一类定边对定角问题的解法探究

⦿安徽合肥一六八陶冲湖中学 武前炜

1 引言

三角形中的有关线段计算是平面几何常考试题，常常利用勾股定理、相似性质或三角函数来计算，不同的方法计算难易程度不一样.

2 解法探究

下面通过两个例题对定边对定角问题进行解法探究.

图1

图2

解法1：(一线三等角相似)如图2，在y轴上分别取点M,N,使得∠AMO=60°,∠BNP=120°,由“一线三等角”可得△APM∽△PBN.分别过点A,B作y轴垂线，垂足为点E,F.

ME=NF=1,AM=BN=2.

解法2：(三角形面积)设点P(0,y)，y>0.

由距离公式可得，

根据三角形铅锤公式面积计算,得

解法3：(辅助圆)先来看基本图形，如图3，△ABC中，定边AB所对的∠C为定角α.

图3

图4

由图形定边对定角，考虑△ABC外接圆⊙O，如图4，根据圆周角性质可知∠AOB=2α，于是问题转化为在等腰三角形AOB中来解决.特别地，一些题目中α取一些特殊角度，从而△AOB为特殊的等腰三角形，极大地方便后续计算.

图5

根据反比例函数的对称性可知，点O为线段AB的中点，从而

过点A作AN垂直于x轴，垂足为点N，过点E作EM垂直于y轴，垂足为点M.

在Rt△EMP中，由勾股定理得

解法4：(正切和角公式)站在高中视角下，本题无需构造，直接列式建立等量关系计算.

如图6，分别过点A,B向y轴作垂线，垂足分别为点E,F.

设∠BPO=α,∠APO=β,则α+β=60°.

图6

图7

拓展：初中生通过构造三角形相似可以进行正切和角公式的推导.如图7，在矩形ABCE中，点D在边EC上，点F在边AE上，且FD⊥BD,连接BF，∠FBD=α,∠DBC=β.

不妨设DE=1，则EF=tanβ.

评析：合理联想与构造是一种重要的数学解题能力，也是平面几何魅力所在.解题后要善于总结归纳，而不应停留在题目本身，多琢磨其结构，多反思其用途与变化，使其成为今后解题的工具.

例2如图8，在△ABC中,∠BAC=135°，AD⊥BC于点D.若BD=6,CD=20,则线段AD的长度为______.

图8

图9

解法1：(构造45°等腰直角三角形)由∠BAC=135°可知其补角为45°，联想构造45°的等腰直角三角形.如图9，过点C作AC的垂线交BA延长线于点E，再过点E作BC的垂线交BC于点F.则出现“一线三直角”的全等结构△ADC≌△CFE(AAS)，从而可得AD=CF,EF=CD=20.

设AD=a，则CF=a.

由AD∥EF，知△BAD∽△BEF.

解得a=4(负值舍去).

即AD=4.

解法2：(对称法)由∠BAC=135°，可知∠B+∠C=45°.如图10，分别沿着AB,AC将△ABD,△ACD对称至△ABE,△ACF,延长BE,CF交于点G.易知∠GBC+∠GCB=90°,即∠G=90°.

根据对称性质,可得

BE=BD=6,CF=CD=20，

AE=AD=AF，

∠GEA=∠GFA=90°.

从而得出四边形AEGF为正方形.

不妨设AD=a，则AE=AF=GE=GF=a.

在Rt△BCG中，由勾股定理得

GB2+GC2=BC2.

即(6+a)2+(a+20)2=262，得a=4(负值舍去).

所以AD=4.

图10

图11

过点O作OE⊥BC,E为垂足,则

过点O作AD的垂线交AD的延长线于点F，可得矩形OEDF，从而DF=OE=13,OF=DE=7.

在Rt△AOF中，由勾股定理得

AF2+OF2=OA2.

解得AD=4(负值舍去).

解法4：(正切和角公式)

由正切和角公式知

解得AD=4(负值舍去).

以上两例的前三种解法都属于构造法，构造后的图形是平时常见的基本图形.中考题中的一些“难”题有意识地考查学生分析问题和解决问题的能力，这就要求学生在平时的解题训练中，注重反思积累，也需要教师有意识地选择典型题目作为素材，挖掘图形结构，归纳总结通性通法.不仅要认识基本图形，了解其蕴含的关系，更要熟悉基本图形的结构特征.往往一些考题将其一部分隐去，增加了思维难度，需要观察后进行合理联想、尝试，从而让解法自然生成.对于几何问题，“几何直观”是直达“学生最容易想到或者适合最近发展区的解法”的重要途径.所以在分析问题的过程中，学生若能从几何直观出发挖掘出题目中的隐含条件，则问题“柳暗花明”.

3 结语

张景中先生认为：“一种方法解很多题，要好过很多方法解一道题.”这里的“一种方法”绝不是技巧性强、灵机一动的妙法，而应是最基本、最自然的通法.站在数学思维的角度，自然的解法才是最好的方法，因为自然的解法才是学生能想到的方法.上述两例的几种构造解法都很巧妙，其中作辅助圆属于通法，由定边定角联想辅助圆，这应该成为师生认知共鸣的方法，只有这样才能更好地培养学生思考问题和探究问题的能力.