巧用模型数学建模 养成数学核心素养

江苏省宿迁中学 (223800) 孙彩红

数学建模作为数学学科的六大核心素养之一，是指在具体创新与应用情境中，合理分析并理解应用问题，借助数学视角的切入来分析问题、发现问题、提出问题，进而结合实际问题，合理并吻合地构建相应的数学模型，结合实际应用问题进行对应的数学推理与运算，进而实现解决实际应用问题的目的.特别，在一些创新应用场景中，根据实际情境与创新应用，与已知数学模型加以联系，合理构建对应的数学模型来分析与求解问题，是数学建模中的一种基本素质.

1.简单函数模型

简单函数模型主要包括一次函数、二次函数、反比例函数等一些最简单的基本初等函数类型，借助这些简单函数模型来处理一些简单的应用问题，效果直接明了，也是数学建模当中的“主力军”.

A.40% B.50% C.60% D.70%

点评：解决简单函数模型的数学应用问题，关键是理清题目中的创新情境及其内涵，构建简单函数模型，并合理构建与创新定义、创新情境以及创新应用等相关的方程、不等式等，进行分析与求解处理.

2.指数(对数)函数模型

指数(对数)函数模型主要包括指数函数、对数函数模型，是实际应用问题中比较常见的两类特殊函数模型，变量之间存在几何级数的关系，在一些医药卫生、信息技术等应用方面有其独特的应用.

例2 (2021年北京延庆区一模试题)对酒驾的规定如下：驾驶员的100ml血液中酒精含量为[0，20)mg时，不构成饮酒驾车行为(不违法)；达到[20，80)mg的即为酒后驾车；80mg及以上为醉酒驾车.若某驾驶员喝酒后其血液中的酒精含量达到了1.6mg/ml，则在停止喝酒后，他血液中酒精含量每小时大约减少20%，要想不构成酒驾违法行为，那么他至少经过( ).(参考数据：0.84=0.41，0.86=0.26，0.88=0.17，0.810=0.11)

A.4小时 B.6小时 C.8小时 D.10小时

分析：利用题中的条件，根据指数函数模型，列出血液中酒精含量与酒后时间的关系式，根据不构成饮酒驾车行为(不违法)构建不等式，通过指数不等式的转化，并利用参考数据加以分析与判断.

解析：设酒后经过x小时后就不构成酒驾，依题意可得160×(1-20%)x<20，则有0.8x<0.125，结合参考数据0.88=0.17，0.810=0.11，可知x≥10，所以他至少经过10小时，故选D.

点评：解决涉及指数(对数)函数模型的创新应用问题时，关键是利用题目条件构建指数型(或对数型)函数模型，利用已知信息建立对应的方程、不等式等加以分析与求解，并利用应用问题的实际加以合理分析、判断与决策等.

3.三角函数模型

三角函数模型是生活应用中具有一定周期规律的一类数学建模类型，此类函数模型具有一定的起伏性与周期性，是现实生活场景中很多问题所具有的一种独特的基本性质，具有较好的数学模型构建与实际应用价值.

分析：根据题目中已知的三角函数模型，利用正弦型函数的图象与性质，并结合三角函数的图象的最高点与最低点，确定参数A、B的值以及周期，进而确定参数ω的值，通过特殊值求解的φ值，得到三角函数y=f(x)的解析式，进而加以三角函数求值与判断即可.

图1

点评：在实际应用中，涉及一些呈周期呈现的函数问题时，经常利用三角函数模型来解决，通过三角函数的相关知识来解决已知三角函数模型求解对应的数学问题；把实际问题抽象转化成相应的三角函数问题，进而利用三角函数的定义、图象、性质等相关知识来分析与解决问题.

4.圆锥曲线模型

圆锥曲线模型包括椭圆、双曲线以及抛物线模型，是在航空航天、现实应用等众多场景中具有特殊几何性质的一类数学模型，借助特殊的几何性质以及光学性质来合理构建对应的数学模型，进而解决相关的应用.

例4 (2021年河南开封市高三(上)第一次模拟试题)某学习小组研究一种卫星接收天线(如图2所示)，发现其曲面与轴截面的交线为抛物线，在轴截面内的卫星波束呈近似平行线的状态射入到抛物线形的接收天线，经抛物线接收天线的反射聚焦到该抛物线的焦点处(如图3所示)，若该抛物线形的接收天线的口径(直径)为4.8 m，深度为1 m，则该抛物线的焦点到顶点的距离为m.

图2 图3

分析：根据题目条件，利用已知的抛物线模型，建立坐标系，进而设置相应的抛物线的方程以及对应点坐标的确定，将点A的坐标代入，确定参数p的值，进而可得抛物线的方程，由此确定该抛物线的焦点到顶点的距离即可.

图4

解析：如图4，构建相应的坐标系，设抛物线的方程为y2=2px(p>0)，由题得，点A(1，2.4)在抛物线上，所以2p=2.42，解得p=2.88，所以所求抛物线的标准方程为y2=5.76x，因此该抛物线的焦点到顶点的距离为=1.44.

点评：本题以“卫星接收天线”为背景考查抛物线的图象和性质等知识，求解此类问题的关键：一是“盯题眼”和“细观图”，能从图中观察出已知条件；二是利用方程思想，利用抛物线上点的坐标求出抛物线方程，从而得解.

在实际应用中，要从数学的视角切入，构建对应创新场景或创新应用与已知数学模型、相关数学基础知识等之间的联系与应用，并借助相应的数学模型所对应的数学知识来分析与求解，有效渗透数学的“四性”(即基础性、综合性、应用性与创新性等)，合理引领与指导高中数学教育，同时也为高校选拔人才提供育人方向，并在此基础上回归并落实“四基”(即数学基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验等)，提倡学以致用，强调全面育人、数学核心素养导向.