考虑失稳效应的角钢非线性滞回模型研究

刘俊才， 田 利， 毕文哲， 刘文棚， 孟祥瑞

(山东大学 土建与水利学院，山东 济南 250061)

等边角钢具有优越的连接性能，已广泛应用于格构式输电铁塔、通讯铁塔、电视塔等结构中。在格构式铁塔的结构设计中，通常将等边角钢的单肢与相邻构件采用焊接或螺栓连接，并非传统意义上的轴心受压构件，由于等边角钢两端约束、长细比和偏心程度的影响，角钢的受压承载力计算存在很大的差别。在地震作用或风荷载下，格构式角钢铁塔中的角钢构件在循环拉压荷载下表现出复杂的滞回行为，对角钢铁塔的动力响应有很大的影响[1-3]。因此，准确地预测角钢的滞回行为是研究结构动力响应的关键。

基于目前已有的加载试验和数值模拟，许多学者对钢构件的滞回特性进行了研究。Blank等[4]通过开展循环拉压试验研究了不同截面形式、长细比和两端约束对钢构件滞回特性的影响规律。谢道清等[5]基于圆钢管的滞回特性，提出了一个等效弹塑性滞回模型，应用于球面网壳结构，验证了该滞回模型的有效性。杨娜等[6]开展冷弯薄壁矩形截面钢拟静力试验，研究了常轴力弯矩下的滞回性能，明确了高厚比是影响其滞回性能的关键参数。张春涛等[7-9]研究了腐蚀环境对角钢力学性能参数和滞回行为的影响规律，并建立了不同抗震性能指标的退化模型。Chen等[10]分析了圆管构件在三种不同加载制度下的变形模式和能量累积情况。以上试验数据为数值模拟提供了重要参考。数值模拟一般通过考虑钢构件的初始缺陷和残余应力，并赋予相应的材料属性，模拟循环荷载下钢构件的滞回行为。于海丰等[11-12]分别模拟了工字型钢和钢管在低周循环荷载下的抗震性能，研究结果均表明局部屈曲对钢构件受力有很大的影响。基于已有的试验结果，Tian等[13]提出了一种能够预测圆管滞回行为的非线性本构模型，该模型能够准确地预测屈曲现象及屈曲强度退化现象。Davaan等[14]将钢构件假定为具有塑性铰的梁-柱单元，采用物理理论模型预测了钢构件的滞回曲线，通过与加载试验进行对比，评估该模型的准确性。Zheng等[15]基于物理理论模型模拟了钢管的滞回曲线，并分析了输电塔的倒塌模式和极限承载力，综上所述，以上研究主要针对钢管、工字型钢、槽钢或T型钢等截面，而对等边角钢的滞回特性鲜有涉及。因此，为了深入研究等边角钢的滞回行为，有必要开展等边角钢的循环拉压试验和数值模拟。

本文选取不同规格的等边角钢，开展低周循环拉压试验，研究角钢在轴向循环荷载下的滞回行为。基于加载试验和数值模拟，分析了角钢滞回特性的影响规律，提出一种非线性滞回模型，并对各分段受力表达式中的经验参数进行拟合与优化。通过与加载试验结果进行对比，验证了该滞回模型的精确性。

1 角钢构件低周往复拉压试验

基于DL/T 5154—2012《架空输电线路杆塔结构设计技术规定》[16]，选取15种不同截面尺寸、长细比和两端约束的角钢，开展低周往复拉压试验。角钢的钢材采用Q235和Q345。长细比的取值范围为50～140，长度变化范围为1 000～4 500 mm。两端约束包括单肢焊接、双肢焊接和双螺栓连接。单肢焊接为等边角钢的一个肢背焊接到节点板上，双肢焊接为两肢均焊接到端板上，双螺栓连接为采用2个螺栓将角钢的一个肢背与节点板连接。端板与节点板焊接。等边角钢的具体信息，如表1所示。

表1 等边角钢试验构件信息

试验采用MTS电液伺服加载试验系统进行，试验安装示意图如图1所示。角钢两端的端板通过高强螺栓分别与MTS作动器端头和反力架相连。反力架通过千斤顶、压梁和挡梁固定在地面上。为了限制MTS作动器端部的球铰转动，设置了约束板和滑动装置。约束板上部与MTS作动器端头通过高强螺栓相连，下部与固定在地面上的滑动装置焊接。约束板的移动方向与角钢的长度方向一致，使得MTS作动器能够沿角钢的长度方向施加指定的位移荷载。部分角钢构件的试验安装如图2所示。

图1 试验安装示意图

(a) 构件5(截面L63×5，λ=80，双螺栓连接)

试验过程采用位移加载，角钢依次经历受拉峰值位移和受压峰值位移，最终卸载到最初位置。根据ECCS加载制度[17]，弹性段的每级荷载循环一圈，速率为0.05 mm/s；塑性段的每级荷载循环三圈，速率为0.2 mm/s。通过调整屈服位移δy的比例系数确定每级荷载的峰值位移δ。不同角钢的屈服位移δy见表1，试验加载制度如图3所示。通过开展循环加载试验，得到角钢在轴向循环拉压荷载下的变形模式、力-位移关系曲线和能量耗散量等参数，进而研究角钢的滞回特性。

图3 试验加载制度

按照GB/T 2975—2018《钢及钢产品力学性能试验取样位置及试样制备》[18]，在角钢母材中切取钢板，加工材性试样并进行单向拉伸试验。根据钢材强度和角钢规格，将材性试样分为6组，每组3个试样。测定的力学性能指标包括屈服强度、极限强度、伸长率等。试验结果取3个试样的平均值。材性试样的尺寸信息及试验结果如表2所示。材料试样破坏图如图4所示。

表2 材性试验结果

图4 材性试样破坏图

2 角钢有限元模拟与试验对比

在有限元软件ABAQUS中采用实体单元C3D8R建立了角钢构件精细化模型，如图5所示。Q235和Q345角钢的材料本构参数采用表2中的材性试验数据。为了提高计算效率，高强螺栓采用B31梁单元模拟，螺栓两端节点分别与角钢和连接板的表面采用Coupling约束，角钢和连接板的接触面采用摩擦接触和硬接触模拟，焊缝连接采用TIE约束模拟。角钢的一端固定，另一端仅释放沿轴线方向的约束。在螺栓杆中施加预紧力，随后将加载试验中的轴向位移荷载施加到角钢端部。

图5 角钢有限元模型

考虑几何与材料非线性，模拟了不同端部约束和长细比下角钢的轴力-位移(F-δ)滞回关系，并与循环加载试验数据对比，如图6所示。角钢的轴力F和位移δ分别通过屈服荷载Fy和屈服位移δy进行标准化。角钢在低周循环荷载下呈现出复杂的滞回行为：当加载位移较小时，角钢处于弹性阶段；随着加载位移逐渐增大，角钢受拉并达到屈服；在受压达到屈曲临界承载力后，由于角钢跨中出现明显的弯曲变形，此时进入受压后屈曲阶段且承载力逐渐降低；当受压卸载并反向受拉加载时，角钢的刚度明显降低且逐渐增大；再次受压并达到屈曲后，受压承载力明显降低。

通过图6可以看出，长细比越大，滞回曲线越不饱满，角钢首次发生屈曲时的受压承载力越小，且再次屈曲后的承载力退化和反向受拉加载段的刚度退化更明显。当长细比一定时，不同端部约束方式(单肢焊接、双螺栓连接和双肢焊接)对角钢构件的滞回曲线影响较小。采用有限元模型预测的力-位移滞回关系与试验数据基本一致。图7给出了角钢变形模式对比。可以看出，有限元模型与加载试验得到的角钢变形模式基本一致，角钢跨中均出现了明显的弯曲变形，且角钢的两端和跨中处应力较大。因此，角钢有限元模型具有较好的模拟精度，为不同截面尺寸、长细比和两端约束的角钢参数分析奠定了基础。

3 非线性滞回模型

3.1 非线性滞回模型提出

如前所述，由于角钢构件受压发生失稳，角钢在低周循环荷载下表现出复杂的滞回行为。基于角钢构件的加载试验结果和数值模拟，考虑受压屈曲效应和塑性应变累积效应，拟合得到了一种能够预测角钢滞回行为的非线性滞回模型，如图8所示。

(a) 试验角钢屈曲

图8 非线性滞回模型

角钢首先弹性受拉，到达A点时发生屈服，随后进入应变硬化阶段(即AB段)；在B点卸载到应力为0，此时角钢产生较大的塑性变形；当角钢受压并处于D点时，角钢首次达到屈曲临界承载力，持续受压导致角钢跨中出现明显的侧向变形，角钢进入受压后屈曲阶段(即DM段)，且受压承载力逐渐降低；当受压卸载并反向受拉加载(即FGHI段)时，由于跨中仍存在较大的侧向变形，与受拉弹性段(即OA段)相比，角钢的刚度明显降低；持续受拉使得角钢的刚度逐渐增大，并在H点时拉直；在I点再次达到屈服，随后进入受拉应变硬化阶段(即IJ段)；角钢再次受拉卸载到0并反向受压加载到L点时，角钢重新达到受压屈曲临界承载力，由于在历史循环中塑性应变的不断累积，使得L点处的受压屈曲承载力明显降低；当超过M和N点对应的临界应变时，角钢发生失效。

通过图8可以看出，该非线性滞回模型由多条分段线组成，且每条分段线呈现了角钢在不同受力状态下的物理行为，包括受拉屈服及应变硬化现象、受压屈曲及后屈曲阶段、反向受拉加载时的刚度退化现象和受压屈曲承载力退化现象。为了分析低周循环荷载下角钢构件的滞回行为，推导了每条分段线的应力-应变(σ-ε)关系表达式。

3.1.1 受拉段

当角钢受拉且从弹性进入塑性阶段(即OAB段)时，应力-应变关系表达式为

(1)

式中：σy是屈服强度；E是弹性模量；εy是屈服应变，εy=σy/E；κ是AB段刚度的转化系数；εN是N点对应的应变。

3.1.2 受压后屈曲段

角钢的截面尺寸、长细比和两端约束对受压稳定性有很大的影响[19]。在ABAQUS软件中建立不同截面尺寸、长细比、两端约束和材料强度的角钢构件有限元模型，进行Risks非线性屈曲分析得到角钢的屈曲临界承载力，其中初始缺陷设为L/1 000(L为角钢长度)。图9给出了不同通用长细比λn下的受压稳定系数φ样本点及拟合曲线，且拟合公式为

(2)

(3)

式中：λ为长细比;λ=Lo/i，i为绕最小轴的回转半径;λn为通用长细比；Lo为计算长度。

图9 稳定系数拟合

角钢持续受压达到屈曲临界承载力，随后进入受压后屈曲阶段。角钢受压达到屈曲承载力之前，应力随应变线性变化；角钢发生屈曲后，由于轴力与附加弯矩的共同作用，受压后屈曲阶段的应力-应变关系呈现非线性，假设可以用指数函数[20]表示，则受压段的应力与应变关系为

(4)

(5)

η1和η2对角钢受压后屈曲阶段的应力-应变关系有很大的影响，定义η1和η2均与通用长细比λn有关[21]。对不同规格的角钢进行受压加载模拟分析，得到多组η1和η2的样本点，并对这些样本点进行回归拟合，确定η1和η2与通用长细比λn的关系。η1和η2的样本点如图10所示。η1和η2的计算公式分别为

η1=-180.877+532.191e-0.240λn

(6)

η2=63.913-683.403e-0.455λn

(7)

3.1.3 受压卸载-受拉反向加载段

由于角钢跨中在受压后屈曲阶段(即EM段)发生了较大的侧向变形，当在F点卸载时，受压卸载段(即FG段)的斜率明显小于受拉卸载段(即BC、JK段)的斜率，且随着塑性应变的不断累积逐渐减小[22]。因此，将弹性模量E转化为FG段刚度的转化系数(可由下式计算

(8)

(9)

式中：σF和εF分别为F点时对应的应力和应变；κ为AB段刚度的转化系数。

(a) η1与通用长细比λn的关系

因此，受压卸载FG段的应力与应变关系为

σ=σF+νE(ε-εF)

(10)

在G点沿GHIJ段受拉反向加载，达到I点时再次屈服并进入应变硬化阶段。由加载试验和数值模拟结果可知，角钢的长细比对GHI段的变化斜率有很大的影响，角钢的长细比越大，GHI段的斜率变化通常越快。因此，考虑角钢长细比的影响，GHIJ段的应力与应变关系为

(11)

(12)

(13)

式中：εH和σH分别为H点对应的应变和应力；εG和σG分别为G点对应的应变和应力；χ为HI段刚度的转σ化系数；εI和σI分别为I点对应的应变和应力；εN为N点对应的应变；ξ1和ξ2对HI段的斜率变化有很大的影响，定义与通用长细比λn有关，则ξ1和ξ2可分别由式(12)和(13)计算。

3.1.4 屈曲承载力退化

通过图6的加载试验和数值模拟对比结果可以看出，角钢在低周循环拉压荷载下，首次达到屈曲时的受压承载力最大；更大的循环位移荷载使得角钢塑性应变不断增加，导致受压屈曲承载力逐渐降低[23]。考虑到角钢长细比与累积塑性应变的影响，将屈曲承载力的降低程度定义与通用长细比λn和历史循环中最大塑性应变εp有关。图11给出了角钢屈曲承载力与λnεp的样本点，并对这些样本点进行参数拟合，则再次循环加载时角钢的屈曲承载力采用下列公式计算

(14)

(15)

图11 θ和λnεp的拟合曲线

3.2 非线性滞回模型对比与验证

利用Fortran语言编制了该非线性滞回模型的VUMAT用户子程序，在ABAQUS软件中采用B31梁单元建立角钢构件有限元模型，通过定义用户材料参数调用该非线性滞回模型。基于动力显式分析算法，模拟了角钢在低周循环拉压荷载下的滞回行为，并与实体单元模拟结果和试验结果进行对比，如图12所示。可以看出，采用非线性滞回模型和实体单元得到的角钢轴力-位移滞回曲线均与试验结果吻合较好，滞回模型和实体单元能够准确模拟角钢的受拉屈服和应变硬化行为、受压屈曲和后屈曲行为，而实体单元得到的受压卸载-反向受拉加载段的刚度退化更加明显。通过与循环试验和实体单元模拟结果对比，验证了该非线性滞回模型具有良好的模拟能力。

由滞回模型、实体单元和循环试验得到的角钢滞回耗能量对比如图13所示。随着循环次数的增加，角钢滞回耗能量逐渐增大。由于受压卸载-反向受拉加载段的刚度退化程度存在差别，导致滞回模型和实体单元预测的角钢滞回耗能量与加载试验结果略有不同。滞回模型预测的滞回耗能量略大于试验结果，但是最大误差在8%以内。角钢刚度退化曲线如图14所示。刚度退化行为定义为相同位移幅值下所对应的环线刚度[24]。可以看出，长细比越大，刚度越小，刚度随着加载位移的增加而逐渐退化，且滞回模型和实体单元得到的刚度退化曲线与试验结果基本吻合。

另一方面，利用非线性滞回模型预测角钢的滞回行为时，角钢采用B31梁单元模拟，单元数量仅有1个；而采用实体单元对角钢建模时，单元数量超过3 000个。通过与试验结果对比，验证了两种分析方法均具有可靠的模拟能力，而滞回模型大大提高了计算效率并降低了计算成本。格构式角钢铁塔由大量不同规格的角钢构件组成，对角钢铁塔采用常规的建模方法不仅难以收敛且计算成本较大。因此，将该非线性滞回模型应用到角钢铁塔的数值模拟中，能够为角钢的滞回特性分析和角钢铁塔的承载性能评估提供高效且可靠的方法。

4 结 论

本文提出了一种非线性滞回模型模拟角钢在轴向循环荷载下的滞回行为。基于角钢的滞回特性，推导了该滞回模型中每条分段线的应力-应变关系表达式。通过与加载试验结果进行对比，评估了该滞回模型的模拟能力。通过以上分析，主要得到以下结论：

(1) 由于屈曲效应，角钢在低周循环荷载下呈现出不对称的受压和受拉行为。长细比是影响角钢屈曲行为、强度和刚度退化现象的关键因素，而单肢焊接、双螺栓连接和双肢焊接对角钢的滞回特性影响较小。

(2) 基于低周循环加载试验，验证了采用实体单元建立的角钢有限元模型能够准确预测角钢在循环荷载下的滞回曲线和变形模式，为后续的参数拟合和优化提供依据。

(3) 基于循环加载试验和有限元模拟结果，提出了一种角钢非线性滞回模型，该滞回模型真实地呈现出角钢在循环拉压荷载下复杂的滞回物理特性：受拉屈服及应变硬化现象、受压屈曲及后屈曲阶段、刚度退化现象和受压屈曲承载力退化现象。

(4) 通过与循环加载试验对比，验证了非线性滞回模型和实体单元均能够准确地预测角钢的滞回曲线、刚度退化和滞回耗能量，而非线性滞回模型模拟结果准确、建模过程简单且计算效率高，能够为角钢的滞回特性研究提供高效且可靠的分析方法。