“奔驰定理”妙解一类三角形的面积比问题

福建省莆田哲理中学 (351100) 吴毓敏福建省莆田第二中学 (351131) 卢 妮

平面向量及其应用是2019年人教A版必修课程与选择性必修课程中几何与代数主题的开篇，融合了几何直观与代数运算.通过形与数的结合,感悟数学知识之间的关联，加强对数学整体性的理解.当向量与三角形结合，已知向量关系，求解三角形面积的比值，是选择、填空题中的难题，而借助向量形的特征，往往能起到妙解的效果.本文通过一道试题来探究求解这类题型的相关规律.

一、试题呈现

A.9:4:1 B.1:4:9 C.3:2:1 D.4:2:1

二、常规解法探究

图1

图2

图3

评注：小题巧解，可借助特殊图形.建立平面直角坐标系，转化为坐标运算,是解决向量问题的一种常用办法.解析法是将几何问题代数化，通过坐标运算，体现了数形结合的思想.

三、奔驰定理妙解及推广

图4

三角形的“四心”(重心、内心、外心、垂心)具有很多优美的性质，是试题的重要载体，与之有关的试题往往难度较大.事实上“四心”有关性质是奔驰定理的推论.

四、变式应用

千变万化的数学，正是数学的美，一道好题，一种巧解，一丝联系，一点变化，在解题中我们不能只停留在会做的层面，还需总结规律，透过现象看本质，学会触类旁通.