审慎求解二项展开式中系数的绝对值之和问题

湖南省长沙市周南梅溪湖中学(410205) 朱贤良

在高中数学课程中,二项式定理被安排在计数原理与排列组合知识之后、随机变量及其分布列之前,它既是计数原理和组合知识的应用,又是探究相关概率公式的基础,是培养数学运算素养的重要载体,也是高考命题的热点内容.其中,二项展开式的各项系数之和是高考与模拟考试命题中的常见考查内容,与此相关的变式问题——系数的绝对值之和,也频频见于各类考试的试卷之中.但是,一类不易察觉的错误在试题命制与求解时,因其自身的隐蔽性,往往真假难辨,是非难分,常常被当成“真经”,以讹传讹.

1 通性通法

我们从以下常见且并不复杂的试题为例,以呈现二项展开式中各项系数的绝对值之和的求解策略.

例1(2016 年联赛黑龙江预赛第7 题)设(2x −1)6=a6x6+a5x5+···+a1x+a0,则|a0|+|a1|+|a2|+···+|a6|的值为()

A.26B.36C.56D.76

分析若是求二项展开式的系数和,直接由赋值法,令x=1,即可得到系数之和a0+a1+···+a6=(2−1)6=1.对于系数的绝对值之和,难点在于处理绝对值,其通性通法有两种.

方法一(弄清楚各项系数的正负情况,去掉绝对值符号) 根据二项式定理,将(2x −1)6展开后的通项公式 为Tk+1=(2x)6−k(−1)k,其 中k=0,1,2,···,6.显然,奇次项的系数为负数,偶次项的系数为正数,故|a0|+|a1|+|a2|+···+|a6|=a0−a1+a2−a3+a4−a5+a6.赋值,令x=−1,即得其和|a0|+|a1|+|a2|+···+|a6|=a0−a1+a2−a3+a4−a5+a6=(−2−1)6=36.

方法二(将展开式中各项系数都转化为正数,摆脱绝对值的束缚) 倘若二项展开式中各项系数均为正数,则系数的绝对值之和与系数之和就无差异了.比如本题的二项式中,a=2x,b=−1,先将各项的符号变为“正”,即将(2x −1)6改为(2x+1)6,而(2x+1)6的展开式中各项的系数均这正数,赋值令x=1,可得各项的系数和为(2+1)6=36,此即(2x −1)6的展开式中各项系数的绝对值之和|a0|+|a1|+|a2|+···+|a6|.

评注方法二先将二项式中系数符号变“正”后,再赋值x=1 求得其展开式的系数之和,此即原二项展开式的各项系数的绝对值之和.

（1）在进行面板堆石坝填料施工过程中，首先应对料场的填料进行取样试验，测定填料的含水量，筛分、击实等指标，并经监理工程师确认，然后采用自卸汽车倒车卸料摊铺，推土机整平。此外，为了保证虚铺厚度的均匀、准确，在碾压试验条带两侧边线处插钢筋棍拉线。整平过程中，对局部不平及集料处用人工进行整平，确保填料均匀、平整。

评注此法无须区分展开式中各项系数的正负,解题过程虽然“简单粗暴”,但运算量小,效率更高.

2 深层逻辑

相比较而言,上述方法二无须事先判断展开式中各项系数的正负情况,只需要先将二项式中两项系数符号改为“正”,再赋值求改“正”后的二项展开式的各项系数之和.这样,就将原二项展开式中各项系数的绝对值之和转化为新二项展开式中的各项系数之和.但是,如此转化的依据是什么? 本节我们解释符号改“正”后赋值求得展开式各项系数的绝对值之和的合理之处——深层逻辑.

应用此法,在面对更为复杂的展开式中各项系数的绝对值之和时,同样有效.

例3(2x −3y+z)10展开式中各项系数的绝对值之和为____.

分析先将(2x −3y+z)10改“正”为(2x+3y+z)10,再求其展开式中各项系数之和.赋值,令x=1,y=1,z=1,则可得(2x+3y+z)10展开式中各项系数之和为(2+3+1)10=610,故(2x −3y+z)10展开式中各项系数的绝对值之和为610.

评注根据二项式定理知识,(2x −3y+z)10的展开式共有66 项,此法不必判断展开式中各项系数的正负,从而避开了麻烦.

例4 (多选题)(江苏省扬中市第二高级中学2020 年检测第12 题)已知的展开式中各项系数的和为2,则下列结论正确的有()

A.a=1

C.展开式系数的绝对值的和1458

D.若r为偶数,则展开式中xr和xr−1的系数相等

3 变式有“变”审慎解题

上述求展开式中各项系数的绝对值之和的步骤可以概括为两步: 一改“正”,二赋“1”.一直以来,许多课外辅导资料上都是这般地介绍,师生之间也如此口口相传.在解答相关变式(非简单的二项式)的时候,这种常规方法真的有效吗? 直到有一天,给学生讲解资料上的一道试题(本文例5)时,笔者隐隐觉得有点问题,但一时又说不清楚问题的症结所在.课后思索再三,才发现其中的端倪.

例5(多选题)关于多项式(1+−x)6的展开式,下列结论正确的是()

A.各项系数之和为1 B.各项系数的绝对值之和为212

C.存在常数项 D.x3的系数之和为40

当然,即便出现了同类项,但同类项的系数符号同正或同负,则也不会产生上述相互“抵消”的现象,利用前述先改“正”后赋“1”的方法求得展开式中各项系数的绝对值之和也不会导致错误.本题中没有出现这样的项.

事实上,上述参考答案中所犯的错误也见于学生常用的搜题软件,如某度作业帮、某猿搜题等.

至此,真相已明! 但笔者尚存一问: 本题中的绝对值之和如何求解为妥? 笔者经笔算求得答案为1418,敬请读者朋友指教.

查阅资料,笔者又在一本颇为知名品牌的教辅用书中看到了下例,将参考答案摘录附后,供读者研讨:

例6(多选题)已知(1+ax2)(−x)6的展开式中所有项的系数和为3,则下列结论正确的是()

A.a=1

B.展开式中的常数项为320

C.展开式中所有项的系数的绝对值的和为2187

D.展开式按x的升幂排列时第2 项的系数为−192

参考答案(请读者自行断定其正误!) 先根据条件求得a=2,以下仅摘抄C 选项的判断过程: (1+2x2)(−x)6的展开式中所有项的系数的绝对值之和与的展开式中所有项的系数之和相等.在中,令x=1 得(1+2)(2+1)6=37=2187,所以选项C 正确.

人类认识事物的过程,是从局部到整体、从片面到全面、从错误到正确、从零碎到完整、从孤立到联系的波浪式发展的过程.在掌握新的定义定理公式、领悟知识内涵的过程中,“错误”是必经的关卡.发现“错误”,用好“错误”,有益于我们更好地理解知识,更清晰地把握概念与方法的本质.