一种针对含非线性子结构多点耦合运输包装系统的解耦方法

王维凯，王军，卢立新，潘嘹，侯雪

一种针对含非线性子结构多点耦合运输包装系统的解耦方法

王维凯1，王军1，卢立新1，潘嘹1，侯雪2

（1.江南大学，无锡 214122；2.汕头东风印刷股份有限公司无锡分公司，无锡 214000）

考虑到运输包装系统耦合形式复杂，包装材料及包装结构具有非线性特性，不容易测量局部物理参数，需要对传统逆向子结构方法进行优化，使之能够求解非线性多点耦合系统中子结构的动态响应特性。使用描述函数法将非线性的运输包装系统线性化，测量其在若干特定振动幅值下的频率响应函数；之后，应用逆向子结构方法和参数识别方法，计算包装件的模态参数；最后，拟合包装件模态参数与振动幅值之间的关系，构建函数来描述包装件的动态响应特性。在集总参数模型中，解耦预测值与实际值吻合；在有限元模型中，对响应峰值的预测误差小于5%，对响应跳跃现象所在频率的预测误差小于3%。该研究将传统逆向子结构方法的应用范围拓展到了非线性多点耦合系统，对复杂运输包装系统动力学模型的构建和防振包装的设计具有指导意义。

逆向子结构方法；运输包装；振动；非线性

在现代缓冲包装设计流程中，设计师经常借助动力学计算和有限元仿真来确定缓冲材料和包装结构的参数。其中，包装件动态响应特性的获取是精准有效建立其动力学模型的关键[1]，然而，在实际运输过程中，产品、包装与运载车辆耦合联结在一起，构成复杂的运输包装系统，致使包装件的动态响应特性难以被直接测量[2]。此外，包装件在耦合状态与非耦合状态下的响应特性不同，对其单独测量的结果不能代表其在耦合状态下的特性。针对这一问题，王志伟、王军等[3-6]将逆向子结构方法应用到了运输包装领域，实现了对运输包装系统中子结构动态响应特性的间接预测。

为建立与实际情况更加接近的理论模型，逆向子结构方法在近年来持续发展。主要趋势有：为适应集装、堆码等复杂耦合情况，从单点耦合系统向多点耦合系统发展[7-8]；为重点考虑产品中的易损部件，从二级耦合系统向多级耦合系统发展[9]；设法降低误差，如利用奇异值分解方法抑制计算过程中矩阵求逆导致的误差放大[10-11]。

在以往研究中，均假设运输包装系统是线性的，而实际包装材料与包装结构具有非线性特性[12-14]，在使用传统逆向子结构方法进行分析时，将非线性结构视作线性结构会导致求解结果不准确。对此，笔者在之前的研究中，结合逆向子结构方法与参数识别技术，实现了对含非线性子结构耦合系统的解耦，其中只考虑了单点耦合的情况[15]。文中结合运输包装实际，针对含非线性子结构的多点耦合系统做进一步讨论，拓展了逆向子结构方法的应用范围，并分别在集总参数模型和有限元模型中进行了验证。

1 理论方法

包装件与运载车辆之间的耦合关系见图1a，该耦合系统可抽象化为图1b所示的物理模型，文中以该模型为基础进行理论分析。

1.1 非线性系统线性化

逆向子结构方法需要测量系统的频率响应函数来进行解耦运算，而非线性系统不具备传统意义上的频率响应函数，因此需要将其线性化。

非线性结构的动力学方程可以写成：

式中：、和为质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵；和L分别为外部激励力向量和内部非线性力向量；为位移向量。

假设激励是简谐振动，根据欧拉公式，在时域上能被写成：

式中：为简谐激励的幅值；为激励的角频率；e为自然常数，i为虚数单位。

非线性结构的稳态响应以级数形式表示为：

式中：为结构的第阶谐波响应；为第阶谐波响应的幅值。通常，第1阶谐波是响应的主要成分，而其他阶次谐波相对较小[16]。在忽略高阶谐波的前提下，式（3）可写成：

图1 包装件–运载车辆耦合系统

式中：为第1阶谐波响应的幅值。与之对应地，非线性内力也只考虑第1阶谐波，并设为第1阶内部非线性力的幅值，得到：

将式（2）、（4）和（5）代入到式（1）中，得到：

如果该结构的非线性特征体现为：刚度随响应幅值的变化而变化。那么，根据描述函数法[16]，可以把非线性内力的幅值写成响应幅值的一次函数，即：

式中：为描述函数矩阵。矩阵内部各位置的元素为：

式中：Δ为位于矩阵中第行列的元素；Δ为位于矩阵中第行列的元素；v为结构中坐标和地面之间的非线性力的描述函数；v为结构中坐标和坐标之间非线性力的描述函数。v和v的值均与响应幅值有关，因此，是随变化的函数。在此基础上，式（7）能被表示成式（9）的形式。

其中：

在文中被称作准线性频率响应函数矩阵，它的值与结构的振动幅值有关，只能表征结构在特定振动幅值下的响应特性。

至此，实现了非线性结构的线性化，得到了非线性结构的准线性频率响应函数。

1.2 逆向子结构方法

将图1所示的包装件—运载车辆耦合系统抽象化，考虑一个由非线性子结构A和线性子结构B组成的系统S，见图2。2个子结构之间通过对耦合点连接在一起。图1中，a和b分别表示非线性子结构A和线性子结构B的内部自由度，a和b分别表示它们的耦合自由度，C为耦合刚度矩阵。

图2 包含非线性子结构的多点耦合系统

其准线性频率响应函数矩阵可表示为：

式中：S、S和S分别为系统S的质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵；S为系统S中以描述函数法线性化的非线性内力矩阵。S和S随响应幅值变化。

系统S的动力学方程可写作：

其中：

举例说明式（13）中变量的物理含义：[S,iaia]表示耦合系统S中，自由度a的准线性驱动点频率响应函数；[S,iaca]表示耦合系统S中，从自由度a到自由度a的准线性跨点频率响应函数。

另一方面，根据力的平衡条件，可得：

式中：[B,cbcb]为线性子结构B中，耦合自由度b的驱动点频率响应函数。

结合式（12）、（13）、（14）可得到二级耦合系统的解耦公式：

式（15）在本研究之前已有其他研究者得出，其含义是非线性子结构A的准线性频率响应函数可通过对耦合系统S进行测量得出。

与单点耦合系统相比，多点耦合系统中的耦合坐标有个，因此，频率响应函数矩阵中对应位置的元素为维矩阵。以两点耦合系统（耦合自由度为a1和a2）为例，其耦合自由度的准线性频率响应函数矩阵表示为：

1.3 基于模态参数识别的响应特性求解

因为非线性系统的准线性频率响应函数是在唯一固定的响应幅值下确定的，因此，由式（15）只能得到非线性子结构在特定振动幅值下的响应特性，而无法预测其在任意大小激励下的响应特性。对此，提出一种基于模态参数识别的求解策略。

首先，使用激振器给系统施加种不同幅值的激励，记录非线性子结构中某点的响应幅值，测得系统在种不同响应幅值下的准线性频率响应函数S(1),S(2), …,S()。之后，应用模态参数识别技术求解出对应于每个响应幅值的固有频率和阻尼比。经此过程，会得到与响应幅值有关的一组固有频率{n1,n2, ……,nm}和一组阻尼比{1,2, ……,}。最后，以作为自变量，分别拟合其与固有频率n和阻尼比的关系，得到n()和()，两者都是的函数。

对应于黏性阻尼系统频率响应函数的模态表达式，将作为响应幅值函数的模态参数代入到频率响应函数表达式中，可以重构出非线性结构关于响应幅值的频率响应函数(,)，其表达式为：

式中：为所分析的模态数；nr为第阶模态的固有频率；ζ为第阶模态的阻尼比；C()为第阶模态频率响应函数表达式中的常数项。

根据频率响应函数的定义，有：

对式（18）进行求解，即可求得测量点在任意大小激励下的响应。

2 模型验证

2.1 集总参数模型

该节中，参考一般运载车辆的结构，建立了一个含非线性部件的集总参数模型，见图3。通过对这个模型的分析，来验证所提出解耦方法的可靠性。

该模型由非线性子结构A和线性子结构B两部分组成。子结构A代表具有非线性特性的包装件，子结构B代表运载车辆。其中，为集中质量，集中质量之间存在线性刚度和线性阻尼，它们的下标为不同位置参数的编号。在子结构A中加入一个非线性弹簧NL，以体现包装材料和包装结构的非线性，这使得子结构A成为一个非线性子结构，也使得整个系统成为一个非线性系统。2个子结构之间通过弹簧4和5、阻尼4和5，形成两点耦合。模型中参数的值见表1。

下面说明如何在不拆解结构、只能在耦合状态下激励和测量的前提下，计算非线性子结构A的振动响应特性。

假设非线性弹簧NL具有立方刚度的性质，其非线性内力L表示为

式中：kNL的值为1×107 N/m3。

表1 集总参数模型中参数的值

Tab.1 Parameters in the lumped parameter model

该系统的准线性频率响应函数可由式（11）给出，其中：

控制1处的振幅从2 mm增加到20 mm，计算耦合自由度ca在不同振幅下的准线性频率响应函数。以S,ca1ca1和S,ca1ca2为例，其部分响应特性见图4，可见该结构的响应特性会随响应幅值而改变，具有明显的非线性特征。

类似地，分别计算出S,cacb、S,cbcb和S,cbca，将它们代入到式（14）中，可解耦得到非线性子结构A的准线性频率响应函数A,caca，见图5。可以看出，子结构A的一阶固有频率会随响应幅值的增加而递增，表现出渐硬的特性。

为检验该解耦方法的准确性，以非耦合状态下的子结构A为对象，应用谐波平衡法直接计算1处驱动点频率响应函数在若干振幅下的实际值，将其与预测值进行比较，结果见图6，两者保持高度一致。

图4 子结构A耦合自由度频率响应函数在不同响应幅值下的测量结果

图5 子结构A耦合自由度频率响应函数在不同响应幅值下的解耦结果

图6 m1处驱动点频率响应函数在不同响应幅值下的预测值与实际值对比

基于非线性子结构A的1处的驱动点频率响应函数，应用多项式拟合法识别其模态参数，并拟合模态参数与非线性弹簧响应幅值之间的函数关系。将各模态参数作为振幅的函数代入到式（17）中，可以重构出式（21）函数来描述的1处的振动响应特性：

假设外部激励F为20 N，而激励的位移幅值不再固定，作用于m1处对子结构A进行正向扫频，根据式（18）所给出的关系，即可对位移响应X进行求解，这里使用的求解方法为牛顿迭代法。解得m1处的驱动点频率响应函数，并将其与理论值进行比较，结果见图7。可见两者高度一致，且精准预测了对非线性结构进行扫频时出现的响应跳跃现象。

2.2 有限元模型

在此节中，建立了一个包含非线性子结构的多点耦合系统有限元模型，并通过对其进行频率响应分析来检验文中所提出理论在连续体模型中的应用效果。该模型由一个具有线性刚度特性的悬臂梁和一个具有非线性刚度特性的T型梁通过2根弹簧连接而成，模型装配效果及几何参数见图8。

图8 包含非线性部件的多点耦合系统有限元模型及其几何参数

文中所使用的有限元建模与分析软件为ABAQUS。在软件环境中完成建模后，设置如下材料参数与约束条件：构成悬臂梁和T型梁的材料均为钢，其弹性模量为200 GPa，泊松比为0.3，密度为7 800 kg/m3。上方悬臂梁为线性子结构，在其固定端设置完全固定约束；下方的T形梁为非线性子结构，由一根悬臂梁和一根两端固定薄梁刚性连接而成，在连接位置设置绑定约束，在其固定端设置完全固定约束。点与点、点与点之间各有一根刚度均为5 000 N/m的弹簧连接，通过设置弹簧连接器实现。

应用文中所提出的解耦策略，可以在不对模型进行拆解的前提下，通过测量该系统在4个耦合点的频率响应函数，来预测非线性子结构（即T型梁）的频率响应函数。利用有限元软件对该模型进行模态分析，得到其一阶模态的有效质量占结构实际质量的83.2%，因此可以判断该模型的响应主要受一阶模态影响，文中考虑其一阶模态。

对系统进行激振，控制点的响应幅值分别为0.5、1、1.5、2、2.5、3 mm，测量每个响应幅值下各耦合点的准线性频率响应函数，它们组成了系统耦合自由度的准线性频率响应函数矩阵。将它们代入到式（15）中，即可求得非线性子结构在不同响应幅值下的准线性频率响应函数。以点为例，其驱动点频率响应函数的求解结果见图9。对该频率响应函数进行参数识别，并拟合模态参数与响应幅值的关系。

图9 a点的驱动点频率响应函数在不同响应幅值下的解耦结果

只要给定激励的幅值，即可代入式（18）进行求解。为验证求解结果，使用ABAQUS显式动力学模块对激励为1 N时若干频率点的响应进行计算，并将计算值与预测值进行对比，结果见图10，两者保持高度一致。

图10 在a点进行扫频激励的频率响应函数预测值实际值对比

3 结语

考虑到包装结构和包装材料的非线性与运输包装系统耦合形式的复杂性，文中提出了一种针对非线性多点耦合系统的解耦方法，能够在不拆解系统的前提下，通过测量运输包装系统的频率响应函数来求解包装件的动态响应特性，具体步骤如下。

1）使用激振器对系统施加简谐激励，测量系统耦合位置在不同响应幅值下的准线性频率响应函数。

2）使用逆向子结构方法求解非线性子结构在不同响应幅值下的准线性频率响应函数。

3）识别非线性子结构的模态参数并拟合其模态参数与响应幅值之间的关系。

4）构建激励幅值与响应幅值之间的关系方程并进行求解。

在集总参数模型和有限元连续模型中，文中方法对非线性子结构振动响应特性的预测结果与实际值基本吻合，证明了其有效性，在运输包装系统参数获取与模型构建、运输过程产品状态监测等方面具备应用前景。

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A Decoupling Method for Multi-coordinate Coupled Transport Packaging System Containing Nonlinear Sub-structure

WANG Wei-kai1,WANG Jun1,LU Li-xin1,PAN Liao1,HOU Xue2

(1. Jiangnan University, Wuxi 214122, China; 2. Wuxi Branch of Shantou Dongfeng Printing Co., Ltd., Wuxi 214000, China)

The work aims to optimize the traditional inverse sub-structuring method, to get the dynamic response characteristic of sub-structure in nonlinear multi-coordinate coupled system, which is helpful to resolve the issue that complex coupling forms and nonlinear characteristic of material make it difficult to measure the physical parameters in transport packaging system. The description function method is used to linearize the nonlinear system and the frequency response functions (FRFs) at several response amplitudes need to be measured. Then, the modal parameters of the sub-structure can be identified by inverse sub-structuring method. Lastly, the relationship between the modal parameters and vibration amplitudes is fitted and a function is constructed to describe the dynamic response characteristic of the sub-structure. In the lumped parameter model, the predicted response was consistent with the actual. In the finite element model, the prediction error of the response peak was less than 5%, and the prediction error of the jumping frequency was less than 3%. The application of traditional inverse sub-structuring method was extended to nonlinear multi-coordinate coupled system, which had guiding significance for the construction of dynamic model of complex transport packaging system and the design of anti-vibration packaging.

inverse sub-structuring method; transport packaging; vibration; nonlinear

TB485.3

A

1001-3563(2022)23-0252-07

10.19554/j.cnki.1001-3563.2022.23.030

2022−02−28

国家一流学科建设轻工技术与工程（LITE 2018–29）

王维凯（1997—），男，硕士生，主攻运输包装。

王军（1982—），男，博士，教授，主要研究方向为运输包装、包装新材料。

责任编辑：曾钰婵