2UU−UPU并联机构的工作空间与结构参数分析

武晓轩，崔冰艳，杨中原，李建功

（华北理工大学机械工程学院，河北 唐山 063000）

1 引言

随着工业4.0概念的提出，智能制造已经成为世界各国工业化发展的追求目标。在机器人技术在工业生产中大量应用的背景下，串并联机器人在工业化制造过程中的研究得到了广泛关注［1］。国内目前应用大多为串联机构，运动空间大，成本较高，不能完全满足工业需求，因此结构紧凑、承载能力强、灵活性强、无误差累积、响应速度快的并联机构得到了专家学者广泛关注，在工业生产中得到广泛应用［2］。

并联机构中自由度少于6的并联机构称为少自由度并联机构，三自由度并联机构更是成为当前学者们的研究热点［3］。在各种三自由度并联机构中，具有2R1T的三自由度并联机构一直受到广泛关注[4]。文献[5]对3UPU并联机构进行了运动学分析和工作空间的求解。文献[6]通过蒙特卡洛法对机构的工作空间进行求解。以2UU−UPU并联机构作为研究对象，运用螺旋理论求解该并联机构的自由度，进行运动学逆解分析，使用蒙特卡洛法求解工作空间并研究了结构参数变化对工作空间的影响，为今后的研究及实际应用提供理论基础。

2 2UU−UPU并联机构自由度分析

2.1 机构描述与坐标系的建立

在初始位形下2UU−UPU 并联机构由动平台、定平台、两条结构相同的UU分支和一条UPU分支所组成，如图1所示。三条分支均通过U副与定、动平台固接，并将定平台三个U副作为驱动以改变动平台末端执行器D的位姿。在定平台与动平台上，两条UU分支的U副第一个转轴共线，始终垂直于UPU分支U副的第一个转轴；两条UU 分支的U 副第二个转轴平行，始终垂直于UPU分支U副的第二个转轴。通过U副驱动带动移动副P实现动平台的运动。现对UPU−2UU机构各关节点作如下定义；定平台上第一分支UPU中的U副转动中心点为A1，第二、第三分支UU中的U副转动中心点分别为A2和A3。分支一与动平台连接的U副中心点为B1，分支二、三与动平台连接的U副中心点分别为B2和B3，动∕定坐标系建立，如图1所示。建立定坐标系O-XYZ，坐标原点O位于定平台上A2A3的中心点，X轴垂直于A2A3指向点A1，Y轴与A2A3共线，Z轴垂直于定平台向上。动坐标系P−UVW，其坐标原点P位于动平台上B2B3的中心点，U轴垂直于点B2、B3连线指向点B1，V轴与B2B3方向相同，W轴垂直于动平台向上。△A1A2A3、△B1B2B3为等腰直角三角形，且两三角形相似，其结构参数定义为：A1B1=l1，A2B2=A3B3=l2，OA1=OA2=OA3=E，PB1=PB2=PB3=e。

图1 2UU−UPU三维结构图Fig.1 2UU−UPU Three−Dimensional Structure

2.2 自由度计算

在初始位姿时，定平台上定坐标系中点A1的坐标为（E，0，0）T，点A2的坐标（0，E，0）T，点A3的坐标为（0，−E，0）T。动平台上动坐标系中点B1的坐标为（e，0，0）T，点B2的坐标为（0，e，0）T，点B3的坐标为（0，−e，0）T，动平台上动坐标系原点及动平台上各点相对于定坐标系原点的坐标为：P（xp yp zp）T，B1（e，0，z）T，B2（0，e，z）T，B3（0，−e，z）T。动平台上动坐标系中点B1的坐标为（e，0，0）T，B2的坐标为（0，e，0）T，B3的坐标为（0，−e，0）T。由此可得分支1，UPU的运动螺旋系为：

式（6）表示2UU−UPU并联机构在初始位形下具有三个自由度，分别为沿着X轴方向的移动，绕着u轴方向的转动和绕着Y轴方向的转动。

此外机构的自由度也可以通过修正的Kutzbach−Grübler 公式计算：

由此验证了该并联机构自由度为3。

3 位置分析

对2UU−UPU并联机构位置逆解的求解分析，就是已知机构的输出参数（β，γ，χ），求解机构的输入参数（θ1，θ2，θ3）的过程。以静平台上3条支链的U副转角θi为输入，动平台上相对于动坐标系点D的位置（0，0，H）作为输出点。如图1所示坐标系形式。并联机构结构参数定义与机构描述的定义相同：A1B1=l1，A2B2=A3B3=l2，OA1=OA2=OA3=E，PB1=PB2=PB3=e。由自由度分析可知动平台向定平台的转换矩阵为：

由于并联机构回路的封闭性，可以用另一种方法表示动平台上点Bi在定坐标系上的位置矢量，即利用分支坐标系转换求得。其三个分支向定坐标系的转换矩阵为：

4 2UU−UPU并联机构工作空间分析

4.1 约束条件

结合2UU−UPU并联机构结构特点对其约束进行分析。

（1）并联机构各分支的杆长限制。2UU−UPU并联机构运动是由三个U副上的转角作为驱动，根据结构特点可知2个UU分支的杆长是固定的，但是UPU分支的杆长l1是随着机构运动过程不断变化的。结合该并联机构的特点以及动平台和定平台的结构尺寸定义分支一某一时刻杆长为l1，l1长度代表固定杆长与伸缩杆的总和，定义其固定杆长度为400mm，伸缩杆长度最大为1100mm。分支二杆长l2和分支三杆长l3相等，定义其长度为500mm。

（2）并联机构杆件之间的干涉。并联机构是多分支闭环机构，分支的多少会直接影响机构的灵活性，所以并联机构分支越少，杆件之间发生干涉的情况越小。2UU−UPU为三支链并联机构，结合机构运动情况确定不会机构发生干涉，因此不考虑并联机构杆件间的干涉情况。

（3）运动副转角的限制。由于并联机构运动副不可能在与杆件相连的情况下达到理想的运动范围，所以在分析求解机构工作空间时需要考虑运动副的转角限制。

U副转角约束为：

式中：R—U副相对于所在坐标系的姿态；ni—第i个U副在坐标系中的姿态用向量的表示；θmax—U 副的最大转角，规定θmax=170°。

利用运动逆解求解2UU−UPU 并联机构工作空间前先给出机构的输出参数和基本尺寸参数，其中假设动平台输出参数β、γ角的取值范围为±45°，x轴的位移由并联机构结构参数限制求解可知，并联机构结构参数，如表1所示。

表1 并联机构基本结构参数Tab.1 Basic Structural Parameters of Parallel Mechanism

表中：H—末端执行器高度。

以动平台上末端执行器点D为研究点绘制并联机构工作空间，已知末端执行器的结构参数H，在动坐标系的位置坐标表示为：

4.2 工作空间求解

根据上述并联机构基本结构参数，用蒙特卡洛法通过随机大量取点得到满足机构约束条件的点的集合构成机构参考点的工作空间。根据表1的结构参数通过MATLAB编程得到机构工作空间，如图2所示。图2中给出了该机构工作空间的三维和二维平面运动空间的范围，研究结果表明，该机构具有很好的三维运动空间，在X-Y运动平面具有很好的对称性，反映了2个相同支链的运动特性，而在其它两个平面的运动空间具有很好的连续性。

图2 并联机构工作空间Fig.2 Workspace of Parallel Mechanism

4.3 结构参数对工作空间体积的影响

为了能够直观的显示结构参数变化对2UU−UPU 并联机构工作空间的影响，把不同参数变化下的工作空间体积大小作为工作空间大小的评价指标。主要的参数有：动平台半径e、定平台半径E、连杆二、三的杆长（l2、l3）、连杆一（l1）伸缩杆取值范围、末端执行器H的长度和驱动角θ的转动范围。根据表1的结构参数和驱动角取值范围（30～50）°，得到图2工作空间，此时工作空间体积为（6.86×105）mm3，记为工作空间体积的基准值，用δ0表示。记工作空间的体积大小相对值为λ：

如图3所示，取l2恒等于l3，当杆长取值在（400～600）mm，其它参数不变时，工作空间体积随着杆长的增大而增大，从工作空间的角度来说，连杆二、三越长越好。当动平台半径e取值变化范围在（200～450）mm，其它参数不变时，工作空间体积随着动平台半径e从（200～350）mm 时增加比较明显，动平台半径e从（350～450）mm 时工作空间体积逐渐趋近定值。当连杆一固定杆长为400mm，当伸缩杆杆长取值在（100～700）mm，其它参数不变时，工作空间体积随着杆长l1从（500～800）mm时增加比较明显，杆长l1从（800～1100）mm 时工作空间体积增加逐渐减缓，在（1000～1100）mm逐渐趋近定值。当定平台半径E取值变化范围在（300～700）mm，其它参数不变时，工作空间体积随着定平台半径E从（300～550）mm 时减少比较缓慢，定平台半径E从（550～700）mm时工作空间体积呈现较为迅速的减少。从工作空间的角度来说，动平台半径E取（300～550）mm 范围比较合理。如图4所示，当末端执行器H取值变化范围在（10～60）mm，其它参数不变时，工作空间体积随着H取值的增加呈现阶梯型增加时，在H取60mm时工作空间体积最大。

图3 l2、l1、E、e对工作空间体积大小的影响Fig.3 Effects of l2、l1、E、e on the Volume of the Workspace

图4 H对工作空间体积大小的影响Fig.4 Effects of H on the Volume of the Workspace

θ角对工作空间体积大小的影响，如图5所示。最小转角对工作空间的影响小于最大转角的影响；工作空间随着最大转角的增大而逐渐增大。

图5 θ取值范围对工作空间体积大小的影响Fig.5 Effects of θ on the Volume of the Workspace

综合上述分析，当末端执行器长度不变，其它参数取分别为400mm≤l1≤1000mm，l2=l3=600mm，e=350mm，E=300mm，U副转动角度范围为（10～170）°时，计算得到2UU−UPU 并联机构的工作空间体积为（1.04×106）mm3，是初始工作空间体积的1.52倍，为其结构设计优化和运动学分析提供了依据。

5 总结

提出了一种新型的2UU−UPU并联机构，分析了该机构的自由度，得到该机构是具有2R1T的三自由并联机构。推导了运动学反解方程，使用蒙特卡洛法求解出机构的工作空间。以并联机构工作空间体积作为评价指标，分析了该并联机构结构参数对工作空间体积大小的影响，绘制了结构参数对工作空间体积的影响曲线，得到了增大该并联机构工作空间的几种方式。

结合了给定的初始结构参数的影响曲线，选取了适合的参数取值，得到的工作空间体积是更改前机构工作空间体积的1.52倍，工作空间显著提升，为以后对该并联机构尺寸优化和实际应用提供了参考。