维应用能让学生从各个层面对数学知识形成一种洞悉、洞察。多维性的数学应用应当遵循着由浅入深、由小到大、由少到多、由单一到整体的过程。数学应用不应当是机械的、盲目的、线性的，而应当是灵动的、多维的、综合的、立体的一个过程。传统的数学应用，往往是数学知识的直接汲取，而深层应用则是数学知识的积极思维与联想、想象等。比如教学“分数乘法应用题”（苏教版六年级上册）这一部分内容时，很多教师都是遵循教材的基本教学要求，反复地出示一些“已知单位‘1的量”“求一个数的几分之几是多少”的问题。这样的问题，容易让学生形成解决问题的套路，甚至形成固化思维、惯性思维等，不利于学生对问题展开真正的、具体的分析。笔者在教学中，借助“分数的意义”以及“分数与份数”之间的关系，将“分数除法应用题”乃至“稍复杂的分数乘除法应用题”引入其中，不断拓展学生的思维。在这个过程中，学生不再机械地套用解决问题的模式，而是积极主动地展开分析：谁是单位“1”的量？单位“1”的量已知还是未知？怎样解决这样的问题？学生借助题目中的分率，以及分率与平均分的份数、表示的份数等之间的内在关联，积极主动地展开分析，从而解决问题。在这个过程中，学生的问题解决不再依赖于模式、套路，而是展开灵动的思维、探究。学生能够对数学知识进行积极主动的取用，进而实现了数学知识的相互转化、积极迁移。

深层应用是学生数学学习的重要方式。作为教师，要营造应用的氛围，立足于学生的思维，着力引导学生探究，并对学生的数学应用进行积极的评价。在引导学生进行数学知识的深层应用过程中，教师要让学生成为发现者、探索者。要引导学生用数学的眼光看世界，用数学的大脑考量世界。对数学知识的深层应用呼唤着数学教学走向整合、走向整体、走向结构、走向系统。当学生的数学学习需求、数学学习实践等连为一体时，学生的数学深度学习就会真正发生。