含参一元一次不等式(组)问题求解策略

⦿山东省广饶县英才中学 徐树光

1 引言

若一个不等式中除了含有未知数以外，还含有其他字母，则称这个不等式为含参数的不等式.一般解题策略是先把不等式化为一边是未知数，另一边是数字或含参数的表达式，再根据题目的其他条件对表达式的正负情况讨论解答.下面以2020年中考题为例探求含参一元一次不等式(组)问题的求解策略[1].

2 直接使用口诀

由两个一元一次不等式构成的不等式组，共有四种情况.已知a

利用这个口诀，有时可以快速解题.

因此应填：a≥1.

点评：用口诀解“不等式组有解或无解”问题比较方便，但需要注意解集中等号的取舍，这对初学不等式的学生是一个难点.对此类问题还可以作以下变式：

3 分类讨论

由于参数的存在，各不等式解集端点的值大小关系待定，用分类讨论作答，可看出不同情况下的解集，符合题意的范围即为要求的答案.

当a=2时，原不等式组的解集是x>1；

当a<2时，原不等式组的解集是x>1.

所以a的取值范围是a≤2.

点评：分类讨论将所求问题细化，多次使用口诀解答，找到满足题意的参数的范围；同时，也排除了不合题意的参数范围.

4 数形结合

不等式中的参数问题本质是在运动与变化中寻找满足题意的范围，有时临界点较多，利用数形结合可以使问题直观形象，降低思维难度，尤其对等号的取舍有重要的支撑作用.

例3(2020年天水改编)若关于x的不等式3x+a<2的最大整数解为2，则a的取值范围是.

图1 图2 图3

因此，a的取值范围是-7≤a<-4.

点评：数轴是数形结合的有力工具，利用数轴将不等式的解集直观表示出来，可以快速准确地建立含参不等式，对难于抉择的端点也可一目了然.

5 补集思想

当一个问题有多种可能性，或不易直接解答，可从问题的反面分析研究，即利用补集思想解决.

A.m>-1 B.m≥-1

C.m≤-1 D.m<-1

解析：解不等式组，得x>1，且x≤-m.考虑从反面出发，求原不等式组无解时，a的取值范围.由前面的口诀，知-m≤1，即m≥-1时，原不等式组无解，即不等式有解的范围是m<-1.故选：D.

点评：正难则反是一种重要的思维方式，巧妙运用这个策略，适当转变思路，尝试逆向思维对题目进行分析，能够降低思维难度，减少运算量.

6 端点验证

不等式中有关取值范围的问题，对端点的取舍容易出错，因此对于一些选择题，只需把端点处理好，采取端点验证法，可以减少运算量.

A.0≤a≤2 B.0≤a<2

C.0

解：从选项中发现，解决本题的关键在于0和2是否可取.

由3x-5≥1，得x≥2.

当a=0时，不等式组的解集是2≤x<4，有两个整数解，不合题意，所以舍去a=0.排除A，B选项.

当a=2时，不等式组的解集为2≤x<5，有三个整数解，符合题意，所以a=2可取.

因此应选：C.

点评：对于一个数学问题，能直接解答固然很好，而从不同角度思考问题，特别在考试的有限时间内快速得出答案，既可节省时间，又可提高正确率，是非常有益可取的做法.

以上含参不等式的五种求解方法，要因题而异，根据题设灵活选用，尤其是等号的处理，要正确理解.下面让我们运用这几种方法大显身手吧！

A.a≥2 B.a<-2 C.a>2 D.a≤2

解析：解不等式组得x<2且x

解析：解不等式组，得x>2且x

解析：解不等式组，得x<4-a且x>-1.则不等式组有解时，满足-1