重视几何定理教学，提升数学推理能力

◎李 毅

(江苏省扬州市扬州大学附属中学东部分校,江苏 扬州 225001)

2022年版义务教育数学课程标准提出了数学核心素养，其构成包含“会用数学的眼光观察现实世界，会用数学的思维思考现实世界，会用数学的语言表达现实世界”.而推理能力是初中阶段数学核心素养的重要组成部分，故引导学生寻求证明方法、探究规律，培养学生推理证明的意识与能力是我们初中数学教师的重要任务.在课堂教学中该怎样落实学生推理能力的提升？本文以苏科版数学八年级上册“1.3探索三角形全等的条件”的课堂教学设计为例，谈谈笔者的一些具体做法和思考.

一、课前思考

(一)教材分析

八年级上册第一章是关于全等三角形的性质与判定，学生在七年级下学期已学习了构成三角形的基本元素及其内部的边角关系，对三角形的特征已有初步认识，能完成较简单的几何问题的推理证明，在本章又学习了全等图形的概念和一般三角形全等的判定方法(边角边、角边角、角角边、边边边)，了解了全等判定中边与角的几种能够确定三角形形状和大小的基本关系，以及根据已知条件运用尺规作三角形的方法，具备了“提出问题—作三角形—判断是否全等—得出结论”的探究三角形全等的方法，为学生自主探究直角三角形全等打下了基础.但学生的认知水平和推理能力有限，而“斜边、直角边”定理作为“边边角”的一个特例是教学的一个难点，并且理解“斜边、直角边”和“边边角”的区别和联系，可以帮助学生更深入地理解本章知识.

(二)教学目标

知识与技能：能够证明“斜边、直角边”定理，进一步理解证明的必要性，能熟练运用“斜边、直角边”定理判定两个直角三角形是否全等，并能解决一些简单的问题.

过程与方法:经历探索、证明“斜边、直角边”定理的过程，发展合情推理和演绎推理的能力,渗透类比思想、化归思想、模型思想、特殊与一般思想.

情感、态度和价值观：通过定理证明、例题分析过程的教学，使学生在数学学习中体验数学推理证明的乐趣，获得成功的喜悦.

(三)教学重难点分析

重点： “斜边、直角边(HL)”定理的证明和应用.

难点： “斜边、直角边(HL)”定理的发现与证明.

二、教学设计

(一)情境设置

问题1：同学们，判定三角形全等，前面几节课我们已经学习了哪些方法？

学生1：边角边(SAS)、角边角(ASA)、角角边(AAS)、边边边(SSS)四种方法.

问题2：如图1，Rt△ABC中，∠C=90°，斜边是，直角边是和.

问题3：如果给你两个直角三角形，除直角相等以外，那么得到两个三角形全等，还要满足哪几个条件？(要求学生先独立思考1分钟，大胆猜测，然后将结论写在学案上.)

学生回答，教师补充并梳理，师生共同得出以下四个判定方法.

两个直角三角形满足的条件全等依据方法1两条直角边分别相等SAS方法2一个锐角和一条直角边分别相等“ASA”或“AAS”方法3一个锐角和斜边分别相等“AAS”方法4斜边和两条直角边分别相等“SSS”

问题4：除了这四种判定方法，还有没有其他判定方法可得到两个直角三角形全等呢？

学生思考：如果两个直角三角形的斜边和一条直角边分别相等，那么这两个直角三角形是否全等？

【设计意图】问题1通过对四个全等三角形判定方法的复习回顾，为判定直角三角形全等方法的探究做了准备.这样设计可使学生进行类比学习，在对比已学判定方法的过程中进行新知识的学习.一节课学下来，学生能感悟到知识与方法之间的内在联系，新内容没有增加多少，记忆的负担也减轻了很多.类比是数学推理方法的一种重要形式，合理运用“类比”进行学习有助于学生从整体上理解所学的数学知识，从而构建数学知识体系.问题2是复习直角三角形的相关概念.问题3有一定的开放性，为引出“HL”定理留下伏笔，给学生一定的思考时间是尽可能让每个学生在课堂上都能有发现和展示的机会.

(二)探究过程

探究1已知:如图2，已知Rt△ABC，其中∠C=90°.

求作Rt△A′B′C′，使∠C′=90°,C′A′=CA，A′B′=AB.

作法:

(1)作∠PC′Q=∠C=90°;

(2)在C′Q上截取C′A′=CA;

(3)以A′为圆心、AB长为半径画弧,交C′P于点B′;

(4) 连接A′B′， 则Rt△A′B′C′(如图3)即为所求作的三角形.

教师：将画好的Rt△A′B′C′与Rt△ABC叠加在一起,看看它们能否完全重合?

(直接给出画法，让学生根据画法进行作图，是考虑到学生在尺规作图上有一定的困难.)

问题5：两个直角三角形为什么全等？

学生2：作图中，以顶点A′为圆心、线段AB长为半径画圆弧，它与另一直角边只能产生一个交点，因此这样的三角形是唯一的.

学生3：通过测量看B′C′=BC(或∠A′B′C′=∠ABC，∠B′A′C′=∠BAC)是否成立，若成立，就可以结合已知条件A′C′=AC，A′B′=AB判定这两个直角三角形全等.

问题6：从刚才的作图中，大家有什么发现？能否用数学命题的形式归纳一下你的猜想？

学生4：如果两个直角三角形的斜边和一条直角边分别相等，那么这两个直角三角形全等.

【设计意图】尺规作图能提升学生的动手能力，让其观察、思考、操作、猜想、验证，从而培养学生读题、识图的能力，提升学生观察与分析的能力.让学生自己思考怎样运用前面的四种判定方法，而不是由教师提出，这样不仅对学生已学判定的掌握情况进行了考察，而且让学生在应用中进行了巩固和灵活运用.而教师通过追问“两个直角三角形为什么全等”，让学生经历了发现问题、分析问题、解决问题、总结规律的过程，有助于学生知识体系的自主建构，理性思维能力的提升.这样的类比学习不仅得到了结论，而且揭示了规律，同时减轻了学生的负担，提升了学生学习数学的兴趣.

探究2如何证明猜想：“斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等”.

已知：如图4，在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C=∠C′=90°，AB=A′B′，AC=A′C′，求证：△ABC≌△A′B′C′.

(学生独立思考2～3分钟，如有困难，可进行小组合作交流.)

问题7：能否直接用已学过的四个全等判定方法来证明？你遇到了什么困难？

学生：不能直接用，还缺一条直角边或一个锐角对应相等.

问题8：能否运用现有图形构造出两个新的三角形满足之前的全等判定方法？

学生积极思考、画图，交流思考结果，得出了可行的方案，形成了证明过程.

定理内容：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等，简记为“HL”或“斜边、直角边”.

随后，教师和学生一起总结“HL”定理及其注意点，强调“HL”定理的使用前提必须是在直角三角形中，即除了满足斜边和直角边对应相等，还有隐含条件“Rt△”，同样需要三个条件，由此规范学生的数学语言表达.

【设计意图】对于“HL”定理的证明，学生当然不能通过勾股定理或直角三角形斜边上的中线的性质、等腰三角形的等边对等角来验证，这些知识点在苏科版教材中都是在全等之后学习的，所以“HL”定理的证明需要构造新三角形，运用已学过的四个全等的判定方法来证明.但是在之前几何证明的过程中，学生很少接触构造法，所以教学中的难点也就是如何引导学生想到根据现有条件构造出新的全等三角形.学生独立思考后再进行小组合作探究，就会想到构造等腰三角形.学生通过“HL”定理的推导可体验从特殊到一般的思维方式，接触转化的思想，发展合情推理与演绎推理的能力，并在数学学习中体验数学推理证明的乐趣，培养严谨的治学态度和创造性解决问题的能力.

(三)定理应用

例1如图6，已知AD=BC，∠ACB=∠BDA=90°，求证：AC=BD.

证明在Rt△ABC和Rt△BAD中，∠ACB=∠BDA=90°.

∴AC=BD.

师生活动：学生先独立思考，口述证明思路，之后写出证明过程，教师规范证明步骤.

证明线段相等，可转化为用“HL”定理证明直角三角形全等来解决，只需挖掘到隐含条件有公共斜边即可，此题较为基础，目的是加强学生对定理的熟悉程度，巩固使用定理的书写格式.

变式训练：

(1)若AC=BD,∠C=∠D=90°，则Rt△ABC≌Rt△BAD是否成立？试说明理由.

(2)若AD=BC,∠DAB=∠CBA，则△ABC≌△BAD是否成立？试说明理由.

(3)若AD=BC,BD=AC，则△ABC≌△BAD是否成立？试说明理由.

(4)若∠DAB=∠CBA，∠C=∠D=90°，则Rt△ABC≌Rt△BAD是否成立？试说明理由.

(5)若图中AC,BD相交于点E，图中还有其他的全等三角形吗?你是怎样证明的?

【设计意图】通过例题让学生熟悉用“HL”定理证明两个直角三角形全等的基本思路，同时感悟到除了“HL”定理，前面所学习的四种判定方法也可适用于证明直角三角形全等.变式训练中的5个小问题，目的在于让学生灵活运用知识解决问题，培养其逻辑推理能力和发散思维能力.

例2如图7，有两个滑梯，它们的长度相等，左边滑梯水平方向的长度AB与右边滑梯的高度DE相等，两个滑梯的倾斜角∠B和∠F的大小有什么关系？

解∠ABC+∠DFE=90°.理由如下：

由题意，可得△ABC与△DEF均是直角三角形，且BC=EF，AB=DE.

∴Rt△ABC≅Rt△DEF(HL)，∴∠ABC=∠DEF.

∵∠DEF+∠DFE=90°，∴∠ABC+∠DFE=90°.

【设计意图】例2是运用“HL”定理解决实际问题，在问题解决中，笔者注重培养学生学会抽象出几何图形，建立模型，让学生体会到数学与现实的联系，数学在实际生活中的应用价值，以及处理此类问题的一般方法.

(四)当堂反馈

1.如图8，在△ABC与△DCB中，已知∠BAC=∠BDC=90°，请你添加一个条件(不添加字母和辅助线)，使AB=CD，你添加的条件是________.

2.如图9，△ABC中，BD⊥AC于D，若根据“HL”定理判定△ABD≌△CBD，还需要加条件________.

3.如图10，GH∥MN，AC⊥GH，点A,B,C,D分别在直线GH与MN上，点E在AC上，AB+CD=10，AE=CD，BE=ED，则AC=________.

4.如图11，AB⊥AC，AC⊥CD，AD=BC，请你根据这些条件自编一个结论，并写出证明过程.

【设计意图】第1，2题均为让学生去增加条件判定全等，不同之处是，第1题没有限定判定方法，是开放式答案，目的是让学生总结判定直角三角形全等的方法，第2题限定了本课学习的“HL”定理，目的是让学生提炼“HL”定理需要哪些条件，巩固本节课的知识.第3题考查学生对“HL”定理的证明及应用，训练学生对“HL”定理的灵活运用及几何语言书写.第4题也是一道开放性问题，考查学生综合运用的能力，培养学生的发散性思维.

(五)课堂小结

(1)判定两个直角三角形全等的条件有哪些？

(2)“HL”定理的使用需要几个条件？

(3)本节课，同学们在“HL”定理的探究过程中有什么体会？

【设计意图】及时小结，进行反思，优化认知结构，通过学生自主回顾表达知识建构过程，培养其归纳能力.

三、反思

关于数学素养，义务教育数学课程标准在初中阶段提出了九个核心概念，在教学中我们应当给予充分的关注.本节课笔者以问题探究为课堂主线，在推理证明中合理渗透数学思想方法，解决并突破难点，在学生已有的一般三角形全等的四个判定方法的基础上，让其进一步探究直角三角形全等的特殊判定方法，从而充分认识特殊与一般的关系.在定理的探究过程中，笔者引导学生进行动手操作，通过作图、剪纸、叠合、思考、合作探究等方式，体验定理的验证过程，化解本节课的难点.例1以及巩固训练既进一步强化了学生对定理的认识，又激发了学生的探究意识，提高了学生的数学学习兴趣，将核心素养落到实处.例2是“HL”定理的实际应用，问题解决中注重培养学生抽象出几何图形的能力，建立模型研究具体问题，学生也体会到数学的实际应用价值，以及解决实际问题的一般性方法.本课教学中，数学逻辑推理主要体现在类比、化归、归纳等数学思想方法的使用上，这些数学思想方法的渗透有助于学生数学素养的提升.本课还有效地运用了合情推理与演绎推理，学生由合情推理产生猜想，教师在此基础上进行课堂教学，引导学生对猜想进行反思、抽象、概括，进而通过演绎推理完成猜想的证明，从而完成从合情推理到演绎推理的过渡.