基于翻转课堂理念的微分几何教学实践与反思

张 攀，周俊东

（1.安徽大学 数学科学学院，合肥 230039；2.阜阳师范大学 数学与统计学院，安徽 阜阳 236037）

微分几何课程是高校数学专业的一门专业核心课程，也是物理学的基础课程，它以解析几何、数学分析、高等代数等知识为基础，对学生数学能力的培养、思维品质的提高和后期课程的学习等方面具有重要作用。在如火如荼的互联网+时代，在慕课、超星、微课等教育信息化的冲击下，微分几何课程也被推至教学改革的风口浪尖。本研究以F 大学为例，基于翻转课堂的教学理念探讨微分几何教学实践，为改进微分几何教学提供反思性经验。

一、翻转课堂教学研究与实践的现状

翻转课堂作为一种全新的教学理念，源自萨尔曼可汗一个偶然的教学方式，它利用线上教学与线下教学相结合、教师授课与学生探究相结合的方式，重新构建教学结构。这种新的教学模式受到全球学者的高度关注。有人进行翻转课堂的理论思考，如：张金磊等[1]介绍了翻转课堂的概念与特点，他们结合国外教学实践案例，构建了翻转课堂教学模型；龙宝新[2]认为翻转课堂不是简单的教学结构翻转，而是一种教学本质的改变，它改写了教学目的、流程、手段、核心与实质。与此同时，有学者进行翻转课堂本土化研究[3-4]，他们从中美两国教育文化差异着手，研究翻转课堂教学模式的本土化策略：从意识观念、实践操作和模式创新三个维度构建教学体系。还有人进行翻转课堂的应用研究，例如汪晓东等[5]将翻转课堂这一种新型的教学组织形式，应用于大学英语教学；张芝兰等[6]展开了翻转课堂教学模式在对外汉语教学中的应用研究。最近，何芃悦[7]研究了基于翻转课堂的英语视听说网络教学；李金梅[8]探索了现代汉语课程翻转课堂教学模式。

综上所述，翻转课堂教学模式自2007 年以来，研究者甚多，成果颇丰，然而基于翻转课堂的微分几何课程教学研究尚少。以“微分几何教学”为关键词在中国知网上搜索，我们发现自1985 年以来不足50 篇文献，而加上关键词“翻转课堂”搜索，发现几乎没有相关文献。微分几何课程是数学类专业的必修核心课程，自1978 年，该课程在F 大学已经开设40 余年。经过几代人的努力，如今已经形成一支以高职称、高学历为主体、富有教学经验的教学团队。该教学团队引入翻转课堂理念，不断改进微分几何教学方法，通过搭建网络教学平台，构建了线上和线下混合式教学新模式。目前，微分几何课程在F 大学为省级资源共享课程、省级MOOC 课程，2018年开始在学银在线平台上线（如图1），至今，大规模在线开放课程已经实施了4 期。

图1 学银在线课程首页

二、翻转课堂教学理念在微分几何课程中的教学实践

（一）模块化微分几何教学内容

微分几何以光滑曲线、曲面等概念为核心要素，研究三维欧式空间中的光滑曲线和曲面的局部性质。该课程教学内容丰富、知识点繁杂、原理较为抽象。如何梳理繁杂而抽象的知识点，凝练课程内容模块，明确相关课程之间的脉络关联，是首要解决的问题。我们以陈维桓编著的《微分几何》教材为依据，将教材内容凝练为曲线论、曲面论、外微分形式和活动标架三个模块，将教材内容体系转化为教学内容体系。具体如下。

（1）曲线论，介绍了空间曲线的弧长、曲率、挠率等几何不变量，进一步介绍Frenet 公式和曲线论基本定理。

（2）曲面论，介绍了空间曲面的第一基本形式、第二基本形式、法曲率、Weingarten 映射与主曲率、曲面的结构方程和曲面论基本定理。另外，特别介绍了曲面论中的内蕴几何学，内容包括等距变换、测地线、常曲率曲面等几何概念和黎曼曲率、高斯曲率、测地曲率等内蕴几何量。

（3）外微分形式和活动标架，通过Cartan 的活动标架法，把曲线论和曲面论重新复习一遍，使得学生了解数学中的新方法，同时加深学生对已学知识的理解。

通过模块化教学内容，整合了教学内容体系，进一步凝练了微分几何的教学内容，更好地促进先前学习的课程和后续课程的衔接。同时，重新整合线上教学资源，汇总教学指导、试题库、课程设计方案和常见疑难问题解答等。

（二）构建线上线下混合式教学模式

互联网具有即时、互动等特点和优势，网络授课不受时、空限制，学生可以随时加入学习，这就增加了课程学习的灵活度。在微分几何课程教学中融合慕课开放、共享、互动等元素，充分利用优质在线资源和灵活多样的教学方式方法，为学生提供丰富的网络资源和便捷的学习方式，进而推动翻转课堂教学模式形成。本研究把储亚伟教授领衔的微分几何省级教学平台资源同步到微分几何课堂教学中，结合传统教学的优势，探索构建线上线下混合式教学模式。本研究首先筛选出适合学生学习的教学素材和视频资源，将其融入到课堂教学过程中。课前，通过教学平台发布预习任务，上传预习检测题，通过学生的预习情况和讨论情况进行学情分析，发现学生存在的知识困惑和疑难问题，便于课堂教学中师生共同解决重难点问题。组织师生线上、线下交流讨论，推进形成同伴互助学习方式，辅助课堂教学。在课中和课后，在学生课堂讨论和实践环节中，重视发挥学生的积极能动性，让学生变成课堂主体，成为学习的“主人”，提高了学生的获得感。教师成为学习的“引导者”，指导学生开展学习讨论，回答和讨论与视频相关的问题，并进行深度学习辅导。翻转课堂教学模式的引入，充分发挥了师生的“双主”作用。同时，不断优化课程共享资源，在侧重采用自建的网络平台外，我们也积极引导学生借助国内较有影响力的网络平台资源，如将同济大学贺群教授的微分几何课程作为学生网上选修内容。不过，知名大学开设的课程难度较大，对于普通本科层次的数学专业学生，很难适应其教学内容和教学进度，所以不能完全照搬。总之，加大线上、线下互动，在微分几何网络课程门户上不断开放课程共享资源、建设课程在线试题库、开设课程问答和交流区，更好地辅助学生自主学习。至今，我们在网络平台共发布了131 个视频，总时长2 213 分钟，考试题库总数1 178 道；上传相关文档284个（如图2）。

图2 课程资源统计

（三）分类分层教学

2018 年，教育部印发了《教育部关于加快建设高水平本科教育全面提高人才培养能力的意见》文件，决定实施“六卓越一拔尖”计划2.0。在卓越拔尖人才培养目标背景下，我们充分利用信息化工具给教学带来的优势，以翻转课堂理念为指引，以学生的不同需求为切入点，开展分类分层教学。我们的教学实践是选取数学与应用数学非师范班、数学与应用数学师范班、数学与应用数学拔尖创新班分别开展分层教学试点工作（如图3—图5）。

图3 非师范专业教学实践数据

图4 师范专业教学实践数据

图5 拔尖创新班教学实践数据

针对数学与应用数学非师范专业，在教学过程中侧重培养学生通过所学的微分几何理论分析、解决实际中的若干问题，为社会培养德才兼备的高素质应用型人才。针对师范类专业，侧重以培养卓越中小学教师为目标，以培养师范生的几何直观和图形想象能力为导向，提升师范生的数学思维能力和数学素养。拔尖创新班，侧重学习微分几何学科的基本理论及学科前沿和发展动态，通过严格的数学思维训练，以培养学生的高阶思维、创新思维能力，使之具有较强的探索意识和科研创新精神。同时，根据学生自身基础的差异性，构建虚拟学习环境（线上学习、协作、讨论、答疑、测试和反馈等）、开展探究式、协作式等教学方式，指导学生根据自身基础条件，按照不同层次、不同专业的需要，选择适合自己的课程学习内容，进行个性化、创造性学习。教师通过数据调研和统计，分析开展网络教学会使哪些（成绩居前、中或后）学生受益及多少比重的学生受益。

同时，调查在校师生对实施分类分层教学的接受程度和满意度；总结实施微分几何课程翻转课堂教学的实践，不断优化资源共享，推进个性化、协作式学习等。调研报告要详尽、准确，务求真实。

此外，教师研究如何分配线下及线上教学内容、按照不同学习能力的学生给出合理的网络重点资源比重。

三、教学反思

为了有效开展翻转课堂教学，必须建立科学完善的评价机制。在传统单一教师评价的基础上，探索自评、互评等形式，要建立“多元”评价主体，使学生可以通过自评、同伴互评的方式进行评价，不断丰富评价方式的多样性，使得课程的考核评价体系更加公平合理。同时，注重学习过程评价，注重学生自测、讨论、回答问题等部分成绩，考试成绩虽然还占很大比重，但避免了“一锤定音”和只要考前突击复习即可取得好成绩的现象。如在授课之前对学生的学习基础和学习能力进行诊断性评价，在教学过程中，对学生的学习成果采取的形成性评价和在一个学习阶段结束后，进行总结性评价。最终成绩=翻转课堂成绩×10%+平时综合成绩×40%+期末纸质考试成绩×50%，其中翻转课堂由各小组根据自学预习、小组讨论、课堂讲解打分；对于教师，由于翻转课堂教学学习比纯粹的传统课程的学习需要投入更多的时间和精力。因此也要完善对教师的评价方式。学校需要建立相应的教学评价机制（如考评机制、激励机制等），调动教师参与的积极性。

翻转课堂的教学效果取决于线上、线下两个环节的设计和组织。翻转课堂教学的关键是网络课程建设；基础是“题库”建设；网络平台是重要条件；课程考核设计是“牛鼻子”；知识系统性是短板；关注学习困难群体是难点。随着教学理念的不断发展，我们要在翻转课堂教学理念的基础上，积极开展互联网+智慧教育，将翻转课堂与智慧课堂等教学理念与微分几何课程深度融合，打造金课，使之成为国家一流课程。