理性精神引领下的数学课堂教学研究——以“正弦函数、余弦函数的图象”为例*

杨 龙 (江苏省太仓高级中学 215411)

1 学情分析

教学对象是四星级高中的高一普通班学生，基础良好，有较强的自主学习能力、运算能力和综合运用知识解决问题的能力.

2 内容解读

本节课是人教A版数学必修第一册第5章“三角函数”中的第4节“三角函数的图象与性质”第1课时的内容.之前，学生已经有了学习指数函数、对数函数、幂函数的图象与性质的经验，针对一个新函数可以应用对比、类比的方法进行研究，将已有经验迁移到对三角函数图象与性质的研究中，形成研究思路.正弦函数、余弦函数是一类基本初等函数，作为函数的下位知识，对于它们的研究基本遵从函数图象与性质的一般研究思路：绘制函数图象→观察图象、发现性质→证明性质.

教学目标 (1)经历绘制正弦函数图象的过程，掌握描点法，掌握绘制正弦函数图象的“五点法”；(2)经历绘制余弦函数图象的过程，理解其中运用的函数图象变换的思想；(3)通过三角函数的概念、三角函数诱导公式等知识间的联系体现事物之间的普遍联系与辩证统一.

教学重点 正弦函数、余弦函数的图象画法.

教学难点 掌握准确绘制函数图象一个点的方法，并由此绘制出正弦函数的图象.

3 过程实录

3.1 拟定研究思路

问题1前面我们学习了三角函数的定义以及基本运算，延用之前的指数函数、对数函数、幂函数的研究思路，接下来我们应该研究什么问题？怎样研究？

教师提出问题，学生回忆函数研究的一般思路，师生共同交流、规划、完善方案.预设的答案如下.

研究函数的一般思路：函数的定义—函数的定义域、值域—函数的图象—函数的性质—函数的应用.

鉴于前面已有研究，接下来重点是绘制三角函数的图象，各个击破，首先我们从画正弦函数的图象开始今天的探究之旅.

设计意图规划研究方案，构建本单元的研究路径，以便从整体上掌握整个单元的学习过程，形成整体观念.

3.2 绘制正弦曲线

问题2你打算如何绘制正弦函数y=sinx的图象？

绘制一个新函数图象的基本方法是描点法.对于三角函数，单位圆上任意一点在圆周上旋转一周又回到原来的位置，这一特性体现了周而复始的规律，所以我们只要先画出函数y=sinx,x∈[0,2π]的图象即可.

追问1 对于正弦函数，在[0,2π]上任取一个值x0，如何精准绘制点T(x0,sinx0)？

图1

精准绘制一个点的问题解决之后，即可用相同的方法描出其他的点，这里可以借助信息技术工具得到比较精确的函数y=sinx,x∈[0,2π]的图象(图2).

图2

设计意图教师引导学生剖析一个点的画法，深化对正弦函数定义的理解.通过分析点的坐标的几何意义，准确描点，同时体会信息技术给数学研究带来的便捷.

追问2 根据函数y=sinx,x∈[0,2π]的图象，你能想象函数y=sinx,x∈R的图象吗？

根据诱导公式一可知，函数y=sinx,x∈[2kπ,2(k+1)π](k∈Z,k≠0)的图象与y=sinx,x∈[0,2π]的图象形状完全一致.因此将y=sinx,x∈[0,2π]的图象不断向左、向右平移(每次移动2π个单位长度)，就可以得到正弦函数y=sinx,x∈R的图象.

正弦函数的图象叫做正弦曲线(sine curve)，是一条“波浪起伏”的连续光滑曲线.

设计意图绘制函数y=sinx,x∈R的图象，并培养说理的习惯，体会周而复始的特性.

追问3 在确定正弦函数的图象形状时，应抓住哪些关键点？

为了画出函数y=sinx,x∈[0,2π]图象的简图，只要描出五个关键点，按照正弦函数图象的走势，并用光滑的曲线将之连接就可以画出正弦函数的简图，称为“五点法”.

设计意图观察函数图象，概括其特征，获得“五点法”画图的简便画法.

3.3 绘制余弦曲线

问题3如何画出余弦函数y=cosx的图象？

学生可能会类比正弦函数图象的画法，提出用类似的方法画余弦函数的图象.教师可以适时追问，提示正弦函数、余弦函数是一对密切相关的函数.诱导公式表明，余弦函数和正弦函数可以互化.

追问1 你能在两个函数图象上选择一对具体的点，解释这种平移变换吗？

教师指出，余弦函数的图象叫做余弦曲线(cosine curve)，它是与正弦曲线具有相同形状的“波浪形”曲线.

设计意图利用诱导公式，通过图象变换，由正弦函数的图象获得余弦函数图象，增强对两个函数图象之间的联系性的认识.

追问2 类似于用“五点法”作正弦函数图象，如何作出余弦函数的简图？

让学生写出一个周期范围内余弦函数图象上的五个关键点坐标.

3.4 例题精析

画出下列函数的图象：

(1)y=1+sinx，x∈[0,2π]；

(2)y=-cosx，x∈[0,2π]；

(3)y=|sinx|.

设计意图巩固学生对正弦函数、余弦函数图象特征的掌握，熟练“五点法”画图，掌握画图的基本技能.通过分析图象变换，深化对函数图象关系的理解，并为后续的学习作好铺垫.

3.5 课堂小结(略)

4 教学感悟

4.1 一般观念指导数学研究

在《普通高中数学课程标准(2017年版2020年修订)》中，将三角函数内容安排在必修课程主题二“函数”中，把“函数概念与性质”“幂函数、指数函数、对数函数”“三角函数”“函数应用”视为一个整体.三角函数作为一类最典型的周期函数，是学生在高中阶段系统学习的最后一个基本初等函数，所以教学中可注重引导学生以前面学到的研究函数的方法来指导学习.本节课首先通过问题1拟定研究三角函数的路径，以函数研究的一般观念为指导，引导学生自主构建三角函数的研究内容、过程和方法，同时还引导学生关注三角函数的特殊性，充分利用周期性简化研究过程.

4.2 理性精神引领数学探究

本节课在探究正弦与余弦函数图象过程中，突出理性精神的引领，对正弦函数图象的构造和认识过程不断优化.突出正弦函数的周期性(本课时中并未提出周期性的概念，只是让学生通过圆周运动周而复始的直观形象和诱导公式的代数特征作感性认识)的特点，将实数集范围的作图问题归结为区间[0,2π]内的作图问题；精准画出正弦函数上的任意一点，构建了函数图象与三角函数定义之间内在的逻辑联系，使得画出的函数图象不仅有“形”，还更加有“魂”，有利于知识的整体性与联系性.理性精神引领学生深度思考，使得本节课的教学任务——绘制函数图象更加优化，周期让图象绘制由局部到整体，定义让描点作图由点到线，五点作图让简图更方便快捷，为后续借助图象直观分析问题、得到解题思路提供有效方法.

4.3 信息技术辅助数学学习

注重信息技术的使用，加强知识的发生发展过程，有助于学生加深对概念的理解与认识.本节课在利用信息技术通过单位圆画函数图象时，将三角函数的定义、三角函数的图象等内容紧密联系在一起，并通过角的变化，将这种联系直观地、动态地表现出来，突出了信息技术在函数作图中的优势，有效突破数学学习中的重难点.本节课借助信息技术从一个点到任意多个点的描点，利用信息技术的连续动画功能，可以得到更多的图象上的点，达到点动成线的直观效果，使学生进一步理解任意一点与整体图形之间的关系，理解图象形成的内在道理.