应用型本科院校线性代数课程教学设计与教学方法的研究

张 慧

（金陵科技学院理学院，江苏 南京 211100）

线性代数是应用型本科院校大学生最重要的基础课程之一，它高度的抽象性让很多大学生望而生畏，特别是一些概念与结论，让学生感到抽象难懂。另外，线性代数课程课时较少，学生花在这门课的时间也不多。因此，如何在教学时间少、难度大的情况下提高教学质量，这是个值得深思的问题。因此，高校教师在线性代数课堂上除了传授知识外，还需融入思政元素，优化教学设计，本文将从以下几个角度谈谈启发式教学方法和融入思政元素的教学设计。

1 借助热点问题，讲解知识点和挖掘思政元素，激发学生的学习兴趣

我们以矩阵及矩阵乘法概念为例，说明从实际应用出发讲解概念的重要性，同时着重讲解生活中热点问题，这样学生会有更直观的理解。矩阵是线性代数中的主要内容，自然科学、工程技术和国民经济等许多领域中的实际问题都可以用矩阵概念来描述，并且用相关的矩阵理论与方法去解决。矩阵最开始是为了求解线性方程组服务的，后来因其更广泛的应用发展为一门研究生课程。

什么是“极化码”，极化码看起来很复杂，但本质上是一些矩阵的乘法。比如，对某个4个比特的信号用极化码编码，即相当于这个信号乘以一个四阶方阵，则会得到另一个4个比特的信号。因此，可以看出矩阵及矩阵乘法在5G技术中的应用。通过讲述这一热点问题，激发了学生的学习兴趣，让学生们对矩阵及矩阵乘法的应用有新的了解和认识。尤其对于应用型高校通信工程、信息工程、软件和计算机等相关专业的学生，更清晰地感受到线性代数课程的重要性。

从上述5G技术这一例子中也可以看出，数学等基础性学科，它的应用可能若干年之后才能实现。而且一个重大发现或突破需要一个团队的共同努力。因此，引导学生无论学习还是以后科研一定要甘于、肯于坐“冷板凳”，只有坚持不懈的努力，才能看到别人看不到的思路和解决方法，才能取得突破。同时，引导学生无论学习还是工作中需要有团队合作意识，这样才能碰撞出智慧的火花。而且，我国5G技术的重大发展让学生切身感受到很强的民族自豪感。关于民族自豪感，还可向学生提及下面一个例子。因此在线性代数课堂中引导学生树立民族自豪感与自信心。

2 基于直观理解和思政理念，启发学生思考抽象概念或结论的意义

线性代数课程中向量组相关部分的理论性较强，前后知识点联系紧密。教材上相关实例较少。因此如何把这部分的概念及结论讲透彻至关重要。

在讲解向量组的线性相关与线性无关概念时，可以从几何意义上给出解释，大概地，若把向量看成三维空间中的向量，那么两个向量线性相关表示这两个向量共线，线性无关则表示这两个向量不共线；三个向量线性相关即表示这三个向量共面，线性无关则表示不共面。事实上，从线性相关与线性无关严格定义中也可推出，若两向量线性相关，则对应分量成比例，即这两向量共线。因此上述理解与定义是吻合的。

另外，对于结论“4个3维向量一定线性相关”，可引入生活中一个例子，4个人尝3种菜且每人至少尝其中的一种菜，那么必有两人吃了某种相同的菜，那么这4个人之间有关系了，所以可粗略理解为线性相关。同样地，5个4维向量一定线性相关，6个5维向量一定线性相关。

再如，向量组极大线性无关组这一概念，从字面上就可以理解。首先是线性无关的，其次“极大”二字就体现为再加一个就线性相关了。这与极大线性无关组严格定义中两个要素是吻合的。而且，在介绍极大线性无关组概念时，可以强调做事抓住本质的思想，引导学生透过现象看本质。从而学生可以更深刻更全面地理解这个概念。另外，向学生说明研究向量组性质时通常只需借助其一个极大线性无关组就可以了。因此，这里可以引导学生，当学习精力有限时，可以专注一个研究方向或一件擅长的事，那么长时间坚持一定会取得一些成果。

3 借助知识点间的联系，启发学生积极思考做题思路

在教学中，讲解一个题目做题思路时，若能一步步引导学生是大有益处的，这样才能让学生知道为什么这么做，在理解的基础上总结出做题步骤，而不是死记硬背。

在判别向量组线性相关性或求其极大线性无关组时，因为有时不易求出某向量如何用其余向量线性表示的，所以我们可以通过知识点的联系，启发学生积极思考做题思路。先讲下面两个命题等价：向量组线性相关；齐次线性方程组有非零解。而齐次线性方程组有非零解可借助系数矩阵的初等行变换，以及通过判断变换后的行阶梯形矩阵的非零行行数小于未知量个数得出有非零解。所以，上述知识点之间的联系给出了向量组线性相关性的一个判别方法，即先将这组向量按列写下来，若非零行行数更小，则线性相关。

再如，在讲解实对称矩阵的正交对角化时，首先通过求矩阵的线性无关的特征向量组将矩阵对角化，然后分析正交对角化需要找到一个正交矩阵。由前面章节知识知道正交矩阵的列向量组或行向量组都是单位正交向量组。因此，问题转化为：如何将线性无关的特征向量组转化为正交的单位向量组。从而启发学生想到之前章节中学习的施密特正交化过程。

通过上面几个问题思路的分析与讲解，引导学生了解了世界上万事万物都是普遍联系且发展、对立统一的。要看到知识点之间的区别与联系，且在学习任何知识时，要把知识学懂，学通，看到“对立和统一”的辩证关系。

对于线性代数课程较少的问题，教师可以在课堂上突出重点、难点以及学生易错的知识点，着重讲解概念或结论以及它们的应用例题。对于一些比较难的结论或定理的证明可以录制下来，供感兴趣的学生课后观看。对学习主动性高的学生，还可以让他们做一做课后难一点的习题，推荐一些优秀的辅导教材和慕课资源，让他们更深入进行学习线性代数这门课。

启发式教学不仅能提高教学质量，而且能培养学生融会贯通和学以致用的能力。同时，在线性代数课堂中融入思政元素，让同学们在课堂中吸收思想政治教育理念的营养，达到“润物细无声”的效果。因此，将课程思政元素和课程内容紧密结合起来，将数学教育与思政教育紧密结合起来，这样使学生在课堂上不仅打牢基础知识，而且提高思想修养、树立家国情怀。