基于粒子群算法的深沟球轴承优化设计

李敬雍，高飞,2，黄利平，田凌

(1.清华大学 机械工程系，北京 100084；2．洛阳轴承研究所有限公司，河南 洛阳 471039)

滚动轴承被称为“工业的关节”，广泛应用于电力、化工、航空航天等领域，疲劳寿命和运转平稳性是评价轴承使用性能的重要指标，两者可以通过优化轴承结构参数改善。传统的轴承优化设计需人工查阅机械设计手册等资料，由于轴承的类型和尺寸参数复杂，往往需要用到大量的公式及图表，效率低[1]。此外，目前工业界依然广泛采用CAD软件人工制图，耗费了大量人力和物力。实现轴承快速、 精确的尺寸优化设计以及轴承图纸的自动化生成，可以在提升轴承性能的同时，降低轴承设计工作量。

近年来，国内外学者关于轴承优化设计的研究有：文献[2]建立了双列圆锥滚子轴承优化设计 模型，以轴承整体寿命为优化目标，基于ISIGHT软件对模型的优化变量进行试验分析，并应用多岛遗传算法进行优化设计；文献[3]以轴承的体积和寿命为优化目标，采用序列二次规划法实现了多目标优化；文献[4]以轴承额定动载荷为优化目标，针对球直径为离散值的情况，结合数组遍历法和网格节点法，实现了深沟球轴承的优化设计；文献[5]开发了圆锥滚子轴承CAD系统，以轴承额定动载荷为优化目标，以随机方向法为优化方法，结合AutoCAD软件的二次开发生成轴承三维实体模型，并应用三维实体模型生成剖面图和轮廓图。

上述研究说明轴承额定寿命在轴承优化设计中受到广泛关注，而基于遗传算法[6-9]、免疫算法[10]等智能优化算法的优化设计已成为机械设计领域的研究热点：文献[11]以单位承载量下的总功率损失为优化目标，基于遗传算法实现了液体动静压轴承的优化设计；文献[12]以疲劳寿命和力矩刚性为优化目标，基于模拟退火算法，采用随机选取数组序号的方式实现离散变量定义域的随机取值，进而对轿车轮毂轴承进行多目标优化设计。现有关于轴承CAD系统的研究主要实现了查询选型、尺寸计算和图纸生成等功能，尽管相较于人工制图有明显改进，但优化设计部分普遍采用确定性搜索的方式，难以得到最优解；而将基于智能优化算法的轴承主参数优化应用到轴承CAD系统上，可以显著提升轴承数字化设计水平。

粒子群算法是一种收敛速度快、全局优化能力强的智能优化算法，本文以深沟球轴承额定动载荷和额定静载荷为优化目标，提出了一种基于粒子群算法的轴承优化设计方法，并通过AutoCAD软件的二次开发实现轴承图纸的自动生成与保存。

1 基于粒子群算法的深沟球轴承优化设计模型

1.1 目标函数

在正常工况下运行的滚动轴承，其主要失效原因为材料疲劳。根据Lundberg-Palmgren寿命理论，深沟球轴承的疲劳寿命为[13]

(1)

γ=Dw/Dpw，

式中：Cr为轴承额定动载荷；P为轴承当量动载荷；bm为常用优质淬硬轴承钢和良好加工方法的额定系数，深沟球轴承取1.3；fc为与轴承零件几何形状、制造精度及材料有关的系数；Z为球数；Dw为球直径；fi，fe分别为内、外圈沟曲率半径系数；λ为降低系数，对于深沟球轴承，λ=0.95；Dpw为球组节圆直径。

由(1)式可知深沟球轴承的疲劳寿命随额定动载荷Cr增大显著提升。

在载荷作用下，深沟球轴承运转过程中将产生一定的塑性变形，若塑性变形过大，沟道上出现的损伤会增大轴承运转时的噪声和振动，同时会降低轴承使用寿命[14]。当轴承静止时所受的载荷不超过额定静载荷时，则可充分避免塑性变形对轴承运转的影响。提高轴承的额定静载荷有利于提高轴承运行的平稳性及使用寿命。通常情况下，深沟球轴承球与内沟道的接触应力大于球与外沟道的接触应力。计算深沟球轴承额定静载荷时，以球与内沟道的接触应力为研究对象，轴承额定静载荷C0为

(2)

轴承额定动载荷和额定静载荷的提高均有利于提高轴承使用寿命，本文将额定动载荷和额定静载荷的加权之和C作为优化目标(后文将其称为额定联合载荷)，即

C=α1Cr+α2C0，

(3)

式中：α1，α2为加权系数，且α1+α2=1。

在轴承设计时，若更关注轴承疲劳寿命，可增大α1；若更关注轴承运行的平稳性，可增大α2。

1.2 设计变量

由(1)，(2)式可知：Cr和C0由Dw，Dpw，Z，fi，fe决定，将这5个变量作为主参数，即

X=[x1,x2,x3,x4,x5]T=[Dw,Dpw,Z,fi,fe]T。

(4)

1.3 约束条件

Dw，Dpw，Z，fi，fe的约束条件分别为[15]

kmin(D-d)≤Dw≤kmax(D-d),

(5)

0.5(D+d)≤Dpw≤0.515(D+d),

(6)

(7)

0.515≤fi≤0.535,

(8)

0.515≤fe≤0.535,

(9)

式中：kmin，kmax为球直径系数；d，D分别为轴承内、外径；βmax为最大填球角。

由(2)式可知：以球与内沟道的接触应力为研究对象计算轴承额定静载荷时，额定静载荷与fe无关。以轴承额定静载荷为优化目标时，即加权系数α1=0,α2=1时，fe取0.530。

1.4 优化算法和计算流程

粒子群算法(Particle Swarm Optimization，PSO)[16]源于对鸟群觅食行为的研究，可实现众多方案的智能寻优，在机械设计领域得到应用[17-18]。利用初始生成的N个随机粒子，经反复迭代寻找D维问题的最优解。粒子通过追随自身寻找到的最优解(个体极值pbest)和整个粒子群寻找到的最优解(全局极值gbest)更新自己的位置，速度和位置更新公式为

i=1,2，…，N；d=1,2，…，D，

(10)

(11)

粒子群算法的计算流程(图1)如下：

1)种群初始化。随机初始化生成各粒子的位置和速度，计算各粒子的适应度值，并得到每个粒子的个体最优值和全局最优值，设置最大迭代次数。

2)利用(10)，(11)式更新各粒子的位置和速度。后文主要讨论球直径为连续值的情况，当球直径取标准值时，将球直径对应的粒子位置在x1方向的取值更新为取值范围内与当前值最接近的球直径标准值，将球数对应的粒子位置在x3方向的取值更新为取值范围内与当前值最接近的整数。

3)利用目标函数计算各粒子的适应度值。引入惩罚函数，当粒子不满足约束条件时，适应度取0，从而将有约束条件的优化问题转化为无约束条件的优化问题。

4)对比各粒子的当前适应度值和个体历史最优值，若当前适应度值高于个体历史最优值，将个体历史最优值更新为当前该粒子的适应度值，并将各粒子的个体最优值和全局历史最优值对比，若个体最优值高于全局历史最优值，则更新全局最优值。

5)判断是否满足终止条件，若不满足，返回第2步继续计算。

图1 粒子群算法的计算流程图Fig.1 Calculation flow chart of particle swarm optimization

2 优化设计系统实现

2.1 系统架构

本文提出一种基于粒子群算法和AutoCAD二次开发的深沟球轴承优化设计系统，系统架构如图2所示。该系统是单机应用程序，体系结构主要分为界面层和后台求解器，两者均使用C#程序，基于.NET架构实现。界面层主要接收用户的定义信息和控制指令，具有外形参数输入、参数修改、图形显示等功能；后台求解器主要负责优化过程的实现及二维图纸的绘制，具有设计系数计算、主参数优化及图纸生成功能。

图2 深沟球轴承优化设计系统架构Fig.2 Framework of optimal design system of deep groove ball bearing

2.2 系统功能模块

将深沟球轴承优化设计系统的功能分解为文件管理模块、计算模块和绘图模块，如图3所示。

图3 系统功能分解图Fig.3 Diagram of function breakdown of system

首先通过文件管理模块加载出空白的轴承图纸模板，在计算模块通过外形参数计算kmin，kmax等设计系数；进而基于粒子群算法优化轴承主参数，计算出保持架及铆钉等零件的设计参数；然后通过绘图模块加载轴承所有尺寸参数，并自动绘制轴承二维图纸；最后调用文件管理模块实现轴承图纸文件的自动保存。

2.3 用户界面设计

Windows Form设计用户界面如图4所示，外形参数(内径d、外径D、轴承宽度B)、装配倒角rs、非装配倒角r8手动输入，主参数优化可自动得到Dw，Dpw，Z，fi，fe，上述参数均可手动修改。

图4 深沟球轴承优化设计用户界面Fig.4 User interface for optimal design of deep groove ball bearing

种群规模N、迭代次数M、惯性因子wmax和wmin、自我学习因子c1及社会学习因子c2等粒子群算法的参数需要提前在代码中设置，将代码编译完成并将封装后的文件导入AutoCAD软件后，即可打开用户界面进行操作。

3 优化结果及验证

以6214深沟球轴承为例，其外形参数为：d=70 mm，D=125 mm，B=24 mm。此外，kmin=0.24，kmax=0.31，βmax=194°。

3.1 优化结果

设定N=30，M=200，wmax=0.95，wmin=0.45，惯性因子w随迭代次数线性递减，c1=2，c2=2。调节α1和α2可以得到不同优化目标下的深沟球轴承优化结果。

优化目标为轴承额定动载荷时，即加权系数α1=1,α2=0时，优化结果随迭代次数的变化如图5所示，轴承额定动载荷在起始阶段小范围停留在局部最优解，经更新粒子的速度和位置，额定动载荷逐渐增大，经136次迭代后收敛至70.224 kN，对应的轴承主参数为：Dw=17.600 mm，Dpw=97.5 mm，Z=10，fi=0.515，fe=0.515。

图5 6214深沟球轴承额定动载荷优化结果Fig.5 Optimal result of dynamic load rating of 6214 deep groove ball bearing

优化目标为轴承额定静载荷时，即加权系数α1=0,α2=1，优化结果随迭代次数的变化如图6所示，额定静载荷为优化目标时的收敛性比额定动载荷为优化目标时差，额定静载荷经135次迭代后收敛至56.376 kN，对应的轴承主参数为:Dw=16.921 mm，Dpw=100.4 mm，Z=11，fi=0.515，fe=0.530。

图6 6214深沟球轴承额定静载荷优化结果Fig.6 Optimal result of static load rating of 6214 deep groove ball bearing

优化目标为轴承额定联合载荷时，取加权系数α1=α2=0.5时，优化结果随迭代次数的变化如图7所示，轴承额定联合载荷经162次迭代后收敛至62.952 kN，对应轴承主参数为：Dw=16.921 mm，Dpw=100.4 mm，Z=11，fi=0.515，fe=0.515，除fe外，其他参数与额定静载荷为优化目标时的优化结果相同。由于以轴承额定联合载荷为优化目标时的目标函数复杂度高，收敛速度降低。

图7 6214深沟球轴承额定联合载荷优化结果Fig.7 Optimal result of combined load rating of 6214 deep groove ball bearing

为进一步分析额定联合载荷与加权系数的关系，将加权系数α1作为变量，由于目标函数复杂度变高会降低收敛速度，结果易陷入局部最优，故调整粒子群算法的参数，令N=100，M=400，得到额定联合载荷随α1的变化如图8所示：额定联合载荷随α1近似呈线性变化，但曲线斜率和截距有所变化。这是由于α1+α2=1，C=α1Cr+(1-α1)C0=(Cr-C0)α1+C0，斜率为Cr-C0，截距为C0，加权系数不同，目标函数不同，得到的轴承主参数不同，额定动载荷Cr和额定静载荷C0不同，斜率和截距随加权系数α1变化而变化。当0.5<α1<0.6时，曲线出现一定震荡，说明此时更容易陷入局部最优，加权系数在该范围时应继续增大种群规模N和迭代次数M，以提高收敛效果。

图8 额定联合载荷随加权系数的变化Fig.8 Variation of combined load rating with weighting coefficient

综上分析可知：本文提出的基于粒子群算法的深沟球轴承优化设计方法收敛速度快，收敛稳定性高，以额定联合载荷为优化目标时的优化结果更符合理论模型。

3.2 优化效果验证

为进一步验证优化设计方法的正确性，与网格节点法进行对比。利用(5)，(6)，(8)，(9)式将Dw，Dpw，fi，fe在取值范围内划分为20×20×20×20的网格，利用(7)式计算出对应范围内的Zmin，Zmax，Z取整数。以轴承额定动载荷为优化目标，通过网格节点法和粒子群算法优化不同型号的深沟球轴承，结果见表1：基于粒子群算法优化得到的轴承额定动载荷比网格节点法高。

表1 轴承额定动载荷优化结果Tab.1 Optimal results of dynamic load rating of bearings

4 结束语

以深沟球轴承的额定动载荷、额定静载荷及额定联合载荷为优化目标，以球直径、球组节圆直径、球数、内圈沟曲率半径系数、外圈沟曲率半径系数为设计变量，基于粒子群算法实现了轴承的主参数优化。6214深沟球轴承的优化结果说明该方法具有较高的收敛性，并通过与网格节点法对比验证了优化方法的有效性。同时，基于 .NET API对AutoCAD软件进行二次开发，实现轴承二维图纸的自动绘制与保存。本文提出的优化设计系统实现了深沟球轴承从尺寸参数的优化到图纸生成和保存整个流程的自动化，降低了设计工作量，提高了设计效率及轴承设计领域的数字化水平。