鲁班锁的别样玩法

邵勇

在没有钉子、绳子的情况下，你能将6根木条交叉固定在一起吗？木匠祖师鲁班就发明了一种方法，用咬合的方式把3组木条垂直相交固定。6根木条中间有缺，缺缺相合。这种三维的拼插器具在建筑上也被广泛应用，是中国古代传统的土木建筑固定结合器。

三国时期，孔明把鲁班的发明制成了一种玩具。这种玩具虽然看上去简单，但是内中奇妙无穷，不得要领很难完成拼合，是一种老少皆宜的休闲玩具。

鲁班锁亦称孔明锁、别闷棍等。从外观上看，它是严丝合缝的十字立方体，动动脑筋即可拆解。但要重新拼装好可不是那么容易的，拼装时需要仔细观察，认真思考，分析其内部结构。除了能对鲁班锁进行拼装、拆解外，我们还可以从数学的角度来研究鲁班锁。

鲁班锁由6根方柱交叉拼接而成。因为6根方柱互有重合的地方，所以有些方柱肯定不是完整的，而是被挖掉了一部分。也正因为这样，鲁班锁才会产生如此巧妙的拼装方式。

从外面观察拼装好的鲁班锁，我们可以发现每根方柱之间没有一丝空隙。但光用眼睛看还不够，双手也要动起来呀！一起来算出鲁班锁的体积吧。

计算拼装好的鲁班锁的体积有很多种方法。今天主要介绍2种：一种是将鲁班锁分解成容易计算体积的几个组成部分，另一种是运用能使重叠部分不被重复计算的容斥原理。

假设1根完整的方柱可以均分为4个小正方体，每个小正方体的体积看作单位1，1根完整的方柱的体积为4。

如图1所示。鲁班锁表面露在外面的部分，可以分成2种不同的类型。第一种是图中的蓝色小正方体，体积为单位1。这样的正方体上、下、左、右、前、后各2个，一共有12个。它们都位于鲁班锁的最外端，体积之和为12。第二种是图中的绿色小长方体，它的体积为小正方体的1

4，位置在角落处。这样的小长方体每根方柱上面有2个，一共有12个，体积之和为12×1

4=3。

接着，我们再计算没有表面露在外面的部分的体积。这部分体积分成2种类型。一种是有“边”露在外面的，如图2所示，根据2条青色线段（有一条是MN），我们可以定位出这个被压在里面的“半方块”。这个“半方块”的体积是小正方体的一半，它位于C、D方柱的上方，同时被挤压在A和B之间，但它也是方柱E的一部分。这样的“半方块”有6个（两两相对），体积为6×1

2=3。另一种是只有4个顶点稍微露出来的最中间的单位正方体，它的体积为1。

因此，鲁班锁的总体积为：

12+3+3+1=19

它比原来6根完整方柱的总体积少了24-19=5（个）单位体积。

如图3所示，A和B并排放到一起可以当成一个整体，C和D、E和F也可以当成一个整体。每个整体的体积都是8，分别对应图4文氏图中的3个圆。每两个整体的公共部分是2个单位正方体，这相当于文氏图中的一个枣核形。鲁班锁正中间的完全隐藏起来的单位正方体，就相当于图4中间的绿色曲边三角形。鲁班锁的体积就是文氏图中3个圆的并集。

为方便起见，我们设A+B=X，C+D=Y，E+F=Z，并且X=Y=

Z=8。下式中“∪”表示并集，“∩”表示交集。根据容斥原理，有：

（A+B）∪（C+D）∪（E+F）

=X∪Y∪Z

=X+Y+Z-X∩Y-Y∩Z-Z∩X+X∩Y∩Z

=8+8+8-2-2-2+1

=19

以上用2種方法求出了鲁班锁所占据空间的体积，都为19。

鲁班锁是一种涉及立体几何知识的玩具。通过几何分割，6根木条可以有多种锁定方式，组成的样式多达119 963种。古典玩具见证了中国古代的悠远文明，也让我们认识到数学就蕴藏在游戏之中。

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